1、 专题专题 7 单动点形成的面积问题单动点形成的面积问题 例题精讲例题精讲 例例 1.如图，在 ABC 中，C=90，AB=10cm，BC=8cm，点 P 从点 A 沿 AC 向点 C 以 1cm/s 的速度运动，同 时点 Q 从点 C 沿 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动（点 Q 运动到点 B 停止），在运动过程中，四边形 PABQ 的 面积最小值为（ ） A. 19cm2 B. 16cm2 C. 15cm2 D. 12cm2 【答案】C 【解析】【解答】解：在 Rt ABC 中，C=90，AB=10cm，BC=8cm， AC= 2 2 =6cm 设运动时间为 t（0t4），则 P
2、C=（6t）cm，CQ=2tcm， S四边形PABQ=S ABCS CPQ= 1 2 ACBC 1 2 PCCQ= 1 2 68 1 2 （6t）2t=t 26t+24=（t3）2+15， 当 t=3 时，四边形 PABQ 的面积取最小值，最小值为 15 故选 C 例例 2.如图 1，在矩形 ABCD 中，动点 E 从 A 出发，沿 ABBC 方向运动，当点 E 到达点 C 时停止运动，过点 E 做 FEAE，交 CD 于 F 点，设点 E 运动路程为 x，FC=y，如图 2 所表示的是 y 与 x 的函数关系的大致图象， 当点 E 在 BC 上运动时，FC 的最大长度是 2 5 ，则矩形 A
3、BCD 的面积是（ ） A. 23 5 B. 5 C. 6 D. 25 4 【答案】 B 【解析】【解答】解：若点 E 在 BC 上时，如图 EFC+AEB=90，FEC+EFC=90， CFE=AEB，在 CFE 和 BEA 中， * = = = 90 ，CFEBEA， 由二次函数图象对称性可得 E 在 BC 中点时， CF 有最大值， 此时 = ， BE=CE=x 5 2 ， 即 ;5 2 = ;5 2 5 2 ， y= 2 5( 5 2) 2 ，当 y= 2 5 时，代入方程式解得：x1= 3 2 （舍去），x2= 7 2 ， BE=CE=1，BC=2，AB= 5 2 ， 矩形 ABCD
4、 的面积为 2 5 2 =5； 故选 B 例例 3.如图，边长为 2 的正 ABC 的边 BC 在直线 l 上，两条距离为 l 的平行直线 a 和 b 垂直于直线 l，a 和 b 同时向右移动（a 的起始位置在 B 点），速度均为每秒 1 个单位，运动时间为 t（秒），直到 b 到达 C 点停 止，在 a 和 b 向右移动的过程中，记 ABC 夹在 a 和 b 之间的部分的面积为 s，则 s 关于 t 的函数图象大致 为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】【解答】如图，当 0t1 时，BE=t，DE= 3 t， s=S BDE= 1 2 t 3 t= 3 2 t2； 如图，当
5、 1t2 时，CE=2-t，BG=t-1， DE= 3 （2-t），FG= 3 （t-1）， s=S五边形AFGED=S ABC-S BGF-S CDE= 1 2 2 3 - 1 2 （t-1） 3 （t-1）- 1 2 （2-t） 3 （2-t）=- 3 t 2+3 3 t- 3 23 ； 如图，当 2t3 时，CG=3-t，GF= 3 （3-t）， s=S CFG= 1 2 （3-t） 3 （3-t）= 3 2 t2-3 3 t+ 93 2 ， 综上所述，当 0t1 时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分；当 1t2 时，函数图象为开口向下的抛 物线的一部分；当 2t3 时，函数图象为开口
6、向上的抛物线的一部分， 故答案为：B 例例 4.如图所示，已知 ABC 中，BC=12，BC 边上的高 h=6，D 为 BC 上一点，EFBC，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，设点 E 到边 BC 的距离为 x则 DEF 的面积 y 关于 x 的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】【解答】解：过点 A 向 BC 作 AHBC 于点 H， 所以根据相似比可知： 12 = 6; 6 ，即 EF=2（6-x） 所以 y= 1 2 2（6-x）x=-x 2+6x（0x6） 该函数图象是抛物线的一部分， 故答案为：D 例例 5.如图，在 中， = 90 ， = 3
