1、第 1 页 共 37 页 （学生版） （2020 年版） 前言 笔者翻阅了全国各省市的 n 套中考卷，发现中考压轴解答题无非分为以下几种，其一是抛 物线，其二是图形的变换，其三是新定义问题，其四是圆。现在笔者收集了大量的试题编成 本资料，希望能帮助到各位初三的毕业生。 2020.7.18 笔者 第一章抛物线. 1 第二章图形的变换.10 第三章 圆.21 第四章新定义.29 第 2 页 共 37 页 第一章抛物线 1.（2020湖州）如图 1，抛物线 yax2+（a+3）x+3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m，0） （0m4） ，过点
2、 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M （1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式； （2）设PMN 的周长为 C1，AEN 的周长为 C2，若，求 m 的值； （3） 如图 2， 在（2） 条件下， 将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE， 旋转角为（0 90） ，连接 EA、EB，求 EA+EB 的最小值 2.（2020重庆 B 卷）如图，在平面直角坐标系中抛物线 y=ax2+bx+2(a0)与 y 轴交于点 C， 与 x 轴交于 A， B 两点(点 A 在点 B 的左侧)， 且 A 点坐标为(2,0)， 直线 BC 的解析
3、式为 y = 2 3 x + 2 （1）求抛物线的解析式； （2）过点 A 作 AD/BC，交抛物线于点 D，点 E 为直线 BC 上方抛物线上一动点，连接 CE， EB，BD，DC.求四边形 BECD 面积的最大值及相应点 E 的坐标； （3）将抛物线 y=ax2+bx+2(a0)向左平移 2个单位，已知点 M 为抛物线 y=ax2+bx+2(a0) 的对称轴上一动点，点 N 为平移后的抛物线上一动点.在(2)中，当四边形 BECD 的面积最大 时，是否存在以 A，E，M，N 为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点 N 的坐 标；若不存在，请说明理由. 3.（2020无锡模拟）如图，
4、已知二次函数 yax22ax+c（a0）的图象交 x 轴于 A、B 两点， 交 y 轴于点 C过点 A 的直线 ykx+2k（k0）与这个二次函数的图象的另一个交点为 第 3 页 共 37 页 F，与该图象的对称轴交于点 E，与 y 轴交于点 D，且 DEEF （1）求点 A 的坐标； （2）若BDF 的面积为 12，求这个二次函数的关系式； （3）设二次函数的顶点为 P，连接 PF，PC，若CPF2DAB，求此时二次函数的表 达式 4.（2020山西模拟）如图，二次函数 y0.5x2+bx+c 的图象过点 B（0，1）和 C（4，3）两 点，与 x 轴交于点 D、点 E，过点 B 和点 C
5、的直线与 x 轴交于点 A （1）求二次函数的解析式； （2）在 x 轴上有一动点 P，随着点 P 的移动，存在点 P 使PBC 是直角三角形，请你求 出点 P 的坐标； （3）若动点 P 从 A 点出发，在 x 轴上沿 x 轴正方向以每秒 2 个单位的速度运动，同时动 点 Q 也从 A 点出发，以每秒 a 个单位的速度沿射线 AC 运动，是否存在以 A、P、Q 为顶 点的三角形与ABD 相似？若存在，直接写出 a 的值；若不存在，说明理由 5.已知抛物线 ya（x+3） （x1） （a0） ，与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点，与 y 轴 相交于点 C，经过点 A 的直线 yx+b
6、与抛物线的另一个交点为 D （1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式； （2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点 P，使得ACP 是以 AC 为直角边的直角三角 形，求点 P 的坐标； （3）在（1）的条件下，设点 E 是线段 AD 上的一点（不含端点） ，连接 BE一动点 Q 第 4 页 共 37 页 从点 B 出发， 沿线段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点 E， 再沿线段 ED 以每秒个 单位的速度运动到点 D 后停止，问当点 E 的坐标是多少时，点 Q 在整个运动过程中所用 时间最少？ 6.（2020无锡）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 OA 交二次函数的图
