1、 1 2016-2017 学年江苏省南通市启东市高一（下）期末数学试卷 一、填空题（每题 5分，共 70 分） 1若直线 l的斜率为 1，则直线 l的倾斜角为 2一元二次不等式 2x2 x+6 0的解集为 3一个三角形的两个内角分别为 30 和 45 ，如果 45 角所对的边长为 8，那么 30 角所对的边长是 4给出下列条件： l ； l与 至少有一个公共点； l与 至多有一个公共点能确定直线 l在平面 外的条件的序号为 5已知直线 l过点 P（ 2， 3），且与两条坐标轴在第 一象限所围成的三角形的面积为 12，则直线 l的方程为 6在等比数列 an中，已知公比 q= ， S5= ，则 a
2、1= 7在 ABC中，已知 a=6， b=5， c=4，则 ABC的面积为 8已知正四棱锥的底面边长是 2，侧面积为 12，则该正四棱锥的体积为 9已知点 P（ x， y）在不等式组 所表示的平面区域内 运动，则 的取值范围为 10在平面直角坐标系 xOy中，直线 l：（ 2k 1） x+ky+1=0，则当实数 k变化时，原点 O到直线 l的距离的最大值为 11已知正三角形 ABC的边长为 2， AM是边 BC上的高，沿 AM将 ABM折起，使得二面角 B AM C的大小为 90 ，此时点 M到平面 ABC的距离为 12已知正实数 m， n 满足 + =1，则 3m+2n的最小值为 13已知直
3、线 l： 2x y 2=0和直线 l： x+2y 1=0关于直线 l对称，则直线 l的斜率为 14正项数列 an的前 n 项和为 Sn，满足 an=2 1若对任意的正整数 p、 q（ p q），不等式 SP+Sq kSp+q恒成立，则实数 k的取值范围为 二、解答题 2 15设 ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，且 bcosA= asinB （ 1）求角 A的大小； （ 2）若 a=1，求 ABC 面积的最大值 16如图所示，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，点 D在边 BC上， AD C1D （ 1）求证：平面 ADC1 平面 BCC1B1； （ 2）如果点 E是
4、B1C1的中点，求证： AE 平面 ADC1 三、解答题 17已知数列 an满足 an+1=a n+2n（ n N*， R），且 a1=2 （ 1）若 =1 ，求数列 an的通项公式； （ 2）若 =2 ，证明数列 是等差数列，并求数列 an的前 n项和 Sn 18已知三条直线 l1： ax y+a=0， l2： x+ay a（ a+1） =0， l3：（ a+1） x y+a+1=0， a 0 （ 1）证明：这三条直线共有三个不同的交点； （ 2）求这三条直线围成的三角形的面积的最大值 19如图是市儿童乐园里一块平行四边形草地 ABCD，乐园管理处准备过线段 AB 上一点 E设计一条直线 E
5、F（点 F 在边 BC 或 CD 上，不计路的宽度），将该草地分为面积之比为 2： 1 的左、右两部分，分别种植不同的花卉经测 量得 AB=18m， BC=10m， ABC=120 设 EB=x，EF=y（单位： m） （ 1）当点 F与 C重合时，试确定点 E的位置； （ 2）求 y关于 x的函数关系式； （ 3）请确定点 E、 F的位置，使直路 EF长度最短 3 20已知数列 an满足对任意的 n N*，都有 a13+a23+ +an3=（ a1+a2+ +an） 2且 an 0 （ 1）求 a1， a2的值； （ 2）求数列 an的通项公式； （ 3）若 bn= ，记 Sn= ，如果 S
6、n 对任意的 n N*恒成立，求正整数 m的最小值 4 2016-2017 学年江苏省南通市启东市高一（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（每题 5分，共 70 分） 1若直线 l的斜率为 1，则直线 l的倾斜角为 【考点】 I2：直线的倾斜角 【分析】 设直线 l的倾斜角为 ， ， ）可得 tan = 1，解得 【解答】 解：设直线 l 的倾斜角为 ， ， ） tan= 1，解得 = 故答案为： 2一元二次不等式 2x2 x+6 0的解集为 2， 【考点】 74：一元二次不等式的解法 【分析】 把不等式化为（ 2x 3）（ x+2） 0，求出解集即可 【解答】 解：不等式 2x
7、2 x+6 0化为 2x2+x 6 0， 即（ 2x 3）（ x+2） 0， 解得 2 x ， 所以不等式的解集为 2， 故答案为： 2， 3一个三角形的两个内角分别为 30 和 45 ，如果 45 角所对的边长为 8，那么 30 角所对的边长是 4 【考点】 HP：正弦定理 【分析】 设 30 角所对的边长是 x，由正弦 定理可得 ，解方程求得 x的值 【解答】 解：设 30 角所对的边长是 x， 5 由正弦定理可得 ， 解得 x= ， 故答案为 4给出下列条件： l ； l与 至少有一个公共点； l与 至多有一个公共点能确定直线 l在平面 外的条件的序号为 【考点】 LP：空间中直线与平面
