1、 - 1 - 汽车区高一年级 20162017学年度下学期期末考试 数学（理）试题 一、选择题：（共 14题，每题 5 分，共 70分，每题只有一个正确答案） 1. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 ( ) A. 18 B. 36 C. 54 D. 72 【答案】 D 【解析】试题分析： ， . 考点：等差数列的基本概念 . 2. 直线 ，直线 ，若 / ，则 等于（ ） A. 3 B. 2 C. 3或 2 D. 3或 2 【答案】 A 【解析】由题意，得 ，解得 ，故选 A. 点睛：当已知直线的一般式判定两直线的位置关系时，往往先将一般式化成斜截式再进行判定，但要考虑 的系数是否为 0
2、，可能需要讨论，熟记一些结论，可避免讨论，如：已知直线，直线 ，若 ，则 ；若 ，则 . 3. 在等比数列 中 , 则 A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由等比数列的性质有 ，代入已知值，求得 . 4. 能保证直线与平面平行的条件是 ( ) A. 直线与平面内的一条直线平行 B. 直线与平面内的某条直线不相交 C. 直线与平面内的无 数条直线平行 D. 直线与平面内的所有直线不相交 【答案】 D 【解析】试题分析：根据线面平行的定义可知，一条直线要与一个平面平行，则须满足：这条直线与这个平面没有公共点，选项 A、 B、 C中均没有明确直线与平面没有交点，而 D选项，根据直线与平面内
3、的所有直线不相交，说明这条直线不在平面内，且与平面无公共点，所以这条直线与这个平面一定是平行关系，故选 D. - 2 - 考点：线面平行的判定 . 5. 在矩形 ABCD中， AB=4， BC=3，沿 AC将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B AC D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由题意知，四面体的外接球的球心到 4个顶点的距离相等，所以球心在对角线 AC 上，且为 AC 的中点，而 ，所以外接球的半径 ，故外接球的体积，选 C. 6. 一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为 1，则该几何体外接球的表
4、面积为（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 由已知三视图，作出直观图如上图所示，四棱锥 A-BCDE， AE 底面 BCDE，底面 BCDE为边长为 1的正方形， AE=1，可将此四棱锥补成一个棱长为 1的正方体，则此正方体的外接球为该四棱锥的外接球，直径为 AC，且 ，半径 ，所以该几何体的外接球的表面积为 ，选 B. 点睛：本题主要考查由已知三视图求该几何体的表面积，属于中档题，解答本题的关键是根据数据所对应的几何量求得相应几何量的数据。 - 3 - 7. 在 ABC 中，若 a、 b、 c成等比数例，且 c=2a，则 cosB等于（ ） A. B. C. D. 【答案】
5、B 【解析】试题分析：由 b2 ac且 c 2a得 考点：余弦定理 8. 正方体 中， 与平面 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】试题分析：如下图，分别以边 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正 方体边长为 1，则 ，所以 ，设平面 的法向量为 ，则，取 则 ，所以 设 与平面 所成的角为 ，则 ，所以 ，故应选 考点： 1、直线与平面所成的角； 2、空间向量法求立体几何问题 9. 若 ，则下列不等式成立的是（） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】试题分析： A中当 为负数时不成立； B中结合 的单调性可知结论不成立； C- 4 -
6、 中当 为负数时不成立； D中结合函数 的单调性可知不等式成立 考点：函数单调性比较大小 10. 若实数 满足 ，则 的取值范围为 ( ) A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】试题分析：由不等式可知可行域为直线 围成的三角形，顶点为 ， 看作点 连线的斜率，结合图形可知斜率的范围为考点：线性规划问题 11. 设直线 l的方程为： ( )，则直线 l的倾斜角 的范 围是 A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】试题分析：直线的倾斜角的正切，是直线的斜率。所以 ，而 ，所以， 或 ，注意到 ，所以直线 l的倾斜角 的范围是 ，选 C。 考点：本题主要考查直线方程，直线的倾斜角，直线
7、的斜率，三角函数的性质。 点评：小综合题，通过求直线的倾斜角范围，综合考查了直线方程，直线的倾斜角，直线的斜率，三角函数的性质。解答中要注意直线倾斜角自身的范围是 。 12. 中国古代数学著九章算术中记载了公元前 年商鞅督造一种标准量器 -商鞅 铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若 取 ，其几何体体积为 （立方寸），则图中 的为（ ） - 5 - A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】圆面积为 ；长方形面积 ,所以有 , ,解得，故选 D. 13. 在 ABC 中，内角 A,B,C 对边的边长分别为 为锐角， , 则为 （ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形