7、 像于点 A，AOB90，点 B 在该二次函数的图像上，设过点(0，m)(其中 m0)且平行于 x 轴的直线交直线 OA 于点 M，交直线 OB 于点 N，以线段 OM、ON 为邻边作矩形 OMPN （1）若点 A 的横坐标为 8用含 m 的代数式表示 M 的坐标；点 P 能否落在该二次函数 的图像上?若能，求出 m 的值，若不能，请说明理由 （2）当 m2 时，若点 P 恰好落在该二次函数的图像上，请直接写出此时满足条件的所有 直线 OA 的函数表达式 7.（2020张家港市模拟）如图，二次函效 yx2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，B 点坐 标为（4，0） ，与 y 轴交于
8、点 C（0，4）点 D 为抛物线上一点 （1）求抛物线的解析式及 A 点坐标； （2）若BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求点 D 的坐标； （3）若BCD 是锐角三角形，请写出点 D 的横坐标 m 的取值范围 第 5 页 共 37 页 8.（2020镇江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 y= 1 2x2 的图象分别交 x、y 轴 于点 A、B，抛物线 yx2+bx+c 经过点 A、B，点 P 为第四象限内抛物线上的一个动点 （1）求此抛物线对应的函数表达式； （2）如图 1 所示，过点 P 作 PMy 轴，分别交直线 AB、x 轴于点 C、D，若以点 P、B、 C 为顶点的
9、三角形与以点 A、C、D 为顶点的三角形相似，求点 P 的坐标； （3）如图 2 所示，过点 P 作 PQAB 于点 Q，连接 PB，当PBQ 中有某个角的度数等 于OAB 度数的 2 倍时，请直接写出点 P 的横坐标 9.（2020金华）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数 y= 1 2 x m 24 图象的顶点 为 A，与 y 轴交于点 B，异于顶点 A 的点 C(1，n)在该函数图象上 （1）当 m=5 时，求 n 的值. （2）当 n=2 时，若点 A 在第一象限内，结合图象， 求当 y 2 时，自变量 x 的取值范围. （3）作直线 AC 与 y 轴相交于点 D.当点 B 在 x
10、轴上方， 且在线段 OD 上时，求 m 的取值范围 (第 9 题) A C D O B y x 第 6 页 共 37 页 10.（2020自贡）在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2bx3 与 x 轴相交于 A 3，0 、 B 1，0 ，交 y 轴于点 N，点 M 抛物线的顶点，对称轴与 x 轴交于点 C. .求抛物线的解析式； .如图 1，连接 AM,点 E 是线段 AM 上方抛物线上的一动点，EF AM 于点 F；过点 E 作 EH x 轴于点 H,AM 于点 D.点 P 是 y 轴上一动点，当 EF 取最大值时. .求 PDPC 的最小值； .如图 2，Q 点是 y 轴上一动点,请直接写
11、出 DQ1 4 OQ 的最小值. 11.（2020湖南校级三模）抛物线 y=ax2bxc（a，b，c 是常数，a 0）的对称轴为 y 轴，且经过（0，0） ， （ a，1 4）两点. （1）求抛物线的解析式； （2）将原抛物线 y=ax2bxc（a，b，c 是常数，a 0）向右平移 1 个单位长度，再向下 平移 m（m 0）个单位长度得新抛物线，此时新抛物线与 x 轴相交于 E、F 两点，与轴相 交于点 M，过点 M 与 x 轴平行的直线与新抛物线的另一交点为 N，若点 E、点 F 恰好在以 MN 为直径的圆周上，求 m 的值； （3）在（1）的条件下，若直线 AB：y=kx2k4 与抛物线
12、y=ax2bxc 交于 A、B 两点， 试在抛物线上找一定点 D，使ADB=90，求点 D 的坐标，并求出点 D 到直线 AB 的最大 距离。 第 7 页 共 37 页 12.如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，抛物线 y=ax2+bx + c 的顶点是 A 1，3 ， 将 OA 绕点 O 顺时针旋转 90后得到 OB，点 B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交 于点 C。 （1）求抛物线的解析式； （2）P 是线段 AC 上一动点，且不与 A，C 重合，过点 P 作平行于 X 轴的直线，与OAB 的边分别交于 M，N 两点，将AMN 以直线 MN 为对称轴翻折，得到AMN。设
