1、 1 河北定州中学 2017 2018 学年度高一 上学期数学期末考试试题 一、单选题 1 已知函数 ? ? 2| lo g , 0 2 1, 0xxfx xx? ? ? ?，若函数 ? ?y f x m?有四个零点 , , ,abcd ，则 abcd 的取值范围是（ ） A. ? ?0,2 B. ? ?0,3 C. ? ?1,2 D. ? ?2,3 2 在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， ,MN分别是 1,ABBB 的中点，则直线 MN 与平面 11ABC 所成角的余弦值为（ ） A. 32 B. 22 C. 33 D. 13 3 形如 ? ?0 , 0by c bxc
2、? ? ?的函数因其函数图象类似于汉字中的 “ 囧 ” 字，故我们把其生动地称为 “ 囧函数 ”. 若函数 ? ? 2 1xxf x a ? (0a? 且 1)a? 有最小值，则当 1, 1cb?时的 “ 囧函数 ”与函数 logayx? 的图象交点个数为 A. 1 B. 2 C. 4 D. 6 4 设函数 ? ? xf x a? ， (0a? 且 1)a? 在 ? ?,0? 上单调递增，则 ? ? ? ?12f a f? 与 的大小关系为 A . ? ? ? ?12f a f? B. ? ? ? ?12f a f? C. ? ? ? ?12f a f? D.不能确定 5 已知函数 ?fx是定
3、义在 1,2?上的单调函数，且 ? ? ? ? 112f x f f x x?，则 ?1f 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6 设函数 ? ? 2 22f x ax x? ? ?，对于满足 14x?的一切 x 值都有 ? ? 0fx? ， 则实数 a 的取值范围为（ ） A. 1a? B. 1 12 a? C. 12a? D. 12a? 7 已知函数 ? ? ? ? ?11 0 1 , 22 1 1 0xxxfxx? ? ? ? ?， ， ，若方程 ? ? 2 0f x x m? ? ? 有且仅有一个实数根，则实2 数 m 的取值范围是（ ） A. 11m? ? ? B.
4、 11 2m? ? ? 或 1m? C. 11 2m? ? ? D. 11 2m? ? ? 或1m? 8 己知函数 ? ? ?12lo g 1 , 1 31 , 1xxfxxx?，若方程 ? ? 0f x a?有三个不同的实数根，则实数 a 的取值范围是（ ） A. ? ?01， B. ? ?02， C. ? ?0,2 D. ? ?0+?， 9 已知函数 ? ? 12,0 2 1 , 0xexfx x x x? ? ? ? ? ?，若方程 ? ? ? ?2 20f x bf x? ? ?有 8 个相异实根，则实数 b 的取值范围 A. ? ?4, 2? B. ? ?4, 2 2? C. ? ?
5、3, 2? D. ? ?3, 2 2? 10 定义：对于一个定义域为 D 的函数 ?fx，若存在两条距离为 d 的直线 1y kx m?和2y kx m?，使得 xD? 时，恒有 ? ?12kx m f x kx m? ? ? ?，则称 ?fx在 D 内有一个宽度为 d 的通道。下列函数： ? ? ? ?2 0f x x x?； ? ? 24f x x?； ? ? 1, 0 1 , 0xxexfx ex? ?； ? ? ? ?2 4f x xx?. 其中有一个宽度为 2 的通道的函 数的序号为 A. B. C. D. 11 已知棱长为 3 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 内
6、部有一圆柱，此圆柱恰好以直线 1AC 为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ） A. 32? B. 23? C. 924? D. 928? 12 已知函数 ? ? , ,sin x sin x co sxfx co sx sin x co sx? ?，则下列说法正确的是（ ） 3 A. 函数 ?fx的最小正周期为 2? B. 当且仅当 ? ?2 2x k k Z? ? ?时， ?fx的最大值为 1 C. 函数 ?fx的值域是 ? ?1,1? D. 当 ? ?3222k x k k Z? ? ? ? ? ? ?时， ? ? 0fx 二、填空题 13 点 AB、 分别为圆 ? ?22: 3 1M x
7、y? ? ?与圆 ? ? ? ?22: 3 8 4N x y? ? ? ?上的动点，点 C 在直线0xy?上运动，则 AC BC? 的最小值为 _ 14 给出以下四个结论： 若函数 ? ?2xf 的定义域为 ? ?1,2 ，则函数2xf?的定义域是 ? ?4,8 ； 函数 ? ? ? ?lo g 2 1 1af x x? ? ?（其中 0a? ，且 1a? ）的图象过定点 ? ?1,0 ； 当 0? 时，幂函数 yx? 的图象是一条直线； 若 1log 12a ?，则 a 的取值范围是 1,12?； 若 函数 ? ? ? ?22lg 2 1f x x a x a? ? ? ?在区间 ? ?,1
8、? 上单调递减，则 a 的取值范围是 ? ?1,? . 其中所有正确结论的序号是 _. 15 已知函数 ?fx满足 ? ? ? ? ? ?f x y f x f y? ? ?， ? ?,x y R? ，则下列各式恒成立的是_ ? ?00f ? ； ? ? ? ?3 3 1ff? ； ? ?11122ff?； ? ? ? ? 0f x f x? 16 若 0m? ，且关于 x 的方程 ? ?21mx m x? ? ?在区间 ? ?0,1 上有且只有一个实数解，则实数 m的取值范围是 _ 三、解答题 4 17 已知函数 ? ? 22 s i n c o s 2 3 c o s 3f x x x x
9、? ? ? . （ 1）求函数在 0,2?上的值域； （ 2）若函数在 ,2m?上的值域为 3,2? ，求 m 的最小值； （ 3）在 ABC? 中， 332 , s in c o s44Af B C? ?，求 sinC . 18 己知函数 ? ? xf x e? , ? ? ? ?2 2g x x x b b R? ? ? ? ?，记 ? ? ? ? ? ?1h x f xfx?(I)判断 ?hx的奇偶性，并写出 ?hx的单调区间，均不用证明； (II)对任意 ? ?1,2x? ，都存在 ? ?121,2xx?， ，使得 ? ? ? ?1f x f x? ， ? ? ? ?2g x g x?
