1、 专题专题 9 二次函数的实际应用问题二次函数的实际应用问题 例题精讲例题精讲 例例 1.定义符号 mina，b的含义为：当 ab 时 mina，b=b；当 ab 时 mina，b=a如：min1，-3=3， min4，2=4，则 minx2+2，x的最大值是（ ） A. 1 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】 C 【解析】【解答】联立 * = 2 + 2 = 解得 *1 = 1 1= 1 ， * 2= 2 2= 2 所以 minx2+2，x的最大值是 1 故答案为：C 例例 2.如图，有一块边长为 6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形，再沿图中 的虚线折起，做
2、成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ） A. 3 cm2 B. 3 2 3 cm 2 C. 9 2 3 cm 2 D. 27 2 3 cm2 【答案】 C 【解析】【解答】解：ABC 为等边三角形 A=B=C=60，AB=BC=AC 筝形 ADOK筝形 BEPF筝形 AGQH AD=BE=BF=CG=CH=AK 折叠后是一个三棱柱 DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形 ODEP、四边形 PFGQ、四边形 QHKO 都为矩形 ADO=AKO=90 连结 AO， 在 Rt AOD 和 Rt AOK 中 * = = Rt AODRt AOK（HL） OAD=OAK=30 设
3、OD=x，则 AO=2x，由勾股定理就可以求出 AD= 3 x DE=623 x 纸盒侧面积=3x（623 x）=63 x2+18x =63 （x 3 2 ）2+ 93 2 当 x= 3 2 时，纸盒侧面积最大为 93 2 故答案为：C 例例 3.图 2 是图 1 中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为 O，B，以点 O 为原点，水平直线 OB 为 轴， 建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线 = 1 400( 80) 2 + 16 ，桥拱与桥墩 AC 的交点 C 恰好在水面，有 AC 轴。若 OA=10 米，则桥面离水面的高度 AC 为（ ） A. 16 1 40 米 B. 17 4
4、 米 C. 16 7 40 米 D. 15 4 米 【答案】 B 【解析】【解答】根据题意，由 ACx 轴，OA=10 米，可知点 C 的横坐标为-10，然后把 x=-10 代入函数的 解析式 y = 1 400(x 80) 2 + 16 =- 17 4 ，即 C 点为（-10，- 17 4 ），因此可知桥面离水面的高度 AC 为 17 4 m. 故答案为：B 例例 4.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为 y=- 1 16 2， 当水面离桥拱顶的高度 OC 是 4m 时，水面的宽度 AB 为_m 【答案】 16 【解析】【解答】解：根据题意 B 的纵
5、坐标为-4 把 y=-4 代入 y=- 1 16 x 2 得 x=8 A（-8，-4），B（8，-4） AB=16m 即水面宽度 AB 为 16m 故答案为：16 例例 5.若关于 x 的方程 x2+2mx+m2+3m-2=0 有两个实数根 x1、x2，则 x1(x1+x2)+x22的最小值为_ 【答案】 5 4 【解析】【解答】设关于 的方程 2+ 2 + 2+ 3 2 = 0 的两根是： 1、2 1+ 2= 2 ， 1 2= 2+ 3 2 1(1+ 2) + 22 = 12+ 1 2+ 22 = (1+ 2)2 1 2 = (2)2 (2+ 3 2) = 32 3 + 2 = 3( 1 2
6、) 2 + 5 4 当 = 1 2 时， 1(1 + 2) + 22有最小值为：5 4 习题精炼习题精炼 1.如图为一座抛物线型的拱桥，AB、CD 分别表示两个不同位置的水面宽度，O 为拱桥顶部，水面 AB 宽为 10 米，AB 距桥顶 O 的高度为 12.5 米，水面上升 2.5 米到达警戒水位 CD 位置时，水面宽为（ ）米 A. 5 B. 25 C. 45 D. 8 2.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在 l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面 2m，水面宽 4m如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A.y=2x2 B.y=2x2 C.y=1 2x 2 D.