13、点 P 的 纵坐标为 m。 当AMN 在OAB 内部时，求 m 的取值范围； 是否存在点 P，使 SAMN=5 6OAB，若存在，求出满足条件的 m 的值；若不存在，请 说明理由。 （3）抛物线上是否存在点 D 使得BOD=45，若存在，直接写出点 D 的坐标；若不存在， 请说明理由。 13.如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于 A，B 两点，顶 点为 D（0，4） ，AB=4 2，设点 F（m，0）是 x 轴的正半轴上一点，将抛物线 C 绕点 F 旋 转 180，得到新的抛物线 C （1）求抛物线 C 的函数表达式； （2）若抛物线 C与
14、抛物线 C 在 y 轴的右侧有两个不同的公共点，求 m 的取值范围 （3） 如图 2， P 是第一象限内抛物线 C 上一点， 它到两坐标轴的距离相等， 点 P 在抛物线 C 上的对应点 P，设 M 是 C 上的动点，N 是 C上的动点，试探究四边形 PMPN 能否成为 正方形？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由 第 8 页 共 37 页 14.在平面直角坐标系中，二次函数 yax25 3xc 的图象经过点 C(0，2)和点 D(4，2)，点 E 是直线 y1 3x2 与二次函数图象在第一象限内的交点 (1)求二次函数的表达式及点 E 的坐标； (2)如图 1，若点 M 是二次函数图象上的
15、点，且在直线 CE 的上方，连结 MC，OE，ME， 求四边形 COEM 面积的最大值及此时点 M 的坐标； (3)如图 2，经过 A，B，C 三点的圆交 y 轴于点 F，求点 F 的坐标 15.如图，已知抛物线 yx2+bx+c 交 x 轴于点 A（2，0） 、B（8，0） ，交 y 轴于点 C， 过点 A、B、C 三点的M 与 y 轴的另一个交点为 D （1）求此抛物线的表达式及圆心 M 的坐标； （2）设 P 为弧 BC 上任意一点（不与点 B，C 重合） ，连接 AP 交 y 轴于点 N，请问：AP AN 是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由； （3）延长线段 BD 交抛
16、物线于点 E，设点 F 是线段 BE 上的任意一点（不含端点） ，连接 AF动点 Q 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到点 F，再沿线段 FB 以每秒个单位的速度运动到点 B 后停止，问当点 F 的坐标是多少时，点 Q 在整个运 动过程中所用时间最少？ 第 9 页 共 37 页 16.如图 1，抛物线 yax2+（a+3）x+3（a0）与 x 轴交于点 A（4，0） ，与 y 轴交于点 B， 在 x 轴上有一动点 E（m，0） （0m4） ，过点 E 作 x 轴的垂线交直线 AB 于点 N，交抛 物线于点 P，过点 P 作 PMAB 于点 M （1）求 a 的值和直线
17、 AB 的函数表达式； （2）设PMN 的周长为 C1，AEN 的周长为 C2，若，求 m 的值； （3） 如图 2， 在（2） 条件下， 将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转得到 OE， 旋转角为（0 90） ，连接 EA、EB，求 EA+EB 的最小值 第 10 页 共 37 页 第二章图形的变换 1.（1） 【探索发现】 如图 1，正方形 ABCD 中，点 M、N 分别是边 BC、CD 上的点，MAN45，若将 DAN 绕点 A 顺时针旋转 90到BAG 位置，可得MANMAG，若MCN 的周长为 6，则正方形 ABCD 的边长为3 （2） 【类比延伸】 如图（2） ，四边形 ABCD 中
18、，ABAD，BAD120，B+D180，点 M、N 分 别在边 BC、CD 上的点，MAN60，请判断线段 BM，DN，MN 之间的数量关系，并 说明理由 （3） 【拓展应用】 如图 3，四边形 ABCD 中，ABAD10，ADC120，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，连接 AM，MN，ABM 是等边三角形，AMAD，DN5（1） ，请直接写出 MN 的长 2.（2020 九下台州月考）菱形 ABCD 中，点 P 为 CD 上一点，连接 BP. （1）如图 1，若 BPCD，菱形 ABCD 边长为 10，PD4，连接 AP，求 AP 的长. （2）如图 2，连接对角线 AC、BD 相交于
