1、 - 1 - 贵阳市普通高中 2017-2018 学年度第一学期期末质量监测试卷 高一数学 一、选择题：本大题共 10 个小题 ,每小题 4 分 ,共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 设集合 ，集合 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ，选 A. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 ，选 A. 3. 甲、乙两人在一次赛跑中，路程 与时间 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 甲比乙先出发 B. 乙比甲跑的路程多 C. 甲、乙两人的速度相同 D. 甲先到达终点 【答案】 D 【解析】由路程
2、和时间的函数图像可以得到甲和乙同时出发，甲的速度大于乙的速度，甲先于乙到达 .选 D. 4. 若 ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 ，故选 D. - 2 - 5. 若幂函数 的图象经过点 ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】设 ，则 ，故 ， ，从而 ，故选 C. 6. 函数 的零点个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】当 时，令 ，故 ，符合；当 时，令 ，故 ，符合，所以 的零点有 2 个，选 B. 7. 在下列给出的函数中，以 为周期且在区间 内是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B
3、8. 设 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】因为 ，故 ，又 ，故 ，而 ，故，故 的大小关系为 ，选 C. 点睛：注意利用函数的单调性来比较大小 . 9. 在 中， 为 边上一点，且 ，若 ，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】 D - 3 - 【解析】由题设有 ，整理有 ，从而有 ，故，选 D. 点睛：在向量的线性运算中，注意利用加减法把未知的向量向已知的向量转化 . 10. 把函数 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），然后向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，得到的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案
4、】 A 【解析】把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），得到的图像对应的解析式为 ， 然后向左平移 个单位长度后得到的图像对应的解析式为，再向下平移 个单位长度后，得到的图像对应的解析式 ，其最小正周期为 ，故排除 C、 D，又该函数的图像过 ，故选 A. 点睛：一般地，图像变换有周期变换和平移变换，要注意如下事实： （ 1）把函数 图像上点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的 倍 （ ），那么所得图像对应的解析式为 ； （ 2）把函数 的图像向左平移 个单位长度， 则所得图像对应的解析式为. 二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 11. 如图，若集合
5、 ， ，则图中阴影部分表示的集合为 _ 【答案】 【解析】图像阴影部分对应的集合为 ， ，故 ， 故填- 4 - . 12. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则 的值为_ 【答案】 -1 【解析】因为 为奇函数，故 ， 故填 . 13. 设向量 ， ，则 _ 【答案】 . 14. 设 、 、 为 的三个内角，则下列关系式中恒成立 的是 _（填写序号） ； ； 【答案】 、 【解析】因为 是 的内角，故 ， ，从而， ， ，故选 、 . 点睛：三角形中各角的三角函数关系，应注意利用 这个结论 . 15. 如图所示，矩形 的三个顶点 ， ， 分别在函数 ， ， 的图象上，且矩形的边分
6、别平行于两坐标，若点 的纵坐标为 ，则点 的坐标为 _ 【答案】 【解析】因为 的纵坐标为 ，所以令 ，解得 的横坐标为 ，故 令 ，解得 ，故 ，令 ，故 ，所以 ，填 点睛：由于 是矩形且它的 边平行于坐标轴，所以 ，因 已知，故可求 ，也就求得了 ，最后求出 即得 的坐标 - 5 - 三、解答题 （本大题共 5 小题，共 40 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 16. 已知 ，且 为第二象限角 . （ 1）求 的值； （ 2）求 的值 . 【答案】 （ 1） （ 2） 【解析】试题分析 ：（ 1）因为 为第二象限角且正弦已知，故可以利用平方关系计算其余弦，再利用二倍角公
