1、 初一数学知识点总结初一数学知识点总结 （初一上学期）（初一上学期） 代数初步知识代数初步知识 1 1、代数式代数式：用运算符号“ ”连接数及表示数的字母的式子称为代 数式。 注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其 次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式。 2 2、列代数式的几个注意事项：列代数式的几个注意事项： （1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“ ” 乘，或省略不写。 （2）数与数相乘，仍应使用“”乘，不用“ ”乘，也不能省略乘号。 （3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如 a5 应写成 5a。
2、 （4）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如 3a 写成 a 3 的 形式； （5）a 与 b 的差写作 a-b，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为 a、b 时， 则应分类，写做 a-b 和 b-a . 3 3、几个重要的代数式：几个重要的代数式： （1）a 与 b 的平方差是：a 2-b2； a 与 b 差的平方是：（a-b）2。 （2）若 a、b、c 是正整数，则两位整数是：10a+b；则三位整数是：100a+10b+c。 （3）若 m、n 是整数，则被 5 除商 m 余 n 的数是：5m+n；偶数是：2n，奇数是：2n+1；三 个连续整数是：n-1、n
3、、n+1。 （4）若 b0，则正数是:a 2+b ，负数是：-a2-b，非负数是：b2 ，非正数是：-b2 。 有理数有理数 1 1、有理数：有理数： (1)凡能写成 a b （a、b 都是整数且 a0）形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数 统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。 （注意：0 即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；p 不是有理 数） (2)有理数中，1、0、-1 是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数 分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。 (3)自然数是指 0 和正整数；a0，则 a 是正数；a0，则 a
4、 是负数；a0 ，则 a 是正 数或 0（即 a 是非负数）；a0，则 a 是负数或 0（即 a 是非正数）。 2 2、数轴：数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3 3、相反数：相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0 的相反数还是 0。 (2)注意：a-b+c 的相反数是-a+b-c；a-b 的相反数是 b-a；a+b 的相反数是-a-b； (3)相反数的和为 0 时，则 a+b=0；即 a、b 互为相反数。 4 4、绝对值：绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数。 （注意：绝对值的意义是数轴上表示
5、某数的点离开原点的距离）。 (2)绝对值可表示为|a|。 (3)|a|是重要的非负数，即|a|0。（注意：|a|b|=|ab|）。 5 5、有理数比大小：有理数比大小： （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比 0 大，负数永远比 0 小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数-小数 0，小数-大数 0. 6 6、互为倒数：互为倒数： 乘积为 1 的两个数互为倒数。 （注意：0 没有倒数；若 a、b0，那么 a b 的倒数是 b a ；倒数是本身的数是1；若 ab=1， 则 a、b 互为倒数
6、；若 ab=-1，则 a、b 互为负倒数。 7 7、有理数加法法则：有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 （3）一个数与 0 相加，仍得这个数。 8 8、有理数加法的运算律：有理数加法的运算律： （1）加法的交换律：a+b=b+a 。 （2）加法的结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。 9 9、有理数减法法则：有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即 a-b=a+（-b）。 1010、有理数乘法法则有理数乘法法则： （1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘。 （
7、2）任何数同零相乘都得零。 （3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的 个数决定。 1111、有理数乘法的运算律：有理数乘法的运算律： （1）乘法的交换律：ab=ba。 （2）乘法的结合律：（ab）c=a（bc）。 （3）乘法的分配律：a（b+c）=ab+ac。 1212、有理数除法法则：有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数。（注意：零不能做除数） 1313、有理数乘方的法则：有理数乘方的法则： （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数。注意：当 n 为正奇数时: (-a) n=-an 或(a -b) n=-(b
