1、第 1 页，共 26 页 2020 中考复习二次函数中的动点问题拓展训练中考复习二次函数中的动点问题拓展训练( (一一) ) 姓名：_班级：_考号：_ 一、选择题 1. 已知抛物线 = 3 16( + 4)( 4)与 x 轴交于 A、 B 两点， 与 y 轴交于 C点， 的 半径为2.为 上一动点，P为 AG的中点，则 OP 的最大值为( ) A. 7 2 B. 41 2 C. 34 2 D. 23 2. 已知抛物线 = 2+ + 3在坐标系中的位置如图所示，它与 x，y轴的交点分别 为 A，B，P 是其对称轴 = 1上的动点，根据图中提供的信息，给出以下结论： 2 + = 0， = 3是2+
2、 + 3 = 0的一个根， 周长的最小值是 10 + 32.其中正确的是( ) A. B. 仅有 C. 仅有 D. 仅有 3. 四边形 ABCD是正方形， = 8，AC、BD 交于点 O，点 PQ分别是/上的动 点，点 P 的运动路径是 ，点 Q 的运动路径是 BD，两点的运动速度相同并 且同时结束.若点 P 的行程为 x，的面积为 y，则 y关于 x 的函 数图象大致为( ) A. B. 第 2 页，共 26 页 C. D. 4. 如图，抛物线 = 1 4 2 4与 x 轴交于 A、B 两点，P 是以点(0,3)为圆心，2 为半径 的圆上的动点，Q是线段 PA 的中点，连结.则线段 OQ的最
3、大值是( ) A. 3 B. 41 2 C. 7 2 D. 4 5. 已知在平面直角坐标系中，直线1 = + 3与抛物 线2= 1 2 2 + 2的图像如图， 点 P 是2上的一个 动点，则点 P 到直线1的最短距离为( ) A. 32 2 B. 52 4 C. 2 D. 32 4 6. 如图， 在 中， = 90， = 6， = 8， 点 M 是 AB 的中点，点 O是边 BC上的一个动点，设点 A 绕点O顺时针旋转90的对应点为.则点M到点的最 小距离为( ) A. 52 2 B. 22 C. 13 D. 37 二、填空题 7. 如图，已知 的半径为 2，圆心 p在抛物线 =1 2 2 1
4、上运动， 当 与 x轴相 切时，圆心 P 的坐标为_。 第 3 页，共 26 页 8. 如图，一段抛物线： = ( 3)(0 3)，记为 1，它与 x 轴交于点 O，1； 将1绕点1旋转180得2，交 x 轴于点2；将2绕点2旋转180得3，交 x 轴于点 3；如此进行下去，直至得12.若(35,)在第 12 段抛物线12上，则 =_ 9. 如图抛物线 = 2+ 2 3与 x 轴交于 A，B两点， 与 y轴交于点 C，点 P 是抛物线对称轴上任意一点， 若点 D、E、F 分别是 BC、BP、PC 的中点，连接 DE， DF，则 + 的最小值为_ 10. 如图，在 ABC中，C= 90，AC=
5、6cm，BC= 2cm，点 P 在边 AC上，从点 A 向点 C移动，点 Q在边 CB 上，从点 C 向点 B 移动若点 P，Q均以 1cm/s 的速度 同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接 PQ，则线段 PQ的 最小值是 11. 如图1， 在边长为4cm的菱形ABCD中， = 60， 动点P从点A出发， 以4/的 速度，按照 的顺序匀速运动到 C点停止，设运动时间为 t秒，以点 P为 圆心，半径为 r的圆随之运动，且半径()与时间()的函数关系如图 2，图中 EF 是一条平行于 x轴的线段，FG是以点 F 为顶点的一段抛物线当 与对角线 AC 相切时，则动点 P运动时间 t
6、的值为_ _ 第 4 页，共 26 页 12. 如图，抛物线 = 2 2 15与直线 = 4 23交于 A、B 两点，长为 2的线段 CD 在抛物线的对称轴上移动，则 AB长为_，四边形 ABCD的最短周长为 _ 13. 如图，抛物线 = 2+ 2 + 3与 y轴交于点 C，点(0,1)，点 P是抛物线上的动 点 若 是以 CD为底的等腰三角形， 则点 P 的坐标为_ 14. 如图，曲线 AB 是顶点为 B，与 y轴交于点 A的抛物线 = 2+ 4 + 2的一部分， 曲线 BC 是双曲线 = 的一部分，由点 C开始不断重复“ ”的过程，形 成一组波浪线，若点(2019,)与(2025,)均在该