8、D. 等腰直角三角形 【答案】 D 【解析】试题分析：由已知得 ，所以 ，且 ，由 为锐角，故 ，由正弦定 理得 ，则 ， ，展开得， ，故 ，所以 ，所以 是等腰直角三角形 考点：正弦定理和三角恒等变形 . 14. 某工作的三视图如图所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率 =新工件的体积 /原工件的体积） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】由题可得，问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如图所示，则有 - 6 - 所以长方体体积为 ，当且仅当 ,即 时，等号成立，故利用率为 ，故选 A
9、. 考点：三视图、基本不等式求最值、圆锥的内接长方体 二、填空题：（共 4题，每题 5分，共 20分） 15. 两平行直线 的距离是 _ 【答案】 【解析】由平行线间的距离公式可知 . 16. 已知直线 ,则该直线过定点 _ 【答案】（ -2,1） 【解析】略 17. 如图所示，正四棱锥 的所有棱长均相等， E是 PC 的中点，那么异面直线 BE 与PA所成的角的余弦值等于 _ 【答案】 - 7 - 【解析】试题分析：连接 相交于点 ，则点 为 的中点，因为 是 的中点，所以是 的中位线，则 ，则 与 所成的角 即为异面直线 与 所成的角，设四棱锥 的棱长为 ，则 ， 则 考点：异面直线所成的
10、角 【方法点晴】本题主要考查了空间几何体中的异面直线所成的角的求解，属于中试题，对于异面直线所成角的求解关键在于把异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角，然后放置在一个三角形中，利用解三角形的正、余弦定理求解，其中异面直线所成角的范围是解答此类问题的一个易错点本题的解答中连接 交于 ，连接 ，通过 ，得到即为异面直线 与 所成角是解答本题的关键 18. 如图，在 中， ， 点 在线段 上，且 ， ，则_ 【答案】 【解析】试题分析：因为 ，所以， - 8 - 则 ，故答案为 . 考点： 1、余弦的二倍角公式； 2、余弦定理的应用 . 【方法点睛】本题主要考查余弦定理及、余弦的二倍角公式，属
11、于难题 . 在解与三角形、三角函数有关的问题时往往需要综合运用两角和与差三角函数公式、正弦定理、余弦定理，运用余弦定理一定要熟记两种形式：（ 1） ；（ 2） ，同时还要熟练掌握运用两种形式的条件，以便在解题中直接应用 . 三、解答题：（共 5题，每题 12分，共 60分） 19. 解下列关 于 的不等式： ； 【答案】（ 1） 且 （ 2）见解析 【解析】试题分析 ： 分情况讨论，去掉绝对值，再解不等式，得出解集； 对原不等式等价变换得 ，再对实数 分情况讨论，得出解集。 试题解析： 解： 且 解：原不等式化为： 当 时，其解集为： ； 当 时，其解集为： ； 当 时，其解集为： 或 ； 当
12、 时，其解集为： 或 ； 当 时，其解集为： 点睛：本题主要考查了一元二次不等式的解，两个小题中都要分类讨论，属于中档题，在分类讨论时，注意做到不重不漏。 20. 已知 分 别为 三个内角 的对边， . （ 1）求 ； - 9 - （ 2）若 ，求 的面积 . 【答案】（ 1） ；（ 2） . 【解析】试题分析：（ 1）由正弦定理化简已知等式，利用三角和内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得 ；（ 2）由余弦定理可得 ，利用均值不等式可得 ， ，套用面积公式即可求解 . 试题解析：（ 1） ?2 分 ?4 分 即 ，又 ， 即 ?6 分 （ 2） ， ?8 分 ，即 又由题意知 . （当
13、时等式成立） ?10 分 ?12 分 考点：正余弦定理，面积公式 . 21. 已知直线经过点 A ，求： （ 1）直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （ 2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程 【答案】（ 1） y=3x， x+y=4（ 2） 【解析】试题分析：（ 1）当直线过原点时，方程为 y=3x，当直线不过原点时，设直线的方程为： x+y=k，把点（ 1， 3）代入直线的方程可得 k值，即得所求的直线方程；（ 2）设直线方程为： ，根据三角形的面积公式和基本不等式即可求出最值，继而得到直线方程 - 10 - 试题解析：（ 1）若直线的截距为 ，则直线方程为 ； 若直
14、线的截距不为零，则可设直线方程为： ，由题设有 ， 所以直线方程为： ， 综上，所求直线的方程为 。 （ 2）设直线方程为： ， ，而面积 ， 又由 得 ， 等号当且仅当 成立， 即当 时，面积最小为 12 所求直线方程为 考点：直线方程 22. 如图，四边形 与 均为菱形， ，且 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证： 平面 ； （ 3）求二面角 的余弦值 【答案】（ 1）见解析（ 2）见解析（ 3） 【解析】试题分析：（ 1）由线面垂直的判定定理得到结论；（ 2）通过证明线线平行 ,得到线面平行；（ 3）建立空间直角坐标系 ，求出平面 的法向量 ,易知 面 ,所以 面的法向量为 ,再求出它们的夹角的余弦值 . 试题解析：（ 1）证明：设 与 相交于点 ，连接 ，因为四边形 为菱形，所以 ，且 为 中点，又 ，所以 ， 因为 ，所以 平面 （ 2）证明：因为四边形 与 均为菱形，