8、-a)n , 当 n 为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n 。 1414、乘方的定义：乘方的定义： （1）求相同因式积的运算，叫做乘方。 （2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂。 （3）a 2是重要的非负数，即 a20；若 a2+|b|=0 ，则 a=0，b=0。 （4）底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位。 1515、科学记数法：科学记数法： 把一个大于 10 的数记成 a10 n的形式，其中 a 是整数数位只有一位的数，这种记数法 叫科学记数法。 1616、近似数的精确位：近似数的精确位： 一个近似数，四舍五入到那一位
9、，就说这个近似数的精确到那一位。 1717、有效数字：有效数字： 从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数 字。 1818、混合运算法则：混合运算法则： 先乘方，后乘除，最后加减。注意：怎样算简单，怎样算准确，是数学计算的最重要的 原则。 1919、特殊值法：特殊值法： 是用符合题目要求的数代入， 并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明。 整式的加减整式的加减 1 1、单项式：单项式：在代数式中，若只含有乘法（包括乘方）运算。或虽含有除法运算，但除式中 不含字母的一类代数式叫单项式。 2 2、单项式的系数与次数：单项式的系数与次数：单项式中不为零
10、的数字因数，叫单项式的数字系数，简称单项式 的系数；系数不为零时，单项式中所有字母指数的和，叫单项式的次数。 3 3、多项式：多项式：几个单项式的和叫多项式。 4 4、多项式的项数与次数：多项式的项数与次数：多项式中所含单项式的个数就是多项式的项数，每个单项式叫多 项式的项；多项式里，次数最高项的次数叫多项式的次数；注意：（若 a、b、c、p、q 是常 数）ax 2+bx+c 和 x2+px+q 是常见的两个二次三项式。 5 5、整式：整式：凡不含有除法运算，或虽含有除法运算但除式中不含字母的代数式叫整式。 6 6、同类项：同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项。 7
11、7、合并同类项法则：合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变。 8 8、去（添）括号法则去（添）括号法则：去（添）括号时，若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号； 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号。 9 9、整式整式的加减：的加减：整式的加减，实际上是在去括号的基础上，把多项式的同类项合并。 1010、多项式的升幂和降幂排列：多项式的升幂和降幂排列： 把一个多项式的各项按某个字母的指数从小到大（或从大到小）排列起来，叫做按这个 字母的升幂排列（或降幂排列）.注意：多项式计算的最后结果一般应该进行升幂（或降幂） 排列。 一元一次方程一元一次方程 1 1、等式与等量：等式与等量
12、：用“=”号连接而成的式子叫等式。注意：“等量就能代入”。 2 2、等式的性质：等式的性质： 等式性质 1：等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 等式性质 2：等式两边都乘以（或除以）同一个不为零的数，所得结果仍是等式。 3 3、方程：方程：含未知数的等式，叫方程。 4 4、 方程的解：方程的解： 使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解； 注意： “方程的解就能代入”。 5 5、移项：移项：改变符号后，把方程的项从一边移到另一边叫移项.移项的依据是等式性质 1。 6 6、一元一次方程：一元一次方程： 只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，并且含未知数项的系数不
13、是零的整式方程 是一元一次方程。 7 7、一元一次方程的标准形式：一元一次方程的标准形式： ax+b=0（x 是未知数，a、b 是已知数，且 a0）。 8 8、一元一次方程的最简形式：一元一次方程的最简形式： ax=b（x 是未知数，a、b 是已知数，且 a0）。 9 9、一元一次方程解法的一般步骤：一元一次方程解法的一般步骤： 整理方程 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为 1 （检验方程 的解）。 1010列一元一次方程解应用题：列一元一次方程解应用题： （1 1）读题分析法）读题分析法：多用于“和，差，倍，分问题”。 仔细读题，找出表示相等关系的关键字，例如：“大，小，多，少，是，
14、共，合，为， 完成，增加，减少，配套等”，利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最 后利用题目中的量与量的关系填入代数式，得到方程。 （2 2）画图分析法）画图分析法：多用于“行程问题” 利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现， 仔细读题， 依照题意画出有关 图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取得布 列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量），填入有关的代数式 是获得方程的基础。 1111、列方程解应用题的常用公式：列方程解应用题的常用公式： （1）行程问题：距离=速度时间 （2）工程问题：工作量=工效工时 （3
15、）比率问题：部分=全体比率 （4）顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度； （5）商品价格问题：售价=定价折；利润=售价-成本， ； （6 6）周长、面积、体积问题）周长、面积、体积问题：C C圆 圆= =2 2R R，S S圆圆= =R R 2 2， ，C C长方形 长方形=2(a+b)=2(a+b)，S S长方形长方形=ab=ab， C C 正方形正方形=4a=4a， S S正方形 正方形=a=a 2 2， ，S S环形 环形= =(R(R 2 2- -r r2 2),V ),V长方体 长方体=abc =abc ，V V正方体正方体=a=a 3 3， ，V
