1、 - 1 - 遂宁市高中 2020级第二学期期末教学水平监测 数 学 试 题 一、选择题（本大题共 12小题，每题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 的值是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】分析 ： 首先观察题中所给的式子，结合正弦的倍角公式，可以确定其为 的值，借助于特殊角的三角函数值求得结果 . 详解 ： 根据正弦的倍角公式可得 ， 故选 C. 点睛 ： 该题考查的是有关三角函数值的求解问题，涉及到的知识点有正弦的倍角公式，以及特殊角的三角函数值，属于 简单题目 . 2. 已知 ，则下列不等式正确的是 A. B. C. D. 【答案】
2、 B 【解析】分析：利用不等式的基本性质即可判断出正误 详解： a b 0， a 2 b2， ， 因此 A， B， D不正确， C正确 故选： C 点睛：本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3. 已知等比数列 中， ， ，则 A. 4 B. 4 C. D. 16 【答案】 A 【解析】分析 ： 由已知求出等比数列的公比，代入等比数列的通项公式得到 答案 . 详解 ： 在等比数列 中 ， 由 ， - 2 - 得 ， 所以 ， ， 故选 A. 点睛 ： 该题考查的是有关等比数列的项的求解问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有等比数列的项之间的关系，等比数列的通项公式的
3、应用，注意奇数项是同号的，所以不会出现负值，以免出错 . 4. 若向量 ， ， ，则 等于 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】分析 ： 设 ， 利用两个向量坐标形式的运算法则，用待定系数法求出 和 的值，即可求得答案 . 详解 ： 因为 ， 设 ， 则有 ， 即 ，解得 ， 所以 ，故选 D. 5. 在 中， 60 ， ， ，则 等于 A. 45 或 135 B. 135 C. 45 D. 30 【答案】 C 【解析】分析 ： 由 所给的条件是边及对角，故考虑利用正弦定理，由正弦定理可得 ， 利用三角形中大边对大角 ， 确定出其为锐角，从而求得结果 . 详解 ： 因为 ，由正弦定理
4、可得， ， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 故选 C. - 3 - 点睛 ： 该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理 ， 利用正弦定理求得， 在根据正弦值得角的大小时，一定要认真分析题的条件，根据边的大小关系，得到角的大小，不要 误选，出现钝角的情况 . 6. 在 中，已知 ，那么 一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 正三角形 【答案】 A 【解析】分析 ： 首先根据题的条件，根据三角形内角和以及诱导公式，得到， 借助于正弦差角公式，得到 ， 结合三角形内角的取值范围，得到 ， 从而确定出三角形的形状 . 详解 ： 因为 ， 所以
5、, 所以 ， 所以 ， 即 ， 所以 ， 所以 是等腰三角形，故选 A. 点睛 ： 该题考查的是有关三角形形状的判断问题，涉及到的知识点有三角形的内角和，正弦的诱导公式，正弦的差角公式， 根据三角形内角的取值范围，从而确定出角的关系，求得三角形的形状 . 7. 不等式 对任何实数 恒成立，则 的取值范围是 A. ( 3， 0 ) B. ( 3， 0 C. 3， 0 ) D. 3， 0 【答案】 B 【解析】分析 ： 时 ， 恒成立； 时，结合二次函数的性质列出不等式组，由此可求得实数 的取值范围 . 详解 ： 当 时 ， 恒成立，故满足题意； 时 ， ， 解得 ； 所以 的取值范围是 ， 故选
6、 B. 点睛 ： 该题考查的是有关不等式恒成立时参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要对- 4 - 参数进行讨论，注意 恒成立的条件，得到相应的不等式组，求得结果 . 8. 莱茵德纸草书 (Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100磅面包分给 5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的 是较小的三份之和，则最小的 1 份为 A. 磅 B. 磅 C. 磅 D. 磅 【答案】 D 【解析】分析 ： 设五个人所分得的面包为 （其中 ），根据题中所给的条件，列出方程组，求出 和 的值，从而求得最小的一份的值 . 详解 ： 设五个人所分得的面包
7、为 （其中 ）， 因为把 100个面包分给五个人， 所以 ， 解得 ， 因为使较大的两份之和的 是较小的三份之和， 所以 ， 得 ， 化简得 ， 所以 ， 所以最小的 1份为 ， 故选 D. 点睛 ： 该题考查的是有关等差数列的应用题，在解题的过程中，需要根据题中的条件，设出对应的项，根据条件列出等量关系式，求得结果，再根据题意，列出对应的式子，求得结果 . 9. 如图，为测得河对岸塔 的高，先在河岸上选一点 ，使 在塔底 的正东方向上，此时测得点 的仰角为 再由点 沿北偏东 方向走 到位置 ，测得 ，则塔 的高是 - 5 - A. 10 B. 10 C. 10 D. 10 【答案】 B 【解
