1、 - 1 - 2016-2017 学年第二学期期末考试高一年级 数学试卷（理科） 选择题：本题共 12 小题，每小题 5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知 ,向量 与 的夹角为 ，则 等于（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】 C 【解析】由向量数量积定义可知： ，故选 C. 2. 有一个几何体的三视图如右图所示，这个几何体应是一个 ( ) A. 棱台 B. 棱锥 C. 棱柱 D. 都不对 【答案】 A 【解析】由三视图知，从 正面和侧面看都是梯形，从上面看为正方形，下面看是正方形，并且可以想象到连接相应顶点的四条线段就是几何体的四条侧棱，故这个三视
2、图是四棱台 ,故选A. 3. 如图， ABCD A1B1C1D1为正方体，下面结论 错误 的是 ( ) A. BD 平面 CB1D1 B. AC1 BD C. AC1 平面 CB1D1 D. 异面直线 AD与 CB1角为 60 - 2 - 【答案】 D 【解析】考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系 分析： A中因为 BDB1D1 可判， B和 C中可由三垂线定理进 行证明；而 D中因为 CB1D1A ，所以 D1AD 即为异面直线所成的角， D1AD=45 解答：解： A中因为 BDB1D1 ，正确； B中因为 ACBD ，由三垂线定理知正确；
3、C 中有三垂线定理可知 AC1B1D1 ， AC1B1C ，故正确； D 中显然异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 45 故选 D 点评：本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力 4. 如果一个几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图是边长为 2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，（单位长度： cm），则此几何体的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由已知中的三视图可得该几何体为四棱锥， 正视图与侧视图是边长为 2的正三角形，俯视图为正方形， 棱锥的底面棱长为 2，高为 ，故棱锥的体积，故选 D. 5. 在 ABC中，如果 ，那么 等于 （ ）
4、A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析：由正弦定理可将 化为 考点：正余弦定理解三角形 - 3 - 6. 各项为正的等比数列 中， 与 的等比中项为 ，则 的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D 【解析】由 与 的等比中项为 得 ： , 故 ， 故选 D. 7. 已知直线 、 , 平面 , ，那么 与平面 的关系是（ ） . A. B. C. D. 与 相交 【答案】 C 【解析】在正方体 中， 取 ， ，当取面 为平面 时， 满足 ， ，此时 ；当取面 为平面 时， 满足 ， ，此时 当直线 、 ，平面 ， ， 时， 与平面 的关系是 或 ,故选：
5、 C. 8. 原点和点 (1,1)在直线 两侧，则 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】因为原点和点 在直线 的两侧，所以 ， 解得 ，故选 B - 4 - 点睛 ： 本题考查二元一次不等式的几何意义，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用 ； 二元一次不等式表示的平面区域 ， 一般地，直线 把直角坐标平面分成了三个部分： 直线上的点（ ）的坐标满足 ； 直线 l一侧的平面区域内的点（ ）的坐标满足 ； 直线另一侧的平面区域内的点（ ）的坐标满足 9. 已知 A， B， C三点在球 O的球面上， AB=BC=CA=3，且球心 O到平面 ABC的距离等于球半径的 ，
6、则球 O的表面积为 （ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析：设球的半径为 r， O 是 ABC 的外心，外接圆半径为 R= ， 球心 O到平面 ABC的距离等于球半径的 ， 得 ，得 球的表面积 考点：球的体积和表面积 10. 以下列函数中，最小值为 的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】试题分析：由不等式性质 可知，当且仅当 即 时等号成立， 取得最小值 2 考点：不等式性质 11. 设 ，则下列选项中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】若 且 ， 不妨令 ， ，则， ，故 最大，故选 B. - 5 - 12. 等比数列
7、an的前 n项和为 Sn，若 S2n (a2 a4 ? a2n)， a1a3a5 8，则 a8 ( ) A. B. C. 64 D. 128 【答案】 C 【解析】利用等比数列的性质可得 ， 即 ， 因为 ，所以 时有 ， 所以 ， ，故 ， 故选 C. 点 睛：本题主要考查了等比数列的前 项和，以及等比数列的性质和通项公式，属于基础题 ；先根据等比数列的性质可求出 的值，然后根据 中令 可求出求出公比，即可求出 的值 . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分 . 13. 已知直线经过点 A(0,4)和点 B（ 1， 2），则直线 AB的斜率为 _. 【答案】 【解析】由两点间斜率计算公