16、V圆柱 圆柱= =R R 2 2h h ，V V圆锥 圆锥= = R R 2 2h h。 。 （初一下学期）（初一下学期） 二元一次方程组二元一次方程组 1 1、二元一次方程：、二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数项的次数是 1，这样的方程是二元一次 方程。 （注意：一般说二元一次方程有无数个解） 2 2、二元一次方程组：、二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组。 3 3、二元一次方程组的解：、二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的 值，叫二元一次方程组的解。注意：一般说二元一次方程组只有唯一解（即公共解） 。 4 4、二元一次方
17、程组的解法：、二元一次方程组的解法： （1）代入消元法 （2）加减消元法 （3）注意：判断如何解简单是关键。 5 5、二元一次方程组的应用：、二元一次方程组的应用： （1）对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一些，但解方程组可能比较 麻烦，反之则“难列易解” 。 （2）对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值。 （3）对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可 以求出任何两个未知数的关系。 一元一次不等式（组一元一次不等式（组） 1 1、不等式：、不等式：用不等号“” “” “” “” “” ，把两个代数式连接起来的式子叫不等式。
18、 2 2、不等式的基本性质：、不等式的基本性质： 不等式的基本性质 1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方 向不变。 不等式的基本性质 2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质 3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变。 3 3、不等式的解集：、不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解；不等式所有解的集合，叫做这个 不等式的解集。 4 4、一元一次不等式：、一元一次不等式： 只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于零的不等式，叫做一元一次不 等式；它的标准形式是 ax+b0 或
19、ax+b0 ，(a0)。 5 5、一元一次不等式的解法：、一元一次不等式的解法： 一元一次不等式的解法与解一元一次方程的解法类似，但一定要注意不等式性质 3 的应 用。 （注意：在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点） 6 6、一元一次不等式组：、一元一次不等式组： 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 注意：ab0 0 b a 0b 0a 或 0b 0a ； ab0 0 b a 0b 0a 或 0b 0a ； ab=0 a=0 或 b=0； ma ma a=m 。 7 7、一元一次不等式组的解集与解法：、一元一次不等式组的解集与解法： 所有这些一元
20、一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；解一元 一次不等式时， 应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集， 再利用数轴确定这个不等式 组的解集。 8 8、一元一次不等式组的解集的四种类型：设、一元一次不等式组的解集的四种类型：设 a ab b ax bx ax 是不等式组的解集 bx bx ax 不等式的组解集是 ab ab bxa bx ax 不等式组的解集是 是空集不等式组解集 bx ax ab ab 9 9、几个重要的判断：、几个重要的判断： 是正数、yx 0xy 0yx ，是负数、yx 0xy 0yx , 异号且正数绝对值大，、yx 0xy 0yx .yx 0xy 0
21、yx 异号且负数绝对值大、 整式的乘除整式的乘除 1 1、同底数幂的乘法：、同底数幂的乘法： a man=am+n ，底数不变，指数相加。 2 2、幂的乘方与积的乘方：、幂的乘方与积的乘方： (a m)n=amn ，底数不变，指数相乘；(ab)n=anbn ，积的乘方等于各因式乘方的积。 3 3、单项式的乘法：、单项式的乘法： 系数相乘，相同字母相乘，只在一个因式中含有的字母，连同指数写在积里。 4 4、单项式与多项式的乘法：、单项式与多项式的乘法： m(a+b+c)=ma+mb+mc ，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 5 5、多项式的乘法：、多项式的乘法： (a+b)(c+d
22、)=ac+ad+bc+bd ，先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所 得的积相加。 6 6、乘法公式：、乘法公式： （1）平方差公式：(a+b)(a-b)= a 2-b2，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的 平方差。 （2）完全平方公式： (a+b) 2=a2+2ab+b2, 两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的 2 倍。 (a-b) 2=a2-2ab+b2 , 两个数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的 2 倍。 (a+b-c) 2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc 7 7、配方：、配方： （1）若二次三项式 x 2+px+q 是完全平方式,则有
