1、 - 1 - 安徽省滁州市定远县育才学校 2017-2018 学年高一数学下学期期中试题（实验班） 考生注意： 1.本卷分第 I卷和第 II卷，满分 150分，考试时间 120分钟。答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷上。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标题涂黑。 3.非选择题的作答 :用签字笔直接答在答题卷上对应的答题区内。 第 I卷（选择题 60分） 一、选择题 (本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分。 ) 1.在公差为 的等差数列 中， “ ” 是 “ 是递增数列 ” 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C
2、.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知数列 an为等差数列，首项 a1=1，公差 d=2，则 a5=（ ） A.6 B.9 C.25 D.31 3.已知等比数列 an中，有 a3a11=4a7 ， 数列 bn是等差数列，且 b7=a7 ， 则 b5+b9= （ ） A.2 B.4 C.8 D.16 4.等差数列 an前 n项和为 Sn ， ， （ pq ），则 Sp+q的值是（ ） A.大于 4 B.小于 4 C.等于 4 D.不确定 5.等比数列 an的前 n项和为 Sn ， 已知 a2a5=2a3 ， 且 a4与 2a7的等差中项为 ，则 S5=（ ） A.29 B.31 C.33
3、 D.36 6.若 0 a b且 a+b=1，则下列四个数中最大的是（ ） A. B.b C.2ab D.a2+b2 7.ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c且 a:b:c=3:5:7试判断该三角形的形状 ( ) A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 8.已知等比数列 ?na 中，各项都是正数，且1 3 21, ,22a a a成等差数列，则 8978aaaa? ? （ ） A. 12? B. 12? C. 3 2 2? D. 3 2 2? - 2 - 9.在 ABC? 中， 45 60 1,B C c? ? ?， ，则 b? （ ）
4、 A. 63 B. 62 C. 12 D. 32 10.已知 na 为等比数列，若 2 3 1 2a a a? ，且 a4与 2 a7的等差中项为 54 ，则其前 5项和为 ( ) A. 35 B. 33 C. 31 D. 29 11.已知变量 x ， y 满足约束条件 6,3 2,1,xyxyx? ?若目标函数 z ax by?（ 0a? ， 0b? ）的最小值为 2，则2211ab?的最小值为 （ ） A 12 B 2 C 8 D 17 12.对于任意实数 , , ,abcd ，下列结论： 若 ,0a bc?，则 ac bc? ； 若 ab? ，则 22ac bc? ； 若 22ac bc
5、? ，则 ab? ； 若 ab? ，则 11ab? ； 正确的结论为（ ） A. B. C. D. 第 II卷（非选择题 90分） 二、填空题 (共 4小题 ,每小题 5分 ,共 20分 ) 13.在 ABC 中，若 B=30 ， AB=2 ， AC=2，求 ABC 的面积 14.若数列 是正项数列，且 ，则 _ 15.如图，在凸四边形 ABCD 中， AB=1， BC= ， ACCD ， AC=CD，当 ABC 变化时，对角线BD的最大值为 16.在 ABC? 中，角 A， B， C 的对边分别为 ,abc.已知 22 ,sin 2sina b bc C B? ? ?，则角 A为 _. 三、
6、解答题 (共 6小题 ,共 70分 ) - 3 - 17.在 ABC 中 ,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且满足 2 sin6b C a c? ? ?. (1)求角 B的大小 ; (2)若点 M为 BC中点 ,且 AM=AC=2,求 a的值 . 18.若 x， y 0，且 x+y 2，则 和 中至 少有一个小于 2 19.已知递增数列 an， a1=2，其前 n项和为 Sn ， 且满足 3（ Sn+Sn 1） = +2（ n2 ） （ 1）求数列 an的通项公式； （ 2）若数列 bn满足 =n，求其前 n项和 Tn 20.已知 ?na 为等差数列，公差 0d? ， 3 7a? ，