7、y= 1 2x 2 3.绍兴是著名的桥乡， 如图， 圆拱桥的拱顶到水面的距离 CD 为 8m， 桥拱半径OC为 5m， 则水面宽 AB为 （ ） A. 4m B. 5m C. 6m D. 8m 4.如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为 12m 的住房墙，另外三边用 25m 长的篱笆围成， 为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1m 宽的门，花圃面积为 80m2 ， 设与墙垂直的一边长为 xm （已标注在图中），则可以列出关于 x 的方程是（ ） A. x（262x）=80 B. x（242x）=80 C. （x1）（262x）=80 D. x（252x）=80 5.如图，某中学准
8、备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园 ABCD (围墙 MN 最长可利用 25m)，现在已备足可以砌 50m 长的墙的材料，若设计一种砌法，使矩形花园的面积为 300m2 则 AB 长 度为（ ） A. 10 B. 15 C. 10 或 15 D. 12.5 6.如图所示是由截面为同一种矩形的墙砖粘贴的部分墙面， 其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高 10cm， 两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低 40cm，则每块墙砖的截面面积是（ ） A. 425cm2 B. 525cm2 C. 600cm2 D. 800cm2 7.如图，从某建筑物 10m 高的窗口 A 处用水管向外喷水，
9、喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂 直）如果抛物线的最高点 M 离墙 1m，离地面 40 3 m，则水流落地点 B 离墙的距离 OB 是（ ） A. 2m B. 3m C. 4m D. 5m 8.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为 x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水 在空中划出的曲线是抛物线 yx24x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是 ( ) A. 4 米 B. 3 米 C. 2 米 D. 1 米 9.某幢建筑物，从 10 米高的窗口 A 用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直， 如图)若抛物线的最高点 P 离墙一米，离地面4
10、0 3 米，则水流落地点 B 离墙的距离 OB 是( ) A. 2 米 B. 3 米 C. 4 米 D. 5 米 10.某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子 OA，O 恰为水面中心，安置在柱子顶 端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下.在过 OA 的任一平面上，建立平 面直角坐标系（如图），水流喷出的高度 y（m）与水平距离 x（m）之间的关系式是 = 2+ 2 + 3 ， 则下列结论：（1）柱子 OA 的高度为 3m；（2）喷出的水流距柱子 1m 处达到最大高度；（3）喷出的水流 距水平面的最大高度是 4m；（4）水池的半径至少要 3m 才
11、能使喷出的水流不至于落在池外.其中正确的有 （ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 11.某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线形组成的 为了牢固起见， 每段护栏需要间距 0.4m 加 设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少 为（ ） A. 50m B. 100m C. 160m D. 200m 12.如图，庄子大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为 y=ax2+bx，小强骑自行车从拱梁一端 O 沿直 线匀速穿过拱梁部分的桥面 OC，当小强骑自行车行驶 10 秒时和 26 秒时拱梁高度相同，则小强骑
12、自行车通 过拱梁部分的桥面 OC 共需（ ） A. 18 秒 B. 36 秒 C. 38 秒 D. 46 秒 13.一种包装盒的设计方法如图所示，四边形 ABCD 是边长为 30cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四 个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得 A，B，C，D 四点重合于图中的点 O，形成一个底面为正方 形的长方体包装盒设 BE=CF=xcm，要使包装盒的侧面积最大，则 x 应取( ) A. 12.5cm B. 10cm C. 7.5cm D. 5cm 14. 如图 1，点 E 为矩形 ABCD 边 AD 上一点，点 P，点 Q 同时从点 B 出发，点 P 沿 BEEDDC