23、关系式： q 2 p 2 。 （2）二次三项式 ax 2+bx+c 经过配方，总可以变为 a(x-h)2+k 的形式，利用 a(x-h)2+k 可以判断 ax 2+bx+c 值的符号。 当 x=h 时，可求出 ax 2+bx+c 的最大（或最小）值 k。 （3）注意：2 x 1 x x 1 x 2 2 2 。 8 8、同底数幂的除法：、同底数幂的除法：a man=am-n ，底数不变，指数相减。 9 9、零指数与负指数公式、零指数与负指数公式: : （1）a 0=1 (a0)； a-n= n a 1 ,(a0). 注意：0 0，0-2无意义。 （2）有了负指数，可用科学记数法记录小于 1 的数
24、，例如：0.0000201=2.0110 -5 。 1010、单项式除以单项式、单项式除以单项式: : 系数相除， 相同字母相除， 只在被除式中含有的字母， 连同它的指数作为商的一个因式。 1111、多项式除以单项式：、多项式除以单项式：先用多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。 1212、多项式除以多项式：、多项式除以多项式： 先因式分解后约分或竖式相除；注意：被除式-余式=除式商式。 1313、整式混合运算：、整式混合运算： 先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内。 线段、角、相交线与平行线线段、角、相交线与平行线 几何 A 级概念： （要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）
25、 1、角平分线的定义： 一条射线把一个角分成两个相等的部 分，这条射线叫角的平分线.（如图） A B C O 几何表达式举例： (1) OC 平分AOB AOC=BOC (2) AOC=BOC OC 是AOB 的平分线 2、线段中点的定义： 点C把线段AB分成两条相等的线 段，点 C 叫线段中点.(如图) BAC 几何表达式举例： (1) C 是 AB 中点 AC = BC (2) AC = BC C 是 AB 中点 3、等量公理：(如图) （1）等量加等量和相等； （2）等量减等量差相等； （3）等量的等倍量相等； （4）等量的等分量相等. CDAB （1） C D A B O （2） AE
26、 F G B C M O （3） CGABEF（4） 几何表达式举例： (1) AC=DB AC+CD=DB+CD 即 AD=BC (2) AOC=DOB AOC-BOC=DOB-BOC 即AOB=DOC (3) BOC=GFM 又AOB=2BOC EFG=2GFM AOB=EFG (4) AC= 2 1 AB ，EG= 2 1 EF 又AB=EF AC=EG 4、等量代换： 几何表达式举例： a=c b=c a=b 几何表达式举例： a=c b=d 又c=d a=b 几何表达式举例： a=c+d b=c+d a=b 5、补角重要性质： 同角或等角的补角相等.(如图) 3 2 1 4 几何表达
27、式举例： 1+3=180 2+4=180 又3=4 1=2 6、余角重要性质： 同角或等角的余角相等.(如图) 1 4 2 3 几何表达式举例： 1+3=90 2+4=90 又3=4 1=2 7、对顶角性质定理： 对顶角相等.(如图) B A C D O 几何表达式举例： AOC=DOB 8、两条直线垂直的定义： 两条直线相交成四个角，有一个角是直 角，这两条直线互相垂直.(如图) C D ABO 几何表达式举例： (1) AB、CD 互相垂直 COB=90 (2) COB=90 AB、CD 互相垂直 9、三直线平行定理： 两条直线都和第三条直线平行，那么，这 两条直线也平行.(如图) CD
28、AB EF 几何表达式举例： ABEF 又CDEF ABCD 10、平行线判定定理： 两条直线被第三条直线所截： （1）若同位角相等，两条直线平行；(如图) （2）若内错角相等，两条直线平行；(如图) （3）若同旁内角互补，两条直线平行.(如图) BE G A CDF H 几何表达式举例： (1) GEB=EFD ABCD (2) AEF=DFE ABCD (3) BEF+DFE=180 ABCD 11、平行线性质定理： （1）两条平行线被第三条直线所截，同位角 相等；(如图) （2）两条平行线被第三条直线所截，内错角 相等；(如图) （3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内 角互补.(如图)
29、 BE G A CDF H 几何表达式举例： (1) ABCD GEB=EFD (2) ABCD AEF=DFE (3) ABCD BEF+DFE=180 几何几何 B B 级概念： （要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）级概念： （要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题） 一、基本概念：一、基本概念： 直线、射线、线段、角、直角、平角、周角、锐角、钝角、互为补角、互为余角、邻补 角、两点间的距离、相交线、平行线、垂线段、垂足、对顶角、延长线与反向延长线、同位 角、内错角、同旁内角、点到直线的距离、平行线间的距离、命题、真命题、假命题、定义、 公理、定理、推论、证明。 二、定理：二
30、、定理： 1、直线公理：过两点有且只有一条直线。 2、线段公理：两点之间线段最短。 3、有关垂线的定理: （1）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。 4、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 三、公式：三、公式： 直角=90，平角=180，周角=360，1=60，1=60。 四、常识：四、常识： 1、定义有双向性，定理没有。 2、直线不能延长；射线不能正向延长，但能反向延长；线段能双向延长。 3、命题可以写为“如果那么”的形式， “如果”是命题的条件， “那 么” 是命题的结论。 4、几何画图要画一般图形，以免给题目附加没有的条件，造成误解。 5、数射线、线段、角的个数时，应该按顺序数，或分类数。 6、几何论证题可以运用“分析综合法” 、 “方程分析法” 、 “代入分析法” 、 “图形观察法”四 种方法分析。 7、方向角： （1） （2） 8、比例尺：比例尺 1:m 中，1 表示图上距离，m 表示实际距离，若图上 1 厘米，表示实际距 离 m 厘米。 9、几何题的证明要用“论证法” ，论证要求规范、严密、有依据；证明的依据是学过的定义、 公理、定理和推论。 北偏西30 南偏东60 30 60 北 南 东西 东北 东南 西北 西南