7、 ， = 6 ，动点 从点 开始沿 向点以 以 1/ 的速度移动， 动点 从点 开始沿 向点 以 2/ 的速度移动.若 ， 两点分 别从 ， 两点同时出发， 点到达 点运动停止，则 的面积 随出发时间 的函数关系 图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】【解答】解：由题意可得：PB=3-t，BQ=2t， 则 PBQ 的面积 S= 1 2 PBBQ= 1 2 （3-t）2t=-t 2+3t， 故 PBQ 的面积 S 随出发时间 t 的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下 故答案为：C 习题精炼习题精炼 1.如图， 在 ABC 中， C=90， AC=BC=3cm.动点
8、 P 从点 A 出发， 以 2 cm/s 的速度沿 AB 方向运动到点 B 动 点 Q 同时从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿折线 AC CB 方向运动到点 B设 APQ 的面积为 y（cm2）.运 动时间为 x（s），则下列图象能反映 y 与 x 之间关系的是（ ） A. B. C. D. 2.如图，直线 = 3 4 + 3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是以 C（1，0）为圆心，1 为半径的 圆上一点，连接 PA，PB，则 PAB 面积的最小值是（ ） A.5 B.10 C.15 D.20 3.如图，在等腰 ABC 中，AB=AC=4cm，B=30，点 P 从点
9、B 出发，以 3 cm/s 的速度沿 BC 方向运动到 点 C 停止，同时点 Q 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度沿 BAAC 方向运动到点 C 停止，若 BPQ 的面积为 y （cm2），运动时间为 x（s），则下列最能反映 y 与 x 之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 4.如图，在正方形 ABCD 中，点 P 从点 A 出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则 APC 的面积 y 与 点 P 运动的路程 x 之间形成的函数关系图象大致是（ ） A. B. C. D. 5.如图， ABC 中，AB=6，BC=8，tanB= 4 3 ，点 D 是边 BC 上的一个动点
10、（点 D 与点 B 不重合），过点 D 作 DEAB，垂足为 E，点 F 是 AD 的中点，连接 EF，设 AEF 的面积为 y，点 D 从点 B 沿 BC 运动到点 C 的 过程中，D 与 B 的距离为 x，则能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6.如图，已知直线 y= 3 4 x-3 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，P 是以 C（0，1）为圆心，1 为半径的圆上一 动点，连接 PA，PB则 PAB 面积的最大值是（ ） A. 8 B. 12 C. 21 2 D. 17 2 7.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，点 E 在边 AD 上，AB
11、E=45，BE=DE，连接 BD，点 P 在线段 DE 上，过点 P 作 PQBD 交 BE 于点 Q，连接 QD设 PD=x， PQD 的面积为 y，则能表示 y 与 x 函数关系的图象大致是 （ ） A. B. C. D. 8.如图，动点 S 从点 A 出发，沿线段 AB 运动至点 B 后，立即按原路返回，点 S 在运动过程中速度不变，则 以点 B 为圆心，线段 BS 长为半径的圆的面积 m 与点 S 的运动时间 t 之间的函数关系图象大致为（ ） A. B. C. D. 9.如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3，点 E 是 BC 边上靠近点 B 的三等分点，动点 P 从点 A
