1、 1 定远民族中学 2017-2018学年度下学期期中考试卷 高一数学 （本卷满分 150分，考试时间 120分钟） 注意事项： 1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷（选择题 60分） 一、选择题 （本题有 12 小题，每小题 5分，共 60 分。） 1.已知 均为实数，则 “ ” 是 “ 构成等比数列 ” 的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.在 ABC? 中 45A ? , 60B ? , 2a? ，则 b 等于（ ） A. 6 B. 2 C. 3 D. 26 3.已知等比数列的前 n 项
2、和公式 ? ?3 1 2nnS ?，则其首项 1a 和公比 q 分别为（ ） A. 1 3, 2aq? B. 1 3, 2aq? ? C. 1 3, 2aq? ? D. 1 3, 2aq? ? 4.已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 4518aa?，则 8S? （ ） A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 5.等比数列 ?na ，若 12 21nna a a? ? ? ?，则 2 2 212 na a a? ? ? ( ) A. ? ?1 413 n? B. ? ?11 413 n? ? C. ? ?1 213 n? D. 41n? 6.已知 ，则 的最大值是（ ）
3、A. B. C. D. 7.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “ 三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝 才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ” 其意思为：有一个人走 378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 62 天后到达目的地，请问第二天走了 ( ) A.192 里 B.96 里 C.48 里 D.24 里 8.设 M 是 ABC? 内一点，且 ABCS? 的面积为 2，定义 ? ? ? ?,f M m n p? ，其中 ,mnp 分别是 MBC? ， MCA? ， MAB? 的面积，若 ABC? 内一动点 P 满足 ? ?
4、 ? ?1, ,f P x y? ，则14xy? 的最小值是（ ） A. 1 B. 4 C. 9 D. 12 9.在 ABC 中，若 a2+b2 c2 ， 则 ABC 的形状是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 10.若 ， 满足条件 ，则 的最大值为（ ） A.5 B.1 C. D.-1 11.在 ABC中，若 a2 b2 bc且 ，则 A ( ) A. B. C. D. 12.在 中， 分别是角 的对边，且 ，若 ， ，则 的面积为 ( ) A. B. C. D. 第 II 卷（非选择题 90分 ） 二、填空题 （本题有 4 小题，每小题 5分，共 20
5、分。） 13.设函数 ，则满足 的 的取值范围是 . 14.在 ABC 中，若 。 15.在 中， ， ，面积是 ，则 等于 16.设 Sn是公差不为 0的等差数列 an的前 n项和，若 a1 ， a2 ， a4成等比数列，则 的值为 3 三、解答题 （本题有 6 小题，共 70分。） 17. （ 10分） 在锐角三角形 ABC中， a,b,c分别为角 A,B,C所对的边，且 3 2 sina c A? （ 1）求角 C的大小； （ 2）若 7c? ，且三角形 ABC的面积为 332 ，求 ab? 的值 . 18. （ 12分） 设数列 的前 项和为 ，且 ，数列 为等差数列，且 . （ 1）
6、求 ； （ 2）求数列 的前 项和 . 19. （ 12分） 如图，某生态园将一三角形地块 ABC的一角 APQ开辟为水果园种植桃树，已知角 A为 120 ， AB， AC的长度均大于 200米，现在边界 AP， AQ处建围墙，在 PQ处围竹篱笆 （ 1）若围墙 AP， AQ总长度为 200米，如何围可使得三角形地块 APQ的面积最大？ （ 2）已知 AP段围墙高 1米， AQ段围墙高 1.5米， AP 段围墙造价为每平方米 150元， AQ 段围墙造价为每平方米 100元若围围墙用了 30000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？ 20. （ 12分） 如图，在 ABC? 中， 4C ? ，角
7、B 的平分线 BD 交 AC 于点 D ，设 CBD ?,其中 ? 是直线 2 3 0xy? ? ? 的倾斜角。 （ 1）求 sinA ； （ 2）若 28CA CB?，求 AB 的长 4 21. （ 12分） 已知不等式组 , 求此不等式组表示的平面区域的面积 ； 求 的最大值； 求2 31yz x? ?的取值范围 . 22. （ 12分） 设数列 an的前 n项和为 Sn ， 且 2Sn=（ n+2） an 1（ nN *） （ 1）求 a1的值； （ 2）求数列 an的通项公式； （ 3）设 Tn= ，求证： Tn 5 参 考 答案 1.A 【解析】若 构成等比数列，则 ，即是必要条件；