8、之间的位置关 系 【分析】 根据直线与平面的位置关系的定义判定即可 【解答】 解：直线 l在平面 外包含两种情况：平行，相交 对于 ， l ，能确定直线 l在平面 外， 对于 ， l与 至少有一个公共点，直线可能与平面相交，故不能确定直线 l 在平面 外， 对于 ， l 与 至多有一个公共点，直线可能与平面相交或平行，故能确定直线 l 在平面 外， 故答案为： 5已知直线 l过点 P（ 2， 3），且与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为 12，则直线 l的方程为 3x+2y 12=0 【考点】 IB：直线的点斜式方程 【分析】 写出直线的截距式方程，根据要求条件参数的值，得到本题结论
9、【解答】 解：设 l在 x 轴、 y轴上的截距分别为 a， b（ a 0， b 0）， 则直线 l的方程为 + =1 P（ 2， 3）在直线 l 上， + =1 又由 l与两条坐标轴在第一象限所围成的三角形面积为 12， 可得 ab=24， a=4， b=6， 直线 l的方程为 + =1，即 3x+2y 12=0， 故答案为： 3x+2y 12=0 6 6在等比数列 an中，已知公比 q= ， S5= ，则 a1= 4 【考点】 89：等比数列的前 n项和 【分析】 利用等比数列的前 n项和公式直接求解 【解答】 解： 在等比数列 an中，公比 q= ， S5= ， = = ， a1= 4 故
10、答案为： 4 7在 ABC中，已知 a=6， b=5， c=4，则 ABC的面积为 【考点】 HR：余弦定理； %H：三角形的面积公式 【分析】 由余弦定理算出 cosA，结合同角三角函数的平方关系得 sinA，最后由正弦定理的面积公式，可得 ABC 的面积 【解答】 解： ABC 中， a=6， b=5， c=4， 由余弦定理，得 cosA= = ， A （ 0， ）， sinA= = ， 由正弦定理的面积公式，得： ABC的面积为 S= bcsinA= 5 4 = ， 故答案为： 8已知正四棱锥的底面边长是 2，侧面积为 12，则该正四棱锥的体积为 【考点】 LF：棱柱、棱锥、棱台的体积
11、【分析】 由题 意画出图形，求出正四棱锥的斜高，进一步求出高，代入棱锥体积公式得答案 【解答】 解：如图， P ABCD为正四棱锥，且底面边长为 2， 过 P作 PG BC于 G，作 PO 底面 ABCD，垂足为 O，连接 OG 7 由侧面积为 12，即 4 ，即 PG=3 在 Rt POG中， PO= 正四棱锥的体积为 V= 故答案为： 9已知点 P（ x， y）在不等式组 所表示的平面区域内运动，则 的取值范围为 （ 1， ） 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的阴影部分则 z= ，表示直线的斜率，再将点 P移动，观 察倾斜角的变化即可得到 k
12、的最大、最小值，从而得到 的取值范围 【解答】 解：设直线 3x 2y+4=0与直线 2x y 2=0 交于点 A， 可得 A（ 8， 14），不等式组 表示的平面区域如图： 则 的几何意义是可行域内的 P（ x， y） 与坐标原点连线的斜率， 由可行域可得 k的最大值为： kOA= ， k的最 小值 k=1 8 因此， 的取值范围为（ 1， ） 故答案为：（ 1， ） 10在平面直角坐标系 xOy中，直线 l：（ 2k 1） x+ky+1=0，则当实数 k变化时，原点 O到直线 l的距离的最大值为 【考点】 IT：点到直线的距离公式 【分析】 由于直线 l：（ 2k 1） x+ky+1=0
13、经过定点 P（ 1， 2），即可求出原点 O 到直线 l的距离的最大值 【解答】 解：直线 l：（ 2k 1） x+ky+1=0化为（ 1 x） +k（ 2x+y） =0， 联立 ，解得 ，经过定点 P（ 1， 2）， 由于直线 l：（ 2k 1） x+ky+1=0经过定点 P（ 1， 2）， 原点 O到直线 l的距离的最大值为 故答案 为： 11已知正三角形 ABC的边长为 2， AM是边 BC上的高，沿 AM将 ABM折起，使得二面角 B AM C的大小为 90 ，此时点 M到平面 ABC的距离为 【考点】 MK：点、线、面间的距离计算 【分析】 以 M为原点， MB， MC， MA为 x
14、轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法9 能求出点 M到平面 ABC 的距离 【解答】 解： 正三角形 ABC的边长为 2， AM是边 BC 上的高， 沿 AM将 ABM折起，使得二面角 B AM C的大小为 90 ， MA、 MB、 MC三条直线两两垂直， AM= ， BM=CM=1， 以 M为原点， MB， MC， MA为 x轴， y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 则 M（ 0， 0， 0）， B（ 1， 0， 0）， C（ 0， 1， 0）， A（ 0， 0， ）， =（ 1， 0， 0）， =（ 1， 0， ）， =（ 1， 1， 0）， 设平面 ABC的法向量 =（ x， y， z）， 则 ，取 x= ，得 =（ ， ， 1）， 点 M到平面 ABC的距离为： d= = = 故答案为： 12已知正实数 m， n 满足 + =1，则 3m+2n的最小值为 3+ 【考点】 7F：基本不等式 10 【分析】 根据题意，分析可得 3m+2n= （ m+n） + （ m n），又由 + =1，则有 3m+2n=（ m+n） + （ m n） + =3+ + ，利用基本不等式分析可得答案 【解答】 解：根据