12、出发，沿路径 ADCE 运动，则 APE 的面积 y 与点 P 经过的路径长 x 之间的函数关系用图象表示大致是（ ） A. B. C. D. 10.如图，Rt ABC 中，AC=BC=2，正方形 CDEF 的顶点 D、F 分别在 AC、BC 边上，设 CD 的长度为 x， ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y，则下列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 11.如图所示， ABC 为等腰直角三角形，ACB=90，AC=BC=2，正方形 DEFG 边长也为 2，且 AC 与 DE 在 同一直线上， ABC 从 C 点与 D 点重合开始，沿直线 D
13、E 向右平移，直到点 A 与点 E 重合为止，设 CD 的长 为 x， ABC 与正方形 DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为 y，则 y 与 x 之间的函数关系的图象大致是 （ ） A. B. C. D. 12.如图，矩形 ABCD 中，AB=1，AD=2，M 是 AD 的中点，点 P 在矩形的边上，从点 A 出发，沿 ABCD 运动，到达点 D 运动终止设 APM 的面积为 y，点 P 经过的路程为 x，那么能正确表示 y 与 x 之间函数关 系的图象是（ ） A. B. C. D. 13.如图，矩形 ABCD 中，AB=8cm，BC=6cm，点 P 从点 A 出发，以 lcm/s
14、的速度沿 ADC 方向匀速运动， 同时点 Q 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 ABC 方向匀速运动，当一个点到达点 C 时，另一个点也随之 停止 设运动时间为 t （s） ， APQ 的面积为 S （cm2） ， 下列能大致反映 S 与 t 之间函数关系的图象是 （ ） A. B. C. D. 14.如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P 从点 A 出发，在正方形的边上沿 ABC 的方向运动到点 C 停止，设点 P 的运动路程为 x（cm），在下列图象中，能表示 ADP 的面积 y（cm2）关于 x（cm）的函数 关系的图象是（ ） A. B. C. D. 15.如图，正
15、方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边 BCCDDA 运动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿着边 BA 向 A 点运动，到达 A 点停止运动设 P 点运动时间为 x（s）， BPQ 的面积为 y（cm2），则 y 关于 x 的函数图象是（ ） A. B. C. D. 16.在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令，从原点 O 出发，按向右，向上，向右，向下的方 向依次不断移动，每次移动 1m，其行走路线如图所示，第 1 次移动到 1 ，第 2 次移动到 2 ，第 n 次移动到 ，则 O2201
16、8 的面积是（ ） A. 504 2 B. 1009 2 2 C. 1011 2 2 D. 10092 17.如图 1， 在矩形 ABCD 中， 动点 E 从点 B 出发， 沿 BADC 方向运动至点 C 处停止， 设点 E 运动的路程为 x， BCE 的面积为 y，如果 y 关于 x 的函数图象如图 2 所示，则当 x=7 时，点 E 应运动到 A. 点 C 处 B. 点 D 处 C. 点 B 处 D. 点 A 处 18.如图 1,在矩形 ABCD 中,动点 E 从 A 出发,沿 方向运动,当点 E 到达点 C 时停止运动,过点 E 做 ,交 CD 于 F 点,设点 E 运动路程为 x, =
