1、 培优选练(四)_与坐标系有关的面积问题_ 学生用书 B24 一、利用点的坐标求面积 1如图 1，ABC 的两个顶点坐标分别为 A(4，0)，B(2，0)，且 AB 边上的高为 4，第三个顶点 C 的横坐标为1.求顶点 C 的坐标及 三角形的面积 解：如答图，AB 边上的高为 4， 点 C 的纵坐标为 4 或4， 第三个顶点 C 的横坐标为1， 点 C 的坐标为 C1(1，4)或 C2(1，4) AB2(4)246， SABC1 26412. 22019 苍溪期中(1)在平面直角坐标系(图 2)中，描出下列 3 个点： A(1，0)，B(3，1)，C(4，3)； (2)顺次连接 A，B，C，组
2、成ABC，求ABC 的面积 解：(1)如答图； (2)如答图，SABCS梯形ADECSABDSBCE 1 2(14)5 1 214 1 214 12.5228.5. 32018 春 东阿期末在如图 3 所示的正方形网格中，每个小正方形 的单位长度均为 1，ABC 的三个顶点恰好是正方形网格的格点 (1)写出图中所示ABC 各顶点的坐标； (2)求出此三角形的面积 解：(1)A(3，3)，B(2，2)，C(4，3)； (2)如答图所示，SABCS 矩形DECFSBECSADBSAFC661 2 611 255 1 261 35 2 . 4如图 4，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 各顶点的坐
3、标分别 为 A(0，1)，B(5，1)，C(7，3)，D(2，5) (1)填空：四边形 ABCD 内(边界点除外)一共有_13_个整点(即横、 纵坐标都是整数的点)； (2)求四边形 ABCD 的面积 解：(2)如答图所示， S四边形ABCDSADESDFCS四边形BEFGSBCG， SADE1 2244，SDFC 1 2255， S四边形BEFG236，SBCG1 2222， S四边形ABCD456217. 52018 春 北流期末如图 5，平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的 顶点坐标分别为 A(1， 0)，B(5， 0)， C(3， 3)， D(2， 4)， 求四边形 ABCD 的面积
4、 解：如答图，作 CEx 轴于点 E，DFx 轴于点 F. 则 SADF1 2(21)42， S 梯形DCEF1 2(34)(32)3.5， SBCE 1 2(53)33， S四边形ABCD23.538.5. 二、利用面积求点的坐标 6在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别是(0，2)，(0，2)， 点 C 在 x 轴上，如果ABC 的面积为 6，求点 C 的坐标 解：设点 C 的坐标为(x，0) 由1 2(22)|x|6，得|x|3，解得 x13，x23， 点 C 的坐标为(3，0)或(3，0) 7在平面直角坐标系中，点 A(1，0)，B(5，0)，点 C 在 y 轴上，且 ABC 的面
5、积为 4.求点 C 的坐标 解：设点 C 到 x 轴的距离为 h. AB514，SABC41 24 h，解得 h2， 点 C 的坐标为(0，2)或(0，2) 82019 绍兴期末已知：A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)(1)在坐标系(图 6)中描出各点，画出ABC. (2)求ABC 的面积； (3)设点 P 在坐标轴上，且ABP 与ABC 的面积相等，求点 P 的坐 标 解：(1)如答图； (2)如答图，过点 C 向 x，y 轴作垂线，垂足分别为 D，E. S四边形DOEC3412，SBCD1 2233，SACE 1 2244， SAOB1 2211. SABCS四边形DOECSACES
6、BCDSAOB123414； (3)当点 P 在 x 轴上时，SABP1 2AO BP4，即 1 21BP4，解得 BP8， 点 P 的坐标为(10，0)或(6，0)； 当点 P 在 y 轴上时，SABP1 2BO AP4，即 1 22AP4，解得 AP 4. 点 P 的坐标为(0，5)或(0，3) 点 P 的坐标为(0，5)或(0，3)或(10，0)或(6，0) 92018 春 庆云期末已知在平面直角坐标系中有三点 A(2，1)， B(3，1)，C(2，3)请回答如下问题： (1)在坐标系内(如图 7)描出点 A，B，C 的位置； 图 7 (2)求出以 A，B，C 三点为顶点的三角形的面积；
7、 (3)在 y 轴上是否存在点 P，使以 A，B，P 三点为顶点的三角形的面 积为 10？若存在，请直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)描点如答图； 第 9 题答图 (2)依题意得 ABx 轴，且 AB3(2)5， SABC1 2525； (3)存在AB5，SABP10， P 点到 AB 的距离为 4，又点 P 在 y 轴上， 点 P 的坐标为(0，5)或(0，3) 102018 春 黄石期末如图 8，在平面直角坐标系中，已知 A(0，2)， B(3，0)，C(3，4)三点 (1)求ABC 的面积； (2)如果在第二象限内有一点 P m，1 2 ，请用含 m 的式子表示四边
8、形 ABOP 的面积； (3)在(2)的条件下，是否存在点 P，使四边形 ABOP 的面积与ABC 的面积相等？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 解：(1)如答图，过点 A 作 AHBC 于 H， 则 SABC1 2BC AH 1 2436； (2)P m，1 2 在第二象限，m0， S四边形ABOPSAOBSAPO1 223 1 2(m)23m. 故四边形 ABOP 的面积为 3m； (3)由四边形 ABOP 的面积与ABC 的面积相等， 得 3m6， 解得 m 3， 此时 P 点坐标为 3，1 2 ， 故存在 P 3，1 2 ， 使四边形 ABOP 的面积与ABC 的面积相
9、等 11 在平面直角坐标系 xOy 中， 对于任意三点 A， B， C 的“矩面积”， 给出如下定义：“水平底”a 是任意两点横坐标差的最大值，“铅垂 高”h 是任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”Sah.例如：三 点坐标分别为 A(1，2)，B(3，1)，C(2，2)，则“水平底”a5， “铅垂高”h4， “矩面积”Sah20.根据所给定义解决下列问题： (1)若已知点 D(1，2)，E(2，1)，F(0，6)，则这三点的“矩面积” _15_； (2)若 D(1，2)，E(2，1)，F(0，t)三点的“矩面积”为 18，求点 F 的坐标 解：(1)点 D(1，2)，E(2，1)，F(0，6)， a1(2)3，h615，Sah3515； (2)由题意可得，“水平底”a1(2)3， 当 t2 时，ht1，则 3(t1)18，解得 t7， 故点 F 的坐标为(0，7)； 当 1t2 时， h211， 则 3h318， 故此种情况不符合题意； 当 t1 时，h2t，则 3(2t)18，解得 t4， 故点 F 的坐标为(0，4) 点 F 的坐标为(0，7)或(0，4)