13、 运动到点 C 停止， 点 Q 沿 BC 运动到点 C 停止， 它们运动的速度都是 1cm/s， 设 P， Q 出发 t 秒时， BPQ 的面积为 ycm2 ， 已知 y 与 t 的函数关系的图形如图 2（曲线 OM 为抛物线的一部分），则下列结论：AD=BE=5cm；当 0t5 时， = 2 5 2；直线 NH 的解析式为 = 5 2 + 27；若 ABE 与 QBP 相似，则 t= 29 4 秒。其中正 确的结论个数为( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 15.已知实数 m，n 满足 mn2=1，则代数式 m2+2n2+4m1 的最小值等于_ 16.如图是某地一座抛物线形拱桥，桥
14、拱在竖直平面内，与水平桥面相交于 A、B 两点，拱桥最高点 C 到 AB 的距离为 4m，AB=12m，D、E 为拱桥底部的两点，且 DEAB，点 E 到直线 AB 的距离为 5m，则 DE 的长为 _ m 17.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各 留 1m 宽的门已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27m，则能建成的饲养室面积最大为 _m2 18.某服装店购进单价为 15 元童装若干件， 销售一段时间后发现： 当销售价为 25 元时平均每天能售出 8 件， 而当销售价每降低 2 元，平均每天能多售出 4 件，当每件的定价为 _元
15、时，该服装店平均每天的销 售利润最大 19.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为 y=- 1 16 2 ，当 水面离桥拱顶的高度 OC 是 4m 时，水面的宽度 AB 为_m 20.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三边 AE，ED，DB 组 成，已知河底 ED 是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点 C 到 ED 的距离是 11m试以 ED 所在的直线 为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式_ 答案解析部分答案解析部分 一、单选题 1.【答案】 C 【解析
16、】【解答】解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系， 水面 AB 宽为 10 米，AB 距桥顶 O 的高度为 12.5 米， B（5，12.5）， 设抛物线的解析式为：y=ax2 ， 把 B（5，12.5）代入 y=ax2得12.5=25a， a=1 2 ， 抛物线的解析式为：y=1 2x 2 ， 水面上升 2.5 米到达警戒水位 CD 位置， 设 D（m，10），代入 y=1 2x 2得：10=1 2x 2 ， x=25 ， CD=45 ， 水面宽为 45米 故选 C 2.【答案】 C 【解析】【解答】解：设此函数解析式为：y=ax2 ， a0； 那么（2，2）应在此函数解析式上 则2=4a
17、即得 a= 1 2 ， 那么 y= 1 2 x 2 故答案为：C 3.【答案】 D 【解析】【解答】连接 OA，根据垂径定理可得 AB=2AD，根据题意可得：OA=5m，OD=CDOC=85=3m， 根据勾股定理可得：AD=4m，则 AB=2AD=24=8m. 故答案为：D 4.【答案】 A 【解析】【解答】解：设与墙垂直的一边长为 xm，则与墙平行的一边长为（262x）m， 根据题意得：x（262x）=80 故选 A 5.【答案】 B 【解析】【解答】设 AB=x 米，则 BC=（50-2x）米 根据题意可得，x（50-2x）=300， 解得：x1=10，x2=15， 当 x=10，BC=5
18、0-10-10=3025， 故 x1=10（不合题意舍去）， 故答案为：B 6.【答案】 B 【解析】【解答】解：设每块墙砖的长为 xcm，宽为 ycm， 根据题意得： * + 10 = 3 2 = 2 + 40 ， 解得： * = 35 = 15 ， 则每块墙砖的截面面积是 3515=525cm2 ， 故选：B 7.【答案】 B 【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为 y=a（x1）2+ 40 3 ，由题意，得 10=a+ 40 3 ， a= 10 3 抛物线的解析式为：y= 10 3 （x1）2+ 40 3 当 y=0 时， 0= 10 3 （x1）2+ 40 3 ， 解得：x1=1（舍去
19、），x2=3 OB=3m 故选：B 8.【答案】 A 【解析】【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线 y=-x2+4x 的顶点坐标的纵 坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案 【解答】水在空中划出的曲线是抛物线 y=-x2+4x， 喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线 y=-x2+4x 的顶点坐标的纵坐标， y=-x2+4x=-（x-2)2+4， 顶点坐标为：（2，4)， 喷水的最大高度为 4 米， 故选 A 9.【答案】 B 【解析】【解答】设抛物线的解析式为 y=a( 1)2+ 40 3 ，由题意知点（1，40 3 ）和（0，10）在图象上，