17、 y ,如图 2 所表示的是 y 与 x 的函数关系的大致图象,当点 E 在 BC 上运动时,FC 的最大长度是 2 5 ,则矩形 ABCD 的面积是( ) A. 23 5 B. 25 4 C. 6 D. 5 19.矩形 ABCD 中，AD=8cm，AB=6cm，动点 E 从点 C 开始沿边 CB 向点 B 以 2cm/s 的速度运动，动点 F 从点 C 同时出发沿边 CD 向点 D 以 1cm/s 的速度运动，E 点运动到 B 点停止，F 点继续运动，运动到点 D 停止如 图可得到矩形 CFHE，设 F 点运动时间为 x（单位：s），此时矩形 ABCD 去掉矩形 CFHE 后剩余部分的面积为
18、 y（单位：cm2），则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大致是如图中的（ ） A. B. C. D. 20.如图 1，点 P 从 ABC 的顶点 B 出发，沿 BCA 匀速运动到点 A，图 2 是点 P 运动时，线段 BP 的长度 y 随时间 x 变化的关系图象，其中 M 为曲线部分的最低点，则 ABC 的面积是_ 21.如图，直线 = 3 3 + 4 与 轴、 轴分别交于 A，B 两点，C 是 OB 的中点，D 是 AB 上一点，四 边形 OEDC 是菱形，则 OAE 的面积为_ 答案解析部分答案解析部分 一、单选题 1.【答案】D 【解析】【解答】在 ABC 中，C=90，AC=BC
19、=3cm，可得 AB= 32 ，A=B=45，当 0x3 时，点 Q 在 AC 上运动，点 P 在 AB 上运动（如图 1）， 由题意可得 AP= 2 x，AQ=x，过点 Q 作 QNAB 于点 N，在等腰直角三角形 AQN 中，求得 QN= 2 2 x，所 以 y= 1 2 = 1 2 2 2 2 = 1 2 2 （0x3），即当 0x3 时，y 随 x 的变化关系是二次函数关系， 且当 x=3 时，y=4.5；当 3x6 时，点 P 与点 B 重合，点 Q 在 CB 上运动（如图 2）， 由题意可得 PQ=6-x， AP=3 2 ， 过点 Q 作 QNBC 于点 N， 在等腰直角三角形 P
20、QN 中， 求得 QN= 2 2 (6-x)， 所以 y= 1 2 = 1 2 32 2 2 (6 )= 3 2 + 9 （3x6），即当 3x6 时，y 随 x 的变化关系是一次 函数，且当 x=6 时，y=0.由此可得，只有选项 D 符合要求，故答案为：D. 2.【答案】 A 【解析】【解答】作 CHAB 于 H 交O 于 E、F连接 BC A（4，0），B（0，3），OA=4，OB=3，AB=5 S ABC= 1 2 ABCH= 1 2 ACOB，ABCH=ACOB，5CH=(4+1)3，解得：CH=3，EH=31=2 当点 P 与 E 重合时， PAB 的面积最小，最小值 = 1 2
21、52=5 故答案为：A 3.【答案】 D 【解析】【解答】解：作 AHBC 于 H， AB=AC=4cm， BH=CH， B=30， AH= 1 2 AB=2，BH= 3 AH=2 3 ， BC=2BH=4 3 ， 点 P 运动的速度为 3 cm/s，Q 点运动的速度为 1cm/s， 点 P 从 B 点运动到 C 需 4s，Q 点运动到 C 需 8s， 当 0x4 时，作 QDBC 于 D，如图 1，BQ=x，BP= 3 x， 在 Rt BDQ 中，DQ= 1 2 BQ= 1 2 x， y= 1 2 1 2 x 3 x= 3 4 x2 ， 当 4x8 时，作 QDBC 于 D，如图 2，CQ=
22、8x，BP=4 3 在 Rt BDQ 中，DQ= 1 2 CQ= 1 2 （8x）， y= 1 2 1 2 （8x）4 3 = 3 x+8 3 ， 综上所述，y= * 3 4 2(0 4) 3 + 83(4 8) 故选 D 4.【答案】 C 【解析】【解答】解：设正方形的边长为 a， 当 P 在 AB 边上运动时，y= 1 2 ax； 当 P 在 BC 边上运动时，y= 1 2 a（2ax）= 1 2 ax+a 2； 当 P 在 CD 边上运动时，y= 1 2 a（x2a）= 1 2 axa 2； 当 P 在 AD 边上运动时，y= 1 2 a（4ax）= 1 2 ax2a 2 ， 大致图象为