19、点 O，点 N 为 BP 的中点，过 P 作 PMAC 于 M， 连接 ON、MN.试判断MON 的形状，并说明理由. 3.（2020无锡）如图，在矩形 ABCD 中，AB2，AD1，点 E 为边 CD 上的一点（与 C、 D 不重合） ， 四边形 ABCE 关于直线 AE 的对称图形为四边形 ANME， 延长 ME 交 AB 于点 P， 记四边形 PADE 的面积为 S （1）若 DE 3 3 ，求 S 的值； （2）设 DEx，求 S 关于 x 的函数表达式 4.如图，一个三角形的纸片 ABC， 其中A=C 第 11 页 共 37 页 把ABC纸片按(如图1)所示折叠， 使点A落在 BC边
20、上的点F处， DE是折痕 说明BC/DF； _ 把ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCED 内时(如图 2)，探索C 与1+2 之间的大小关系，并说明理由；_ 当点 A 落在四边形 BCED 外时(如图 3)，C 与1、2 的关系是_(直接写出结 论) 5.（2020济宁）如图，在菱形 ABCD 中,AB=AC,点 E、F、G 分别在边 BC、CD 上,BE=CG,AF 平分EAG,点 H 是线段 AF 上一动点(与点 A 不重合)。 (1)求证:AEHAGH； (2)当 AB=12,BE=4 时： 求DGH 周长的最小值； 若点 O 是 AC 的中点，是否存在直线 OH 将
21、ACE 分成三角形和四边形两部分,其中三 角形的面积 与四边形的面积比为 1:3。若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。 6.（2020海门市校级模拟）已知正方形 ABCD，P 为射线 AB 上的一点，以 BP 为边作正 方形 BPEF，使点 F 在线段 CB 的延长线上，连接 EA、EC （1）如图 1，若点 P 在线段 AB 的延长线上，求证：EAEC； （2）若点 P 在线段 AB 上，如图 2，当点 P 为 AB 的中点时，判断ACE 的形状，并说 明理由； （3）在（1）的条件下，将正方形 ABCD 固定，正方形 BPEF 绕点 B 旋转一周，设 AB 4，BPa，若在旋转过程中
22、ACE 面积的最小值为 4，请直接写出 a 的值 第 12 页 共 37 页 7.（2020兴化市模拟）如图，现有一张矩形纸片 ABCD，AB4，BC8，点 M，N 分别在 矩形的边 AD，BC 上，将矩形纸片沿直线 MN 折叠，使点 C 落在矩形的边 AD 上，记为 点 P，点 D 落在 G 处，连接 PC，交 MN 丁点 Q，连接 CM （1）求证：PMPN； （2）当 P，A 重合时，求 MN 的值； （3）若PQM 的面积为 S，求 S 的取值范围 8.（2020河南一模） 【问题提出】在ABC 中，ABACBC，点 D 和点 A 在直线 BC 的同 侧， BDBC， BAC， DBC
23、， 且+120， 连接 AD， 求ADB 的度数 （不 必解答） 【特例探究】小聪先从特殊问题开始研究，当90，30时，利用轴对称知识， 以 AB 为对称轴构造ABD 的轴对称图形ABD，连接 CD（如图 2） ，然后利用 90，30以及等边三角形等相关知识便可解决这个问题 请结合小聪研究问题的过程和思路，在这种特殊情况下填空：DBC 的形状是三 角形；ADB 的度数为 第 13 页 共 37 页 【问题解决】 在原问题中，当DBCABC（如图 1）时，请计算ADB 的度数； 【拓展应用】在原问题中，过点 A 作直线 AEBD，交直线 BD 于 E，其他条件不变若 BC7，AD2请直接写出线段
24、 BE 的长为 9.（2020 春鼓楼区校级月考）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，且ECF45，CF 的延长线交 BA 的延长线于点 G，CE 的延长线交 DA 的延长线 于点 H，连接 AC，EF，GH （1）填空：AHCACG； （填“”或“”或“” ） （2）线段 AC，AG，AH 什么关系？请说明理由； （3）设 AEm，请直接写出使CGH 是等腰三角形的 m 值 10.（2020重庆 B 卷）ABC 为等边三角形，AB=8，ADBC 于点 D，E 为线段 AD 上一 点，AE=2 3 .以 AE 为边在直线 AD 右侧构造等边三角形 AEF