7、波浪线上，则 =_ 三、解答题 第 5 页，共 26 页 15. 如图，抛物线经过(1,0)，(5,0)，(0,- 5 2)三点 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点 P，使 + 的值最小，求点 P 的坐标； (3)点 M为 x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构 成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 16. 如图，抛物线过原点和点(10,0)，矩形 ABCD 的边 AB在线段 OE 上(点 A 在点 B 的左边)，点 C，D 在抛物线上设(,0)，当 = 2时， = 4 (1)求抛物线的函数表达式 (2)当
8、 t为何值时，矩形 ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持 = 2时的矩形 ABCD不动，将抛物线向右平移 4个单位平移后的抛物线 与矩形的边有两个交点 G，H，求直线 GH 分矩形的两部分的面积比 第 6 页，共 26 页 17. 已知抛物线 = 2 2 3( 0) (1) 中边 BC 上的高 =_； (2)当 =_时，PQ 恰好落在边 BC 上(如图(1)； (3)当 PQ在 外部时(如图(2)， 求 y关于 x 的函数表达式(不求 x 的取值范围)， 并求出当 x 为何值时 y最大，最大值是多少？ 21. .如图，抛物线 = 2+ 过(4,0)，(1,3)两点，点 C、B 关
9、于抛物线的对称轴 对称，过点 B 作直线 轴，交 x轴于点 H (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出点 C 的坐标，并求出 的面积； (3)点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当 的面积为 6 时，求出点 P 的坐标； 第 9 页，共 26 页 (4)若点 M 在直线 BH上运动，点 N在 x轴上运动，当以点 C、M、N 为顶点的三角 形为等腰直角三角形时称这样的 N 点为“美丽点”， 问共有多少个“美丽点”？请 直接写出当 N 为“美丽点”时， 的面积 第 10 页，共 26 页 答案和解析答案和解析 A 解：如图，连接 BG， 令 = 0，则 = 3 16(0 + 4)(0 4)
10、 = 3，则(0,3) 由 = 3 16( + 4)( 4)得到：(4,0)，(4,0) P为 AG中点，O为 AB中点，所以 OP 是 的中位线，则 = 1 2，当 BG 最大 时，则 OP最大 由圆的性质可知，当 G、C、B三点共线时，BG 最大 (0,3)，(4,0)， = 32+ 42= 5， 的最大值为2 + 5 = 7， 的最大值为7 2 2. A 解：根据图象知，对称轴是直线 = 2 = 1，则 = 2，即2 + = 0.故正确； 根据图象知，点 A 的坐标是(1,0)，对称轴是 = 1，则根据抛物线关于对称轴对称 的性质知， 抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是(3,0)， 所
11、以 = 3是2+ + 3 = 0的 一个根，故正确； 如图所示，点(1,0)关于 = 1对称的点是(3,0)，即抛物线与 x 轴的另一个交点， 当 P 是直线与对称轴 = 1的交点时，的周长最小为( + ) (0,3)， (1,0)，(3,0)， 第 11 页，共 26 页 = 1， = 3， = 3， = 32， = 2+ 2= 10， 的周长最小为32 + 10 故正确 综上所述，正确的结论是： 3. A 解：当0 8时，则 P在 AB上， 则 = ， 设 Q 到 AB 的距离为 a， 2+ 2= 2， = 2 2 ， 则的面积为 = 1 2 (8 ) 2 2 = 2 4 2+ 22，此段