23、： 故选 C 5.【答案】 B 【解析】【解答】解：DEAB，垂足为 E， tanB= = 4 3 ，设 DE=4m，BE=3m，则 BD=5m=x， m= 5 ，DE= 4 5 ，BE= 3 5 ， AE=6 3 5 y=S AEF= 1 4 （6 3 5 ） 4 5 化简得：y= 3 25 2 + 6 5 x， 又0x8 该函数图象是在区间 0x8 的抛物线的一部分 故：选 B 6.【答案】C 【解析】【解答】直线 = 3 4 3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，A 点的坐标为（4，0），B 点的 坐标为（0，3），即 OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，点 C（0，1）
24、到直线 3 4 12 = 0 的 距离是 |30;4;12| 32:42 = 16 5 ，圆 C 上点到直线 = 3 4 3 的最大距离是 1 + 16 5 = 21 5 ，PAB 面积的最 大值是 1 2 5 21 5 = 21 2 ，故答案为：C 7.【答案】 C 【解析】【解答】解：ABE=45，A=90， ABE 是等腰直角三角形， AE=AB=2，BE= 2 AB=2 2 ， BE=DE，PD=x， PE=DEPD=2 2 x， PQBD，BE=DE， QE=PE=2 2 x， 又ABE 是等腰直角三角形（已证）， 点 Q 到 AD 的距离= 2 2 （2 2 x）=2 2 2 x，
25、 PQD 的面积 y= 1 2 x（2 2 2 x）= 2 4 （x22 2 x+2）= 2 4 （x 2 .）2+ 2 2 ， 即 y= 2 4 （x 2 ）2+ 2 2 ， 纵观各选项，只有 C 选项符合 故选：C 8.【答案】 C 【解析】【解答】解：设线段 AB 的长为 b，点 S 的速度为 a， 则 S=（bat）2=a2t22abt+b2=a2（t ） 2 ， a20， 在点 P 从 A 到 B 的运动过程中，S 随 t 的增大而减小，此时对应的函数图象开口向上，顶点坐标为（ ， 0）， 当点 P 从点 B 向点 A 运动时， S 随着 t 的增大而减小， 此时对应的函数图象开口向
26、上， 顶点坐标为 （ ， 0） ， 故选 C 9.【答案】 A 【解析】【解答】解：在矩形 ABCD 中，AB=2，AD=3， CD=AB=2，BC=AD=3， 点 E 是 BC 边上靠近点 B 的三等分点， CE=2 33=2， 点 P 在 AD 上时， APE 的面积 y=1 2x2=x（0x3）， 点 P 在 CD 上时，S APE=S梯形AECDS ADPS CEP ， =1 2（2+3）2 1 23（x3） 1 22（3+2x）， =53 2x+ 9 25+x， =1 2x+ 9 2 ， y=1 2x+ 9 2（3x5）， 点 P 在 CE 上时，S APE=1 2（3+2+2x）2
27、=x+7， y=x+7（5x7）， 故选：A 10.【答案】 A 【解析】【解答】解：当 0x1 时，y=x2 ， 当 1x2 时，ED 交 AB 于 M，EF 交 AB 于 N，如图， CD=x，则 AD=2x， Rt ABC 中，AC=BC=2， ADM 为等腰直角三角形， DM=2x， EM=x（2x）=2x2， S ENM= 1 2 （2x2） 2=2（x1）2 ， y=x22（x1）2=x2+4x2=（x2）2+2， y= * 2，(0 1) ( 2)2+ 2，(1 2) ， 故选：A 11.【答案】 B 【解析】【解答】 设 CD 的长为 x， ABC 与正方形 DEFG 重合部分
28、（图中阴影部分）的面积为 y， 当 C 从 D 点运动到 E 点时，即 0x2，y=1 2 2 2 1 2 (2 ) (2 )=2+ 2 ， 当 A 从 D 点运动到 E 点时，即2 4时，y=1 2 2 ( 2) 2 ( 2)=1 2 2 4 + 8 ， 所以 y 与 x 之间的函数关系式就写成分段函数的形式，由函数关系式可看出 B 中的函数图像与所求的分段 函数对应。 故答案为：B。 12.【答案】 A 【解析】【解答】解：三角形的面积变化，x 由 0 到 1 时，y 增大，x 由 1 到 3 时，y 取得最大值是 0.5 且不 变；x 由 3 到 4 时，面积变小 故答案为：A 13.【