25、，连接 CE，N 为 CE 的中点. （1）如图 1，EF 与 AC 交于点 G，连接 NG ，求线段 NG 的长； （2）如图 2，将AEF 绕点 A 逆时针旋转，旋转角为，M 为线段 EF 的中点，连接 DN， MN.当 30120时，猜想DNM 的大小是否为定值，并证明你的结论； （3）连接 BN，在AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，当线段 BN 最大时，请直接写出ADN 的面积. 11.（2020如皋一模） （1）问题发现 第 14 页 共 37 页 如图 1，在OAB 和OCD 中，OAOB，OCOD，AOBCOD40，连接 AC， BD 交于点 M填空： AC BD的值为 ； A
26、MB 的度数为 （2）类比探究 如图 2，在OAB 和OCD 中，AOBCOD90，OABOCD30，连接 AC 交 BD 的延长线于点 M请判断AC BD的值及AMB 的度数，并说明理由； （3）拓展延伸 在（2）的条件下，将OCD 绕点 O 在平面内旋转，AC，BD 所在直线交于点 M，若 OD 1，OB 7，请直接写出当点 C 与点 M 重合时 AC 的长 12.（2020海安一模）如图 1，一根木棒 AB，斜靠在与地面 OM 垂直的墙壁 ON 上，当木 棒 A 端沿 NO 向下滑动时，同时 B 端沿射线 OM 向右滑动，实践发现木棒的中点 P 运动 的路径是一个优美的几何图形，我们把这
27、样的点叫优美点如果木棒 AB 长为 4，与地面 的倾斜角ABO60 （1）当木棒 A 端沿 NO 向下滑动到点 O 时，同时 B 端沿射线 OM 向右滑动到 B时，木 棒的中点 P 所经过的路径长为多少？ （2）若点 P 为 OB 上由点 O 向点 B 运动的一运动点，连接 AP 如图 2，设 AP 的中点为 G，问点 G 是不是优美点，如是，请求出点 P 运动过程中 G 所经过的路径长 如图 3，过点 B 作 BRAP，垂足为点 R点 P 运动过程中，点 R 是不是优美点，如是， 请求出点 R 所经过的路径长 （3）如图 4，若点 P 以每秒 1 个单位长度由点 B 向点 O 运动，同时点
28、Q 以每秒个单 位长度的速度由点 A 向点 O 运动，连接 PQ，S 为 PQ 的中点，则在 PQ 的运动过程中， 第 15 页 共 37 页 点 S 经过的路径长为多少？（直接写结果） 13.四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在边 AD 所在直线上，连接 CE，以 CE 为边， 作正方形 CEFG（点 D，点 F 在直线 CE 的同侧） ，连接 BF （1）如图 1，当点 E 与点 A 重合时，请直接写出 BF 的长； （2）如图 2，当点 E 在线段 AD 上时，AE1； 求点 F 到 AD 的距离； 求 BF 的长； （3）若 BF3，请直接写出此时 AE 的长 14.在
29、四边形 ABDE 中，C 是 BD 边的中点 （1）如图（1） ，若 AC 平分BAE，ACE90，则线段 AE、AB、DE 的长度满足的数 量关系为 ； （直接写出答案） （2）如图（2） ，AC 平分BAE，EC 平分AED，若ACE120，则线段 AB、BD、DE、 AE 的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； （3）如图（3） ，BD8，AB2，DE8，若 ACE135，求线段 AE 长度的最大值 第 16 页 共 37 页 15.【问题探究】 （1）如图已知锐角ABC，分别以 AB、AC 为腰，在ABC 的外部作等 腰 RtABD 和 RtACE，连接 CD、BE，试猜想 CD、
30、BE 的大小关系； （不必证明） 【深入探究】 （2）如图ABC、ADE 都是等腰直角三角形，点 D 在边 BC 上（不与 B、 C 重合） ，连接 EC，则线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为； （不 必证明） 线段 AD2，BD2，CD2之间满足的等量关系，并证明你的结论； 【拓展应用】 （3）如图，在四边形 ABCD 中，ABC=ACB=ADC=45若 BD=9， CD=3，求 AD 的长 16.用两个全等且边长为 4 的等边三角形ABC 和ACD 拼成菱形 ABCD把一个 60角的 三角尺与 这个菱形叠合，使三角尺的 60角的顶点与点 A 重合，两边分别与 AB，AC 重合，