7、4a 是 1 13,aa的等比中项 . （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）设 nS 为 ?na 的前 n 项和， 1nnn naab S ?，求 ?nb 的前 n 项和 nT . 21.在 中， 分别为角 的对边，已知 ， 的面积为 ，又. （ 1）求角 的大小； （ 2）求 的值 . 22.已知函数 an： a1=t， n2Sn+1=n2（ Sn+an） +an2 ， n=1， 2， ? （ 1）设 an为等差数列，且前两项和 S2=3，求 t的值； （ 2）若 t= ，证明： a n 1 - 4 - 参 考 答案 1.A 【解析】若 ，则 ， ，所以， 是递增数列；若 是递增数
8、列，则 ， ，推不出 ，则 “ ”是 “ 是递增数列 ” 的充分不必要条件， 故答案为： A. 2.B 【解析】在等差数列 an中，由首项 a1=1，公差 d=2， 得 a5=a1+4d=1+42=9 故选： B 3.C 【解析】等比数列 中 数列 是等差数列若 则等比数列中有 ， 等差数列中有 4.A 【解析】设等差数列 an的公差为 d， ， （ pq ）， pa 1+ d= ， qa1+ d= ， （ p q） a1+ d= ， a 1+ d= ，可得 a1= d+ ， 则 Sp+q=（ p+q） a1+ d=（ p+q） （ d+ ） + d= =4，当且仅当 p=qN *时取等号 故
9、选： A 5.B - 5 - 【解析】 数列 an是等比数列， a2?a3=2a1=a1q? =a1?a4 ， a 4=2 a 4与 2a7的等差中项为 ， a 4 +2a7 = ， 故有 a7 = q 3= = ， q= ， a 1= =16 S 5= =31 故选： B 6.B 【解析】若 0 a b且 a+b=1，不妨令 a=0.4， b=0.6， 则 a2+b2=0.16+0.36=0.52， 2ab=20.40.6=0.48 ，故 b最大， 故选 B 不妨令 a=0.4， b=0.6，计算各个选项中的数值，从而得出结论 7.A 【解析】 不妨设 ABC 的三边长度为 3, 5, 7a
10、 b c? ? ? ，由大角对大边可得最大角的余弦值为： 2 2 2 9 2 5 4 9c o s 02 2 3 5a b cC ab? ? ? ? ? ? ，即 C 为钝角， ABC 是钝角三角形 . - 6 - 本题选择 A选项 . 8.C 【解析】 8.1 3 21, ,22a a a成等差数列， 23 1 22 , 2 1 0 , 1 2 , 1 2a a a q q q q? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (舍去 )， 78896778 12aa qq qa a q q? ? ? ? ? ?， 故选 A. 9.A 【解析】 根据正弦定理知： sin sinbcBC? ，
11、所以2sin 62sin 332cBbC? ? ?,故选 A. 10.C 【解析】 22 3 1 1 1 42 , 2a a a q a q a a? ? ? ? ? ?， 34 7 4 4 512 2 2 ,42a a a a q q? ? ? ? ? ? ?， 5415311 6 121 6 , 3 1112aaSq? ? ? ? ?， 故选 C. 11.B 【解析】由题意得，画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数可化为azyxbb? ? ， 当直线 azyxbb? ? 平移过点 (1,1)A 时，目标函数取得最小值 2ab? ， - 7 - 则 1 1 1 1 1 1 1( )
12、 ( ) ( 2 ) ( 2 ) 22 2 2b a b aaba b a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，且 21a b ab ab? ? ? ?（当且仅当 1ab?等号是成立的），所以 22221 1 1 1 1 1( ) 2 2 2 2a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ?，所以2211ab?的最小值为 2 ，故选 B 12.C 【解析】 若 0,c ac bc?所以 错误；若 220,c ac bc?所以 错误； 正确；若110,a ab?无意义所以 错误，故选 C. 13. 或 2 【解析】在 ABC 中，设 BC=x，由余弦定理可得 4=