8、式可得 ， 故答案为 . 14. 两平行直线 的距离是 _. 【答案】 【解析】由平行线间的距离公式可知 . 15. 与向量 ( 5,12)共线的单位向量的坐标是 _ 【答案】 故答案为 . 16. 、 是两个不同的平面， m、 n是平面 及 之外的两条不同直线 ,给出四个论断： m n m n - 6 - 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题： _. 【答案】 或 【解析】若 ， ， 成立，则 与 可能平行也可能相交，也可能 ，即 不一定成立；若 ， ， 成立，则 与 可能平行也可能相交，也可能 ，即 不一定成立；若 ， ， 成立，则 成立 ； 若 ， ，
9、成立，则 成立 ， 故答案为： 或. 点睛 ： 本题考查的知识点是空间直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握空间直线与平面垂直关系的判定定理、性质定理、及几何特征是解答本题的关键 ； 根据线面垂直、线线垂直、面面垂直的判定与性质，分别探究 ? ， ? ， ? ， ? 的真假，即可得到答案 . 三、解答题 . 17. 已知三角形的三个顶点 A( 5， 0)， B(3， 3)， C(0， 2)，求 BC边所在的 直线方程，以及该边上的高线方程 【答案】 试题解析：由两点式得 BC的方程为： ，即 ， 由 得 的高线方程的斜率 ， 所以 ， 即所求直线方程为 . 18. 在 中，内角 的对边分别为 ，已
10、知 （ 1）求 的值； （ 2）若 求 的面积 S. 【答案】（ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析 ：（ 1） 利用正弦定理，将边的关系转化为角的关系，结合两角和的正弦公式可得 ， 最后根据三角形内角和公式以及又道公式可得结果；- 7 - （ 2） 根据余弦定理以及（ 1） 中的结果可得 ， ， 由三角形面积公式可得最后结果 . 试题解析：（ 1）由正弦定理得： ， 整理求得 ，又 ，即 . （ 2）由余弦定理可知 由（ 1）可知 再由 ， 联立求得 ， ， . 19. 设等差数列 an满足 a3=5,a10=-9. (1)求 an的通项公式 ; (2)求 an的前 n项和 Sn的最大值
11、 . 【答案】（ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析 ： （ 1）根据已知条件可得到关于 和 的方程组，解出方程组即可得到数列的通项公式；（ 2） 根据等差数列前 项和公式可得结果 . 试题解析： (1)由 及 , 得 , ，解得， 数列 an的通项公式为 . (2)由 (1)知 . 因为 ，所以 时 , 取得最大值 25. 点睛 ： 本题主要考查了等差数列，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和 分别为特殊数列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于，其中 为等差数列， 为等比数列等 . 20. 如图，
12、在四棱锥 PABCD中， PA 底面 ABCD， AB AD， AC CD， ABC 60 ， PA ABBC， E是 PC 的中点 - 8 - (1)证明： AE 平面 PCD； (2)求二面角 A PD C 的正 弦值 【答案】（ 1）见解析；（ 2） . 【解析】试题分析 ：（ 1） 通过 和 得到 平面 ， 利用等腰三角形的性质可得 ， 可得结论；（ 2） 过点 作 ，垂足为 ，连接 ， 证得是二面角 的平面角 ， 在 中先求出 ，然后在 中求出结论 . 试题解析： (1)证明：在四棱锥 中，因 底面 ， 平面 ， 故 .由条件 ， ， 平面 . 又 平面 ， . 由 ， ，可得 .
13、是 的中点， . 又 ，综上得 平面 . （ 2）过点 作 ，垂足为 ，连接 ， 由（ 1）知， 平面 ， 在平面 内的射影是 ，则 因 此 是二面角 的平面角 由已知，可得 设 ，可得 ， ， ， 在 中， ， ，则 ， 在 中， . 21. 已知不等式组 , - 9 - 求此不等式组表示的平面区域的面积； 求 的最大值； 求 的取值范围 . 【答案】（ 1） 36；（ 2） 15；（ 3） . 【解析】试题分析 ： 首先作出不等式组所表示的区域， （ 1） 求出三角形面积即可；（ 2） 利用简单线性规划求出目标函数的的最大值；（ 3） 根据其集合意义即表示 和 两点间的斜率 . 试题解析：
14、作出平面区域如图 交点 ， (1) . (2)由 ,得 ,由图可知当直线 过点 时，截距最小 ， 即 最大，此时 . (3) 可以看作 和 两点间的斜率 ， 故其范围是 . 点睛 ： 本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值以及几何意义表示斜率，属简单题 .求目标函数最值的一般步骤是 “ 一画、二移、三求 ” ：（ 1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（ 2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（ 3）将最优解坐标代入目标函数求出最值 22. 已知直线 l过定点（ 1.4） ,求当直线 l在第一象限与坐标轴围 成的三角形面积最小时 ,此直线的方程 . 【答案】 . 【解析】试题分析 ： 根据题意设出直线的点斜式方程，分别求出截距，得到三角形面积的表- 10 - 达式，根据基本不等式得最后结果 . 试题解析：设 ，（ ），令 ， 令 ， ， ，当且仅当 ，即 时，等号成立 此时直线的方程为 .