31、将三角 尺绕点 A 按逆时 针方向旋转 （1）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 相交于点 E，F 时， （如图 1） ，通过观察或 测量 BE，CF 的长度，你能得出什么结论？（直接写出结论，不用证明） ； （2）当三角尺的两边分别与菱形的两边 BC，CD 的延长线相交于点 E，F 时（如图 2） ，你 在（1）中得到的结论还成立吗？说明理由； 第 17 页 共 37 页 （3）在上述情况中，AEC 的面积是否会等于？如果能，求 BE 的长；如果不能，请 说明理由 17.如图，点 O 为线段 MN 的中点，PQ 与 MN 相交于点 O，且 PMNQ，可证PMO QNO根据上 述结论完
32、成下列探究活动： 探究一：如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中点，BAEEAF，AF 与 DC 的延长线相交于点 F试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论； 探究二：如图，DE、BC 相交于点 E，BA 交 DE 于点 A，且 BE：EC1：2，BAE EDF，CFAB若 AB4，CF2，求 DF 的长度 18.在正方形 ABCD 中，连接 BD （1）如图 1，AEBD 于 E直接写出BAE 的度数 （2）如图 1，在（1）的条件下，将AEB 以 A 旋转中心，沿逆时针方向旋转 30后得 到ABE，AB与 BD 交于 M，AE的延长线与 BD
33、 交于 N 依题意补全图 1； 用等式表示线段 BM、DN 和 MN 之间的数量关系，并证明 （3）如图 2，E、F 是边 BC、CD 上的点，CEF 周长是正方形 ABCD 周长的一半，AE、 AF 分别与 BD 交于 M、N，写出判断线段 BM、DN、MN 之间数量关系的思路 （不必写 出完整推理过程） 第 18 页 共 37 页 19.（1）某班数学课题学习小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行 探究，提出下列问题，请你给出证明 如图 1，矩形 ABCD 中，EFGH，EF 分别交 AB，CD 于点 E，F，GH 分别交 AD，BC 于点 G，H，求证：； 【结论应用】
34、 （2）如图 2，在满足（1）的条件下，又 AMBN，点 M，N 分别在边 BC， CD 上，若，则的值为； （直接写出结果） 【联系拓展】 （3）如图 3，四边形 ABCD 中，ABC90，ABAD6，BCCD3， AMDN，点 M，N 分别在边 BC，AB 上，求的值 20.如图，C 为线段 BD 上一动点，分别过点 B、D 作 ABBD，EDBD，连接 AC、EC已 知 AB5，DE1，BD8，设 CDx （1）用含 x 的代数式表示 AC+CE 的长； （2）请问 AC+CE 的值是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在请说明 理由 （3）根据（2）中的规律和结论，请直接写出
35、出代数式+的最小 值为 21.阅读证明 如图 1，在ABC 所在平面上存在一点 P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点 第 19 页 共 37 页 P 为ABC 的费马点，此时 PA+PB+PC 的值为ABC 的费马距离 如图 2，已知点 P 为等边ABC 外接圆的上任意一点求证：PB+PCPA （2）知识迁移 根据（1）的结论，我们有如下探寻ABC（其中A，B，C 均小于 120）的费马点 和费马距离的方法： 第一步：如图 3，在ABC 的外部以 BC 为边长作等边BCD 及其外接圆； 第二步：在上取一点 P0，连接 P0A，P0B，P0C，P0D易知 P0A+P0B+P0CP0A+（
36、P0B+P0C） P0A+； 第三步：根据（1）中定义，在图 3 中找出ABC 的费马点 P，线段的长度即为ABC 的费马距离 （3）知识应用 已知三村庄 A，B，C 构成了如图 4 所示的ABC（其中A，B，C 均小于 120） ，现 选取一点 P 打水井，使水井 P 到三村庄 A，B，C 所铺设的输水管总长度最小求输水管总 长度的最小值 22.如图，ABC 是等边三角形 （1）如图 1，AHBC 于 H，点 P 从 A 点出发，沿高线 AH 向下移动，以 CP 为边在 CP 的下方作等边三角形 CPQ，连接 BQ求CBQ 的度数； （2）如图 2，若点 D 为ABC 内任意一点，连接 DA