13、12+x2 4 xcos30 ， x2 6x+8=0， x=2 ，或 x=4 当 x=2 时， ABC 的面积为 = 2 ?x? = ， 当 x=4 时， ABC 的面积为 = 2 ?x? =2 ， 故答案为 或 2 14. 【解析】 由 ，则 ，两式相减，- 8 - 可得 ，当 时也成立则 ，有 ， 为公差为的等差数列，其前 项和 故本题应填 15. +1 【解析】设 ABC= ， ACB= ，则 AC2=4 2 cos ， 由正弦定理可得 sin= ， BD 2=3+4 2 cos 2 cos （ 90+ ） =7 2 cos+2 sin=7+2 sin（ 45 ）， =135 时， BD
14、取得最大值 +1 故答案为： +1 16.3? 【解析】因为 sin 2sinCB? ，由正弦定理可知， 2cb? ，又 22a b bc?，所以 223ab? ， 2 2 2 2 2 224 3 1c o s 2 4 2b c a b b bA b c b? ? ? ? ? ?，所以 3A ? . 17.（ 1） 3B? .（ 2） 477a? . 【解析】 (1) 312 s in s in c o s s in s in ,22B C C A C? ? ?即 3 s i n s i n s i n c o s s i n s i n s i n c o s c o s s i n s i
15、 nB C B C A C B C B C C? ? ? ? ? ?. - 9 - 3 s in s in c o s s in s inB C B C C?, 3sin cos 1BB?, 所以 2sin 16B?, 得3B? . (2)取 CM中点 D,连 AD,则 AD CM,设 14CD a? ,则 34BD a? . 由 (1)知 3B ? ,在直角 ADB中 , 3 14sin 2aBDBAD A B c? ? ? ?, 32ac? . 在 ABC 中 ,由余弦定理 : 2 2 2 2 c o sA C A B B C A B B C B? ? ? ? ?, 即 22 3 3 14
16、22 2 2a a a a? ? ? ? ? ?,得 477a? . 18.证明：用反证法 假设 与 都大于或等于 2， 即 ， x ， yR + 两式相加，得 x+y2 ， 与已知 x+y 2矛盾 所以假设不成立，即原命题成立 19. （ 1）解： 3（ Sn+Sn 1） = +2（ n2 ）， 可得 3（ Sn 1+Sn 2） =an 12+2（ n3 ） 两式相减可得 3（ an+an 1） =（ an+an 1）（ an an 1）， 由递增数列 an， a1=2， 可得 an an 1=3，（ n3 ） 由 3（ a1+a2+a1） =a22+2， 3（ a1+a2+a3+a1+a2
17、） =a32+2， - 10 - 求得 a2=5， a3=8， 由等差数列的通项公式可得 an=8+3（ n 3） =3n 1， 上式对 n=1， 2也成立， 故数列 an的通项公式为 an=3n 1； （ 2）解：数列 bn满足 =n， 可得 bn=（ 3n 1） ?2n， 前 n项和 Tn=2?2+5?22+8?23+?+ （ 3n 1） ?2n， 2Tn=2?22+5?23+8?24+?+ （ 3n 1） ?2n+1， 两式相减可得， Tn=4+3（ 22+23+?+2 n）（ 3n 1） ?2n+1 =4+3? （ 3n 1） ?2n+1， 化简可得 Tn=（ 3n 4） ?2n+1+8 20.（ 1） 21nan?（ 2） ? ? ? ?9 3 344 2 1 2 2n nn? ? ?【解析】 （ 1）由 3 7a? ，可得 1 27ad?， 由 1 4 13,a a a 成等比数列，且 0d? ，可得 ? ? ? ?21 1 112 3a a d a d? ? ?，即 123ad? . 解得 1 3, 2ad?. 所以数列 na 的通项公式为 21nan? （ 2）由（ 1）知， ? ? 23 2 1 22n