8、但 时，不一定有 成等比数列，如 ，即是不充分条件。应选答案 A。 等比数列的概念。 2.A 【解析】 在 ABC中 ,A=45 ,B=60 ， a=2， 由正弦定理 sin sinabAB? 得： 32sin 2 6sin 22aBbA? ? ?. 本题选择 A选项 . 3.B 【解析】 由题设令 1113n a S? ? ? ? ?，令 1 2 229n a a S? ? ? ? ? ?，求出 2 6a? ，则公比 6 23q ? ，应选答案 B。 4.D 【解析】 4518aa?， ? ?188 4 58 4 7 22aaS a a? ? ? ? ?. 5.A 【解析】 由 题 意 得
9、等 比 数 列 ?na ， 1 1, 2aq?， 所以 2 2 212 na a a? ? ? 6 1 4 4 11 4 3nn? ， 选 A. 6.B 【解析】 由均 值不等式的结论可得： ， 即 ， 当且仅当 时等号成立 . 本题选择 B选项 . 7.B 【解析】记每天走的路程里数为 ，易知 是公比为 的等比数列，由题意知 ， 故答案为： B. 由题意可得 an 是公等比数列，由等比数列求和公式 代入数值求出结果即可。 8.C 【解析】 由已知得? ?1 4 1 4 41 2 1 5ABC xyS x y x y x yx y x y y x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
10、? ? ? ? ? ? 45 2 9xyyx? ? ? ，故选 C. 9.C 7 【解析】：由余弦定理： a2+b2 2abcosC=c2，因为 a2+b2 c2，所以 2abcosC 0，所以 C为钝角，钝角三角形 故答案为： C 10.A 【解析】不等式对应的可行域为直线 围成的三角形及其内部，三角形三个顶点为 ， 变形为 ，当直线 过点 时 取得最大值为 5， 故答案为： A. 11.D 【解析】 在 ABC中 ,sin(A+B)sinB=sinCsinB= ,由正弦定理可得： = = ,即： c= b， a2?b2= bc， a2?b2= b2 b,解得： a2=7b2， 由余弦定理可
11、得： cosA= = A(0, )， A= . 故答案为： D. 12.C 【解析】由正弦定理 得： a=2RsinA， b=2RsinB， c=2RsinC， 将上式代入已知 得 ， 即 2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0，即 2sinAcosB+sin(B+C)=0， A+B+C= ， sin( B+C)=sinA， 8 2sin AcosB+sinA=0,即 sinA(2cosB+1)=0， sin A0,cos B=? ， B为三角形的内角 , B= ； 将 ， ， B= 代入余弦定理 b2=a2+c2?2accosB得： b2=(a+c)2?2ac?2acco
12、sB,即 13=16?2ac(1? )， ac=3， S ABC= acsinB= . 故答案为： C 13. 【解析】当 时， 的可变形为 当 时， 可变形为 ， 故答案为 14. 【解析】 .由 得： ，由余弦定理得： ， 则 ， 故答案为： . 15. 【解析】 9 所以 因此 16. 【解析】设等差数列 an的公差 d0 ， a 1， a2， a4成等比数列， ，可得 =a1（ a1+3d）， d0 化为： d=a10 ， = = 故答案为： 17.(1) ;(2) 5 【解析】 (1)由 a 2csinA及正弦定理得， sinA 2sinCsinA sin A0 ， sin C AB
13、C是锐角三角形， C (2) C ， ABC面积为 ， absin ，即 ab 6 c ， 由余弦定理得 a2 b2 2abcos 7，即 a2 b2 ab 7 由 变形得 (a b)2 3ab 7 得 (a b)2 25，故 a b 5 18.（ 1） ；（ 2） . 【解析】 10 （ 1）因为 ,所以当 n=1时，得 = 当 时，因为 ，代入 得 所以 又 -1=- ， 即 为以 -为首项，为公比的等比数列 所以 所以 （ 2）因为 ,所以 ， 因为数列 为等差数列，且 所以 ，即公差为 1 所以 19. （ 1）解： AP+AQ=200 ， S= =2500 当且仅当 x=y=100时取 “=” 当 x=y=100时，可使得三角形地块 APQ的面积最大 （ 2）解：设 AP=x， AQ=y，则 1?x?150+1.5?y?100=30000， 化为： x+y=2002 ，可得 xy10000 PQ 2=x2+y2 2xycos120=x 2+y2+xy=（ x+y） 2 xy=40000 xy30000 当且仅当 x=y=100时取 “=” 即 PQ100 当且仅当 x=y=100时，可使 PQ 取得最小值，即使用竹篱笆用料最省