10、 若? ? ? ?12f x g x? 求实数 b 的值 19 如图 ,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 ? ?ABCD 的池底水平铺设污水净化 管道（ Rt FHE? ， H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好 .设计要求管道的接口 H是 AB 的中点， ,EF分别落在线段 ,BCAD 上 .已知 20AB? 米， 10 3AD? 米，记 BHE ?. （ 1）试将污 水净化管道的总长度 L (即 Rt FHE? 的周长 )表示为 ? 的函数，并求出定义域； （ 2）问 ? 当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度 . （提示： 5 6 2s in c o s
11、2 s in , s in4 1 2 4? ? ? ? ? ? ?.） 5 参考答案 BCCBA DDADD DA 13 7 14 15 16 ? ? ? ?0,1 3,? ? 17 （ 1） 3,2?；（ 2） 3? ；（ 3） 21sin 7C? . （ 1） ? ? ? ?2s i n 2 3 2 c o s 1 s i n 2 3 c o s 2 2 s i n 23f x x x x x x ? ? ? ? ? ? ?， 因为 0,2x ?，所以 42,3 3 3x ? ? ?，所以 3s in 2 ,132x ? ? ? ? ?， 所以 2 s in 2 3 , 23x ? ? ?
12、 ? ?，即函数的值域为 3,2?. （ 2）因为 ,2xm?，所以 42 2 ,3 3 3xm? ? ? ? ?， 当 2x ? 时， min 3y ? ， 结合图象分析知： 23 3 2m? ? ? ? ? ?， 所以 3 12m? ? ? ，所以 m 的最小值为 3? ， （ 3）由 2 s in 24 2 3AAf ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，得 ,2 3 2A k k Z? ? ? ?， 又 A 是 ABC? 的内角，所以 3A ? ， 2 3 3s in s in c o s34B C C? ? ?， 化简整理得 13sin c o s 024CC?， 则 3t
13、an 02C ?，所以 21sin 7C? . 6 18 ( )答案见解析 ； ( ) 2 1e? . （）函数 ? ? 1xxh x e e?， -x? ? ?（ ， ） 函数为奇函数， 函数单调递增为 ? ?,? （）据题意知，当 ? ?1,2x? 时， ? ? ? ?1maxf x f x? ， ? ? ? ?2maxg x g x? ? ? xf x e? 在区间 ? ?1,2 上单调递增， ? ? ? ? ? ?2212,m a xf x f e f x e? ? ?即， 又 ? ? ? ? 22 2 1 1g x x x b x b? ? ? ? ? ? ? ? ? 函数 ? ?y
14、 g x? 的对称轴 为 1x? 函数 ? ?y g x? 在区间 ? ?1,2 上单调递减 ? ? ? ?11maxg x g b? ? ?，即 ? ?2 1g x b? 由 ? ? ? ?12f x g x? ，得 21 be? ， 2 1be?. 19 （ 1） 1 0 1 0 1 0c o s s i n s i n c o sL ? ? ? ? ? ?，定义域为 ,63? ?.（ 2）当 6? 或 3? 时所铺设的管道最短，为 ? ?20 3 1? 米 . （ 1） 221 0 1 0 1 0,c o s s i n s i n c o sE H F H E F E H F H? ?
15、 ? ? ? ? ? ?. 由于 1 0 tan 1 0 3BE ?， 10 10 3tanAF ?，所以 3 tan 33 ?，故 ,63? ?.管道7 的总长度 1 0 1 0 1 0c o s s i n s i n c o sL ? ? ? ? ? ?，定义域为 ,63? ?. (2) 1 0 1 0 1 0 s i n c o s 110c o s s i n s i n c o s s i n c o sL ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 设 sin cos t?，则2 1s in c o s2t? ? ，由于 ,63? ?，所以 31s in c o s 2 s in , 242t ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 因为 201L t? ? 在 31,22t ?内单调递减，于是当 312t ? 时， L 取的最大值 ? ?20 3 1? 米 . （此时 6? 或 3? ） . 答：当 6? 或 3? 时所铺设的管道最短，为 ? ?20 3 1? 米 .