8、析】分析 ： 设塔高为 米，根据题意可知在 中 ， ， ， ，从而有 ， 在 中 ， ， ， ， ， 由正弦定理可求 ， 从而可求得 x的值即塔高 . 详解 ： 设塔高为 米，根据题意可知在 中 ， ， ， ， 从而有 ， 在 中 ， ， ， ， ， 由正弦定理可得 ， 可以求得 ， - 6 - 所以塔 AB的高为 米，故选 B. 点睛 ： 该题考查的是有关利用正余弦定理解决空中高度测量的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有直角三角形中边角的关系，方位角，正弦定理，注意特殊角的三角函数值的大小 . 10. 已知两个等差数列 和 的前 项和分别为 和 ，且 ，则使得 为质数的正整数 的个数是
9、A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】 A 【解析】试题分析：由等差数列的中项可知， ，然后上下再同时乘以 ，得到 ，如果是正数，那么 ，所以共 5个 考点： 1等差中项； 2等差数列的前 项的和 11. 如图，菱形 的边长为 为 中点，若 为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为 A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析：由向量的几何意义可知 ，因为点 为菱形 内任意一点，所以可设 ，则，又点 满足 ，所以由线性规划知识可知，当 时， 取得最大值 ，故选 D 考点： 1向量的运算； 2线性规划 - 7 - 【名师点睛】本题主要考查平面向量的基本运算与线性规划，属中档题
10、；高考对平面向量的线性运算及数量积的考查主要有以下几个方面： 1考查向量加法与减法的几何意义； 2求已知向量的和； 3与三角形联系求参数的值；与平行四边形联系，研究向量关系； 5以向量数量积为工具与函数、解析几何、线性规划等知识联系 12. 对于数列 ，定义 为数列 的 “ 诚信 ” 值，已知某 数列 的“ 诚信 ” 值 ,记数列 的前 项和为 ，若 对任意的 恒成立，则实数 的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】分析：由题意首先求得 的通项公式，然后结合等差数列的性质得到关于 k的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果 . 详解：由题意 , ， 则 ，很明显 n?2时
11、, ， 两式作差可得： ， 则 an=2(n+1),对 a1也成立，故 an=2(n+1)， 则 an?kn=(2?k)n+2， 则数列 an?kn为等差数列， 故 Sn?S6对任意的 恒成立可化为： a6?6k?0,a7?7k?0； 即 ，解得： . 实数 的取值范围为 . 本题选择 B选项 . 点睛： “ 新定义 ” 主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后- 8 - 根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解 .对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求 .但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说
12、 “ 新题 ” 不一定是 “ 难题 ” ，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝 . 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分） 13. 不等式 的解集为 _. 【答案】 【解析】分析 ： 首先将分式不等式转化为整式不等式，利用一元二次不等式的解法，求得其解集，得到结果 . 详解 ： 分式不等式 可以转化为 ，解得 ， 所以原不等式的解集为， 故答案是 . 点睛 ： 该题考查的是有关分式不等式的解法问题，在解题的过程中，注意将分式不等式转化为整式不等式，之后应用一元二次不等式的解法求得结果 ， 涉及到的知识点就是分式不等式与整式不等式的等价转化 . 14. 化简 _. 【答案】 1
13、 【解析】分析 ： 首先从式子中分析得出 角的大小，借助于两角和的正切公式，得到与 之间 的关系，借助于 角的正切值，求得结果 . 详解 ： 因为 ， 所以 ， 所以有 ， 故答案是 1. 点睛 ： 该题考查的是有关三角函数化简求值问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两角和的正切公式的逆用，注意 角的正切值的大小 . 15. 已知 ，并且 ， ， 成等差数列，则 的最小值为 _. 【答案】 9 【解析】分析 ： 根据等差数列的性质，得到 ， 由乘 “1” 法，结合基本不等式的性质，- 9 - 求出 的最小值即可 . 详解 ： 因为 ， ， 成等差数列，所以 ， 所以， 当且仅当 ， 即 时等
14、号成立， 故答案是 9. 点睛 ： 该题考查的是 有关利用基本不等式求最小值的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有三个数成等差数列的条件，已知两个正数的分式形式和为定值，求其整式形式和的最值的问题，注意乘 1法的应用 . 16. 已知函数 的定义域为 ,若对于 、 、 分别为某个三角形的边长，则称 为 “ 三角形函数 ” 。给出下列四个函数： ； ； ； . 其中为 “ 三角形函数 ” 的数是 _. 【答案】 【解析】分析 ： 分析题意，先由 、 、 分别为某个三角形的边长，得到 、 满足三角形的三边关系，之后逐个对函数的值域进行分析求解， 从而得到结果 . 详解 ： 对于 ， ， 对于 、 、 ， 所以 分别为某个三角形的边长，故 是 “ 三角形函数 ” ； 对于 ， ， 当时，不满足三角形的三边关系，故 不是 “ 三角形函数 ” ； 对于 ， ， 当 时，不满足三角形的三边关系，故 不是 “ 三角形函数 ” ； 对于 ， , 令 ， 此时有 ， 所以 分别为某个三角形的边长，故 是 “ 三角形函数 ” ； - 10 - 故答案是 . 点睛 ： 该题考查的是有关新定义的问题，在解题的过