7、式计算 （ 2）由（ 1）可以得到 ，故利用两角和的正切可得 解析： （ 1） 因为 ， 且 为第二象限角，所以 ，故 （ 2）由（ 1）知 ， 故 17. 设 ， 为两个不共线的向量，若 , . （ 1）若 与 共线，求实数 的值； （ 2）若 ， 为互相垂直的单位向量，且 ，求实数 的值 . 【答案】 （ 1） （ 2） . 【解析】试题分析： （ 1）因为 与 共线，故存在实数 ，使得 ，再利用平面向量基本定理可以求出 （ 2）因为 ，故 ，再利用 化简前者，可以得到 ，从而得到 解析：（ 1）设 为两个不共线的向量，若 ， ， 由 与 共线可知，存在实数 ，使得 ，即 ,故 （ 2）由
8、 得 ，即 ，又 ，故化简得 ，则 （或由 为互相垂直的单位向量，则可设 .由 可得 ，即 ， 故 ） 点睛：在向量数量积的计算中，注意合理利用向量垂直简化运算 . - 6 - 18. 已知函数 ，其中 . （ 1）求 的定义域； （ 2）当 时，求 的最小值 . 【答案】 （ 1） （ 2） . 【解析】试题分析： （ 1）利用对数的真数为正数求出函数的定义域为 .（ 2）在定义域上把 化为 ，利用二次函数求出 ，从而求出函数的最小值为 . 解析：（ 1）欲使函数有意义，则有 ，解得 ，则函数的定义域为 . （ 2） 因为 ，所以 ，配方得到 因为 ，故 ，所以 （当 时取等号），即的最小值
9、为 . 点睛：求与对数 有关的函数的定义域，应该考虑不变形时自变量满足的条件 . 19. 某市由甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时 5 元；乙家按月计费，一个月中 小时以内（含 小时）每张球台 元，超过 小时的部分每张球台每小时 元 .某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，活动时间不少于 小时，也不超过 小时，设在甲家租一张球台开展活动 小时的收费为 元，在乙家租一张球台开展活动 小时的收费为 元 . （ 1）试分别写出 与 的解析式； （ 2）选择哪家比较合算？请说明理由 . 【答案】 （ 1） （ ）， （ 2） 见解析 【解析】试
10、题分析： （ 1） 由题设， ， ，后者是分段函数 .（ 2） 令 ，解得 ，则 时，分别有，从而可以确定哪家比较合算 . 解析： （ 1） 由题设有 ， . （ 2）令 时，解得 ；令 ，解得 ，所以： 当 时， ，选甲家比较合算； 当 时， ，两家一样合算； - 7 - 当 时， ，选乙家比较合算 . 20. 阅读与探究 人教 A 版普通高中课程标准实验教科书 数学 4（必修）在第一章的小结中写到： 将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法，而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆， 建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系，从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦
11、函数、余弦函数 .因此，正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质（主要是对称性）之间存在着非常紧密的联系 .例如，和单位圆相关的 “ 勾股定理 ” 与同角三角函数的基本关系有内在的一致性；单位圆周长为 与正弦函数、余弦函数的周期为 是一致的；圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等 .因此，三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想 . 依据上述材料，利用正切线可以讨论研究得出正切函数 的性质 . 比如 ：由图 1.2-7 可知，角 的终边落在四个象限时均存在正切线；角 的终边落在 轴上时，其正切线缩为一个点，值为 ；角 的终边落在 轴上时，其正切线不存在；所以正切函数的
12、定义域是 . （ 1）请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数 的单调性和奇偶性； （ 2）根据阅读材料中途 1.2-7，若角 为锐角，求证： . - 8 - 【答案】 （ 1） 见解析 （ 2） 见解析 【解析】试题分析： （ 1）在单位圆中画出角 的正切线，观察随 增大正切线的值得变化情况，再观察 时，正切线的值随 增大时的变化情况，发现正切函数 在区间上单调递增 .（ 2） 当 是锐角时，有 ，由此得到. 解析：（ 1）当 时， 增大时正切线的值越来越大；当 时，正切线与区间上的情况完全一样；随着角 的终边不停旋转，正切线不停重复出现，故可得出正切函数在区间 上单调递增；由题意知正切函数 的定义域关于原点对称，在坐标系中画出角 和 ，它们的终边关于 轴对称，在单位圆中作出它们的正切线，可以发现它们的正切线长度相等，方向相反，即 ，得出正切函数 为奇函数 . （ 2）如图，当 为锐角时，在单位圆中作出它的正弦线 ，正切线 ，又因为 ，所以，又 ，而，故 即 . 点睛 ：三角函数线是研究三角函数性质（如定义域、值域、周期性、奇偶性等）的重要工具，它体现了数形结合的数学思想，是解三角不等式、三角方程等不可或缺的工具 .