37、，DB，DC证明：以 DA，DB，DC 为边一定能组成一个三角形； （3）在（1）的条件下，在 P 点的移动过程中，设 xAP+2PC，点 Q 的运动路径长度为 y，当 x 取最小值时，写出 x，y 的关系，并说明理由 23.如图，RtABC，ACB90，ACBC2，以 C 为顶点的正方形 CDEF（C、D、E、 F 四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点 C 自由转动，且 CD，连接 AF，BD （1）求证：BDCAFC； 第 20 页 共 37 页 （2）当正方形 CDEF 有顶点在线段 AB 上时，直接写出 BD+AD 的值； （3）直接写出正方形 CDEF 旋转过程中，BD+AD 的最小值
38、 第 21 页 共 37 页 第三章圆 1.在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 的顶点分别为 A（1，1），B（1，1），C（ 1，1），D（1，1），对于图形 M，给出如下定义：P 为图形 M 上任意一点，Q 为正 方形 ABCD 边上任意一点，如果 P，Q 两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为 图形 M 的“正方距”，记作 d（M）已知点 E（3，0） （1）直接写出 d（点 E）的值； （2）过点 E 画直线 ykx3k 与 y 轴交于点 F，当 d（线段 EF）取最小值时，求 k 的取 值范围； （3）设 T 是直线 yx+3 上一点，以为 T 圆心，长为半径作T，若
39、 d（T）满足 d（T）+，直接写出圆心 T 的横坐标 x 的取值范围 2.（1）如图 1，已知正方形 ABCD 的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点， 那么 PD+的最小值为，PD的最大值为 （2）如图 2，已知菱形 ABCD 的边长为 4，B60，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的 一个动点，那么 PD+的最小值为，PD的最大值为 3.（2020 九上兴安盟期末）如图，BF 为O 的直径，直线 AC 交O 于 A、B 两点，点 D 在O 上，BD 平分OBC，DEAC 于点 E求证：直线 DE 是O 的切线. 第 22 页 共 37 页 4.（202
40、0 九上嘉陵期末）如图，AB 是O 的一条弦，点 C 是半径 OA 的中点，过点 C 作 OA 的垂线交 AB 于点 E，且与 BE 的垂直平分线交于点 D，连接 BD。 （1）求证：BD 是O 的切线 （2）若O 的半径为 2，CE=1，试求 BD 的长。 5.如图，已知0 的半径为 6cm，射线 PM 经过点 0，OP10cm，射线 PN 与0 相切于 点 Q，A，B 两点同时从点 P 出发，点 A 以 5cm/s 的速度沿射线 PM 方向运动，点 B 以 4cm/s 的速度沿射线 PN 方向运动.设运动时间为 ts. （1）求 PQ 的长； （2）当 t 为何值时，直线 AB 与0 相切
41、？ 6.如图，已知直线 l:y2x3，它与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B 两点。 （1）设 F 是 x 轴上一动点，用尺规作图作出 OP，是 OP 经过点 B，且与 x 轴相切于点 F （不写作法，保留作图痕迹） （2）设（2）中所作的 OP 的圆心坐标为 P（x，y） ，求 y 关于 x 的函数关系式. （3）是否存在这样的 OP，既与 x 轴相切又与直线 L 相切于点 B？若存在，求出圆心 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 第 23 页 共 37 页 7.如图 1，在平面内，不在同一条直线上的三点 A，B，C 同在以点 O 为圆心的圆上，且 ABC 的平分线交O 于点 D，连接 A
42、D，CD （1）求证：ADCD； （2）如图 2，过点 D 作 DEBA，垂足为点 E，作 DFBC，垂足为点 F，延长 DF 交 O 于点 M，连接 CM若 ADCM，请判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由 8.在平面直角坐标系 xOy 中，给出如下定义：若点 P 在图形 M 上，点 Q 在图形 N 上， 称线段 PQ 长度的最小值为图形 M，N 的密距，记为 d（M，N）.特别地，若图形 M，N 有公 共点，规定 d（M，N）0. （1）如图 1，O 的半径为 2， 点 A （0， 1） ， B （4， 3） ， 则 d （A， 0） ， d （B， 0） . 已知直线 l:yxb