29、答案】A 【解析】【解答】解：由题意得：AP=t，AQ=2t， 当 0t4 时，Q 在边 AB 上，P 在边 AD 上，如图 1， S APQ= 1 2 APAQ= 1 2 2 =t2 ， 故答案为：项 C、D 不正确； 当 4t6 时，Q 在边 BC 上，P 在边 AD 上，如图 2， S APQ= 1 2 APAB= 1 2 8 =4t， 故答案为：项 B 不正确； 故答案为：A 14.【答案】 B 【解析】【解答】解：当 P 点由 A 运动到 B 点时，即 0x2 时，y= 1 2 2x=x， 当 P 点由 B 运动到 C 点时，即 2x4 时，y= 1 2 22=2， 符合题意的函数关
30、系的图象是 B； 故选：B 15.【答案】 C 【解析】【解答】由题意可得 BQ=x0x1 时，P 点在 BC 边上，BP=3x，则 BPQ 的面积=1 2BPBQ，解 y=1 23xx= 3 2x 2；故 A 选项错误； 1x2 时，P 点在 CD 边上，则 BPQ 的面积=1 2BQBC，解 y= 1 2x3= 3 2x；故 B 选项错误；2x3 时，P 点在 AD 边上，AP=93x， 则 BPQ 的面积=1 2APBQ，解 y= 1 2（93x）x= 9 2x 3 2x 2；故 D 选项错误故选：C 16.【答案】A 【解析】【解答】解：依题可得： A2（1,1），A4（2，0），A8
31、（4,0），A12（6,0） A4n（2n，0）， A2016=A4504（1008,0）， A2018（1009,1）， A2A2018=1009-1=1008, S O22018 = 1 2 11008=504（ 2 ）. 故答案为：A. 17.【答案】 B 【解析】【分析】根据 y 随 x 的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决： 当 E 在 DC 上运动时， BCE 的面积不断减小。 当 x=7 时，点 E 应运动到高 AD 与 DC 的交界处，即点 D 处。 故选 B。 18.【答案】 B 【解析】【解答】由图象可知 AB= 5 2 ，当点 E 在 BC 上时，如图： FE
32、C+AEB=90，FEC+EFC=90， AEB=EFC， C=B=90， CFEBEA， = ， 设 BE=CE=x- 5 2 ，即 ;5 2 = ;5 2 5 2 ， = 2 5( 5 2) 2 ， 因 FC 的最大长度是 2 5 ， 当 = 2 5 时，代入解析式，解得： 1 = 3 2 (舍去), 2 = 7 2 ， BE=CE=1， BC=2，AB= 5 2 ， 矩形 ABCD 的面积为 2 5 2 =5. 故答案为：B. 19.【答案】 A 【解析】【解答】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论： 当 x4 时，y=68（x2x）=2x2+48，此时函数的图象为抛物线的一部分，
33、它的最上点抛物线的顶点（0， 48），最下点为（4，16）； 当 4x6 时，点 E 停留在 B 点处，故 y=488x=8x+48，此时函数的图象为直线 y=8x+48 的一部分，它 的最上点可以为（4，16），它的最下点为（6，0） 结合四个选项的图象知选 A 项 故选：A 20.【答案】12 【解析】【解答】解：根据图象可知点 P 在 BC 上运动时，此时 BP 不断增大， 由图象可知：点 P 从 B 向 A 运动时，BP 的最大值为 5， 即 BC=5， 由于 M 是曲线部分的最低点， 此时 BP 最小， 即 BPAC，BP=4， 由勾股定理可知：PC=3， 由于图象的曲线部分是轴对称
34、图形， PA=3， AC=6， ABC 的面积为： 1 2 46=12 故答案为：12 21.【答案】23 【解析】【解答】解 ：把 x=0 代入 y = 3 3 x + 4 得出 y=4,B(0,4);OB=4; C 是 OB 的中点，OC=2, 四边形 OEDC 是菱形,DE=OC=2;DEOC,把 y=0 代入 y = 3 3 x + 4 得出 x=43,A(43,0);OA=43,设 D(x, 3 3 + 4) ,E(x,- 3 3 x+2),延长 DE 交 OA 于点 F，EF=- 3 3 x+2,OF=x,在 Rt OEF 中利用勾股定理得： 2+ ( 3 3 + 2) 2 = 22,解得 ：x1=0(舍），x2=3；EF=1,S AOE=1 2 OA EF=23. 故答案为：23
