1、 1 扬州市 2016 2017学年度第二学期期末检测试题 高一数学 一、填空题（本大题共 14小题，每小题 5分，共 70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1. _ 【答案】 【解析】 由二倍角公式可得： . 2. 不等式 的解为 _ 【答案】 【解析】 不等式即： ， 据此可得不等式的解集为： . 3. 中， ，则 _ 【答案】 【解析】 由余弦定理可得：. 4. 已知圆锥的母线长为 ，侧面积为 ，则此圆锥的体积为 _ 【答案】 【解析】 圆锥的母线长是 5，侧面积是 20 ， 设圆锥的半径为 r， 有 ， 圆锥的高为 ， 圆锥的体积为 . 5. 已知 ， ，则 _ 【答案】 【解析
2、】 由题意可得： ， 2 则： . 点睛： 熟悉三角公式的整体结构，灵活变换本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形 6. 设变量 满足约束条件 ，则目标函数 的最小值为 _ 【答案】 【解析】 先画出二元一次不等式组所表示的平面区域，目标函数 为截距型目标函数，令 ，作直线 ，由于 ， 表示直线的截距，平移直线 得最优解为 ， 的最小值为 . 7. 若等差数列 的前 项和为 ， ， ，则使得 取最大值时的正整数_ 【答案】 3 【解析】 由等差数列
3、的性质可得： ， 数列的公差： ， 据此可得，数列 单调递减，且： ， 使得 取最大值时的正整数 3. 3 8. 已知 ， ， 是三个平面， ， 是两条直线，有下列四个命题： 如果 ， ，那么 ； 如果 ， ，那么 ； 如果 ， ，那么 ； 如果 ， ， ，那么 其中正确的命题有 _（写出所有正确命题的序号） 【答案】 【解析】 由题意可得： 由面面垂直的判断定理，如果 ， ，那么 ；该说法正确； 如果 ， ，可能 ；该说法错误； 如果 ， ，可能 ；该说法错误； 如果 ， ， ，那么 该说法正确； 综上可得：正确的命题有 . 9. 已知 且 ，则 _ 【答案】 【解析】 ， 由同角三角函数基
4、本关系可得： ， 则： . 点睛： 运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用 . 10. 若数列 的前 项和为 ，若 ，则正整数 的值为 _ 【答案】 6 【解析】 ，则：， . 则： ，解得： . 4 11. 已知正数 满足 ，则 的最小值为 _ 【答案】 4 【解析】 由题意可得： ，即： ， 当且仅当 时等号成立，故 的最小值为 4. 点睛： 一是在应用基本不等式求最值时，要把握不 等式成立的三个条件，就是 “ 一正 各项均为正；二定 积或和为定值；三相等 等号能否取得 ” ，若忽略了某个条件，就会出现错误 二是在利用不等式求最值时，一定要
5、尽量避免多次使用基本不等式若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致 . 12. 如图，为测量山高 MN，选择 A和另一座山的山顶 C为测量观测点从 A点测得， CAB 45 以及 MAC 75 ；从 C点测得 MCA 60 ；已知山高 BC300米，则山高 MN _米 【答案】 450 【解析】 在 RTABC 中 ,CAB=45 ,BC=300m,所以 AC= m. 在 AMC中 ,MAC=75 ,MCA=60 ,从而 AMC=45 ， 由正弦定理得 , ,因此 m. 在 RTMNA 中 , m,MAN=60 ,由 得 m. 13. 在数列 中， 对任意 成立，其中常数 若关于 的
6、不等式 的解集为，则实数 的取值范围是 _ 5 【答案】 【解析】 由递推关系可得： 两式作差可得： ,则： ， 递推公式中令 可得： ， 则不等式变形为： ， 则： 对于 恒成立， 据此可得实数 的取值范围是 . 点睛： 对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a f(x)恒成立 ?a f(x)max； (2)a f(x)恒成立 ?a f(x)min. 14. 在 中，角 的对边分别为 若 ， ，则的最小值是 _ 【答案】 . 【解析】 由余弦定理 ，即 ，则： 由均值不等式的结论可得： ， 则 的最小值是 . 二、解答题： （ 本大题共 6道题，计 90分 解答应写出必要的文字说明、证