43、 与0 的密距 d(1，0）9，求 b 的值. （2）如图 2，C 为 x 轴正半轴上一点，C 的半径为 1，直线 yx与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 E，线段 DE 与C 的密距 d（DE，C）.请直接写出圆心 C 的横坐标 m 的取值范围. 第 24 页 共 37 页 10.如图，已知菱形 ABCD，对角线 AC、BD 相交于点 O，AB20，AC32.点 P 从点 A 出发，以每秒 4 个单位的速度沿线段 AC 向点 C 运动，同时，点 Q 从点 O 出发，以每秒 3 个单位的速度沿折线 ODDC 向点 C 运动，当点 P、Q 中有一个点达到终点时，两点同时停 止运动.连接 BP
44、、PQ、BQ，设点 Q 的运动时间为 t 秒. （1）求线段 OD 的长； （2）在整个运动过程中，BPQ 能否成为直角三角形？若能，请求出符合题意的 t 的 值； 若不能，请说明理由； （3）以 P 为圆心，PQ 为半径作P，当P 与线段 CD 只有一个公共点时，求 t 的值或 t 的取值范围. 11.如图，在 RtABC 中，ABC90，AC 的垂直平分线分别与 AC，BC 及 AB 的延长线 相交于点 D，E，F，O 是BEF 的外接圆，EBF 的平分线交 EF 于点 G，交O 于点 H，连接 BD，FH （1）试判断 BD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）当 ABBE1 时，求O
45、 的面积； （3）在（2）的条件下，求 HG 的长 12.（2020连云港模拟）如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC6，E 是 BC 边的中点，点 P 在 线段 AD 上，过 P 作 PFAE 于 F，设 PAx 第 25 页 共 37 页 （1）求证：PFAABE； （2）当点 P 在线段 AD 上运动时，是否存在实数 x，使得以点 P，F，E 为顶点的三角形 也与ABE 相似？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由； （3）探究：当以 D 为圆心，DP 为半径的D 与线段 AE 只有一个公共点时，请直接写 出 x 满足的条件： 13.（2020陆丰市模拟）如图，ABC 中，以 A
46、B 为直径作O，交 BC 于点 D，E 为弧 BD 上一点，连接 AD、DE、AE，交 BD 于点 F （1）若CADAED，求证：AC 为O 的切线； （2）若 DE2EFEA，求证：AE 平分BAD； （3）在（2）的条件下，若 AD4，DF2，求O 的半径 14.（2020海门市一模）如图，ABC 中，ABAC，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作 DFAC 于点 F，交 AB 的延长线于点 G （1）若 AB10，BC12，求DFC 的面积； （2）若 tanC2，AE6，求 BG 的长 第 26 页 共 37 页 15.（2020海门市校级模拟）
47、如图 1，O 是ABC 的外接圆，连接 AO，若BAC+OAB 90 （1）求证：AB ? = BC ? （2）如图 2，作 CDAB 交于 D，AO 的延长线交 CD 于 E，若 AO3，AE4，求线段 AC 的长 16.（2020海门市校级模拟）如图，在ABC 中，ACB90，O 是边 AC 上一点，以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆分别交 AB、AC 于点 E、D，在 BC 的延长线上取点 F，使得 BFEF （1）判断直线 EF 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若A30，求证：DG= 1 2DA； （3）若A30，且图中阴影部分的面积等于 2 3 2 3 ，求O 的半径的长 1
48、7.（2020绵阳模拟）如图，直径为 10 的O 经过原点 O，并且与 x 轴、y 轴分别交于 A、 B 两点，线段 OA、OB（OAOB）的长分别是方程 x2+kx+480 的两根 第 27 页 共 37 页 （1）求线段 OA、OB 的长； （2）已知点 C 在劣弧 OA 上，连结 BC 交 OA 于 D，当 OC2CDCB 时，求 C 点的坐标； （3）在O 上是否存在点 P，使 SPODSABD？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在， 请说明理由 18.如图，O 的直径 AB26，P 是 AB 上（不与点 A、B 重合）的任一点，点 C、D 为O 上的两点，若APDBPC，则称CPD 为直径 AB 的“回旋角” （