20、所 以代入可得到 a= 10 3 ，所以抛物线的解析式为 y=- 10 3 ( 1)2+40 3 ，当 y=0 时可得到 1=-1（舍去） 2=3，故 OB=3. 10.【答案】 D 【解析】【解答】当 x=0 时，y=3，故柱子 OA 的高度为 3m；（1）正确； y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， 顶点是（1，4）， 故喷出的水流距柱子 1m 处达到最大高度，喷出的水流距水平面的最大高度是 4 米；故（2）（3）正确； 解方程-x2+2x+3=0， 得 x1=-1，x2=3， 故水池的半径至少要 3 米，才能使喷出的水流不至于落在水池外，（4）正确 故答案为：C 11.【答案】 C
21、 【解析】【解答】建立如图所示的直角坐标系，则 A 点坐标为（-1，0)、B 点坐标为（1，0)，C 点坐标为 （0，0.5)，D 点坐标为（0.2，0)，F 点坐标为（0.6，0)， 设抛物线解析式为 y=a（x-1)（x+1)，把 C（0，0.5)代入得 a=-0.5， 所以抛物线解析式为 y=-0.5x2+0.5， 当 x=0.2 时，y=-0.50.22+0.5=0.48， 当 x=0.6 时，y=-0.50.62+0.5=0.32， 所以 DE=0.48，FP=0.32， 所以每段护栏需要不锈钢支柱的长度=2（DE+FP)=2（0.48+0.32)=1.6（m)， 所以 100 段护
22、栏需要不锈钢支柱的总长度=1001.6m=160m 故选 C 12.【答案】B 【解析】【解答】解：如图所示： 设在 10 秒时到达 A 点，在 26 秒时到达 B， 10 秒时和 26 秒时拱梁的高度相同， A，B 关于对称轴对称则从 A 到 B 需要 16 秒，则从 A 到 D 需要 8 秒 从 O 到 D 需要 10+8=18 秒 从 O 到 C 需要 218=36 秒 故选：B 13.【答案】 C 【解析】【解答】 解：如图： 在 Rt GBE 中， BG=BE=x， GE2=BG2+BE2 ， GE=2x， 又BE=CF=x，BC=30， EF=30-2x， 在 Rt HEF 中，
23、EH2+FH2=EF2 ， EH=302 2 ， S侧=4302 2 2x， =4x（30-2x）， =-8x2+120x， =-8（x-15 2 ）2+450， 当 x=7.5 时，包装盒的侧面积最大. 故答案为：C. 14.【答案】 B 【解析】 【解答】根据图（2）可得，当点 P 到达点 E 时点 Q 到达点 C， 点 P、Q 的运动的速度都是 1cm/s， BC=BE=5cm， AD=BE=5（故正确）； 如图 1，过点 P 作 PFBC 于点 F， 根据面积不变时 BPQ 的面积为 10，可得 AB=4， ADBC， AEB=PBF， sinPBF=sinAEB= = 4 5 ， P
24、F=PBsinPBF=4 5t， 当 0t5 时，y=1 2BQPF= 1 2t 4 5t= 2 5t 2（故正确）； 根据 5-7 秒面积不变，可得 ED=2， 当点 P 运动到点 C 时，面积变为 0，此时点 P 走过的路程为 BE+ED+DC=11， 故点 H 的坐标为（11，0）， 设直线 NH 的解析式为 y=kx+b， 将点 H（11，0），点 N（7，10）代入可得：11 + = 0 7 + = 10) ， 解得： = 5 2 = 55 2 )故直线 NH 的解析式为：y=-5 2 + 55 2 ， （故错误）； 当 ABE 与 QBP 相似时，点 P 在 DC 上，如图 2 所
25、示： tanPBQ=tanABE=3 4 ， = 3 4 ， 即 11 5 =3 4 ， 解得：t=29 4 （故正确）； 综上可得正确，共 3 个 故选：B 15.【答案】 4 【解析】【解答】解：mn2=1，即 n2=m10，m1， 原式=m2+2m2+4m1=m2+6m+912=（m+3）212， 则代数式 m2+2n2+4m1 的最小值等于（1+3）212=4 故答案为：4 16.【答案】 18 【解析】【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，x 轴在直线 DE 上，y 轴经过最高点 C 设 AB 与 y 轴交于点 H， AB=12， AH=BH=6， 由题可知： OH=5，CH=4
26、， OC=5+4=9， B（6，5），C（0，9） 设该抛物线的解析式为：y=ax2+k， 顶点 C（0，9）， 抛物线 y=ax2+9， 代入 B（6，5） 5=36a+9，解得 a= 1 9 ， 抛物线：y= 1 9 x 2+9， 当 y=0 时，0= 1 9 x 2+9，解得 x=9， E（9，0），D（9，0）， OE=OD=9， DE=OD+OE=9+9=18， 故答案为：18 17.【答案】 75 【解析】【解答】解：设垂直于墙的材料长为 x 米， 则平行于墙的材料长为 27+33x=303x， 则总面积 S=x（303x）=3x2+30x=3（x5）2+75， 故饲养室的最大面积
27、为 75 平方米， 故答案为：75 18.【答案】22 【解析】【解答】解：设定价为 x 元， 根据题意得：y=（x15）8+2（25x） =2x2+88x870 y=2x2+88x870， =2（x22）2+98 a=20， 抛物线开口向下， 当 x=22 时，y最大值=98 故答案为：22 19.【答案】 16 【解析】【解答】解：根据题意 B 的纵坐标为-4， 把 y=-4 代入 y=- 1 16 x 2 ， 得 x=8， A（-8，-4），B（8，-4）， AB=16m 即水面宽度 AB 为 16m 故答案为：16 20.【答案】y= 3 64 x 2+11 【解析】【解答】解：如图所示 由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8）， 设抛物线的表达式为 y=ax2+11， 将点 B 的坐标（8，8）代入抛物线的表达式得： = 3 64 ， 所以抛物线的表达式为：y= 3 64 x 2+11