7、明过程或演算步骤） 6 15. 已知： （ 1）求 的值； （ 2）若 ，求 的值 【答案】 （ 1）；（ 2） . 【解析】 试题分析： (1)利用题意结合同角三角函数基本关系可得 的值为； (2)利用题意首先求得 ，则 . 试题解析： （ 1） ， （ 2） ，解得： 16. 已知：三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， 分别为 ， 的中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）若 ，求证： 平面 【答案】 （ 1）详见解析；（ 2）详见解析 . 【解析】 试题分析： (1)利用题意证得 ，由线面平行的结论有 平面 ； (2)利用题意可 得： ， ，结合线面垂直的结论则有 平面 试题解析： （ 1
8、） ， 分别为 ， 的中点 7 平面 ， 平面 平面 . （ 2） ， 为 的中点 平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 平面 平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面 点睛： 注意使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为 “ 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面 ” 17. 已知正项 等比数列 的前 项和为 ，且 ， （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）设 ，求数列 的前 项和 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 【解析】 试题分析： (1)由题意求得首项和公比，则数列 的通项公式为 ； (2)结合 (1)的结果错位相减可得 . 试题解析： （ 1）设正项等比数列 的公
9、比为 ，若 ，则 ，不符合题意；则 ， 解得： 8 （ 2） 得： 点睛： 一般地， 如果数列 an是等差数列， bn是等比数列，求数列 an bn的前 n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列 bn的公比，然后作差求解 18. 在锐角 中，角 的对边分别为 ，满足 （ 1）求角 的大小； （ 2）若 ， 的面积 ，求 的值； （ 3）若函数 ，求 的取值范围 【答案】 （ 1） ；（ 2） ；（ 3） . 【解析】 试题分析： (1)由题意结合正弦定理可得 ； . (2)由题意得到关于 b+c的方程，解方程可得 的值为 7； (3)化简三角函数式，结合角的范围可得 的取
10、值范围是 . 试题解析： （ 1）根据正弦定理 得： （ 2） 9 （ 3） 为锐角三角形 ，又 的取值范围为 . 19. 水培植物需要一种植物专用营养液已知每投放 （ 且 ）个单位的营养液，它在水中释放的浓度 （克 /升）随着时间 （天）变化的函数关系式近似为 ，其中 ，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的 营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于 4（克/升）时，它才能有效 （ 1）若只投放一次 4 个单位的营养液，则有效时间可能达几天？ （ 2）若先投放 2个单位的营养液， 3天后投放 个单位的营养液要使接下来的 2天中，营养液能够持续有效，试求
11、 的最小值 【答案】 （ 1） ；（ 2） . 【解析】 试题分析： (1)由题意得到关于 x的不等式，求解不等式可知营养液有效时间可达 4天 (2)利用题意结合对勾函数的性质可得 的最小值为 . 试题解析： （ 1） 营养液有效则需满足 ，则 或 ，解得， 所以营养液有效时间可达 4天 （ 2）设第二次投放营养液的持续时间为 天，则此时第一次投放营养液的持续时间为天，且 ；设 为第一次投放营养液的浓度， 为第二次投放营养液的浓度， 为10 水中的营养液的浓度； ， ， 在 上恒成立 在 上恒成立 令 ， ， 又 ，当且仅当 ，即 时，取等号； 所以 的最小值为 . 答：要使接下来的 2天中，营养液能够持续有效， 的最小值为 20. 已知数列 满足：对于任意 且 时， ， （ 1）若 ，求证： 为等比数列； （ 2）若 求数列 的通项公式； 是否存在 ，使得 为数列 中的项？若存在，求出所有满足条件的 的值；若不存在，请说明理由 【答案】 （ 1）详见解析；（ 2） ， . 【解析】 试题分析： (1)由等比数列的定义可证得 为常数 ，则 为等比数列； (2)由题意累加可得 (3)假设存在实数 k，得到关于 k的不等式组，求解不等式组可得存在 满足题意 . 试题解析： （ 1）当 时， 且 为常数 为等比数列 （ 2） 当 时，