12、抛物线的开口向下； 当8 82时，则 P在 BC上， = ，同理 Q到 BC的距离为 2 2 ， 则的面积为 = 1 2 ( 8) 2 2 = 2 4 2 22，此段抛物线开口向上 故满足的解析式为 A， 4. C 解：连接 BP，如图， 当 = 0时， 1 4 2 4 = 0， 解得1= 4， 2= 4， 则(4,0)，(4,0)， 是线段 PA的中点， 为 的中位线， = 1 2， 当 BP最大时，OQ最大， 而 BP过圆心 C 时，PB最大，如图，点 P运动到位置时，BP 最大， = 32+ 42= 5， = 5 + 2 = 7， 线段 OQ的最大值是7 2 5. B 解：设过点 P 平
13、行直线1的解析式为 = + ， 当直线 = + 与抛物线只有一个交点时，点 P 到直线1的距离最小， 第 12 页，共 26 页 由 = 1 2 2 + 2 = + ， 消去 y 得到：2 2 + 2 = 0， 当= 0时，4 8 = 0， = 1 2， 直线的解析式为 = + 1 2， 如图设直线1交 x 轴于 A，交 y轴于 B，直线 = + 1 2交 x 轴于 C，作 于 D， 于 E， 则(3,0)，(0,3)，( 1 2,0) = = 3， = 1 2， = 5 2， = 45， = 2 = 52 4 ， /， ， ， = = 52 4 ， 6. A 解：以 C为原点，CB 所在直线
14、为 x轴，CA 所在直线 为 y轴建立如图所示的直角坐标系， 由题意可知：(0,0)，(0,6)，(8,0)， 点 M是 AB的中点， (4,3)， 过作 于 F 设 = ， 设点 A绕点 O顺时针旋转90的对应点为 第 13 页，共 26 页 = ， = 90， + = 90， + = 90， = ， 又 = = 90， = ， = = 6， = = ， (6 + ,) 2= (6 + 4)2+ ( 3)2= 22 2 + 13 = 2( 1 2) 2 + 25 2 ， 当 = 1 2， 2最小= 25 2 点 M到点的最小距离为25 2 = 52 2 7. (6,2)或(6,2) 解：当
15、与 x 轴相切时，P点纵坐标为2； 当 = 2时，1 2 2 1 = 2， 解得 = 6； 当 = 2时，1 2 2 1 = 2， x 无解， 故 P 点坐标为(6,2)或(6,2)， 8. 2 解：一段抛物线： = ( 3)(0 3)， 图象与 x轴交点坐标为：(0,0)，(3,0)， 将1绕点1旋转180得2，交 x 轴于点2； 将2绕点2旋转180得3，交 x 轴于点3； 如此进行下去，直至得12 . 12的图象与 x 轴的交点坐标为(33,0)，(36,0)，且图象在 x轴下方，开口向上; 12的解析式为：12= ( 33)( 36)， 当 = 35时， = (35 33) (35 3
16、6) = 2. 第 14 页，共 26 页 9. 32 2 解：连接 AC，交对称轴于点 P， 则此时 + 最小， 点 D、E、F 分别是 BC、BP、PC 的中点， = 1 2， = 1 2， 抛物线 = 2+ 2 3与 x 轴交于 A，B两点，与 y轴交 于点 C， 0 = 2+ 2 3 解得：1= 3，2= 1， = 0时， = 3， 故 C = 3， 则 = 3，可得： = + = 32， 故 DE+的最小值为：32 2 10. 25 解： = = ， = 6 ， = 2+ 2= (6 )2+ 2= 2( 3)2+ 18， 0 2， 当 = 2时，PQ的值最小， 线段 PQ 的最小值是
17、25， 11. 1 2秒或 7 4秒 解：如图 2，顶点(1,1) 第 15 页，共 26 页 设抛物线的解析式为： = ( 1)2+ 1， 把(2, 1 9)代入得： 1 9 = (2 1)2+ 1， 解得： = 8 9， 抛物线的解析式为： = 8 9 ( 1)2+ 1(1 2)， 当 与对角线 AC相切时，分两种情况： 当点 P在 AB上与 AC 相切时，如图 1， 设切点为 E，连接1，则1 ，1 = ， 四边形 ABCD为菱形， = 60， = 30， 1= 2 = 2， = 2 4 = 1 2； 当点 P在 BC上与 AC 相切时，如图 2， 设切点为 F，连接2，则2 ，2 =
18、， 则2 = 2， 2 = + 4 = 8 4， 则2 = 8 4 = 8 9 ( 1)2+ 1， 第 16 页，共 26 页 解得：1= 7 4，2 = 5 2(不合题意，舍去) 综上所述：当 与对角线 AC相切时，则运动时间 t的值为1 2秒或 7 4秒 12. 217；2 + 213 + 217 解：解方程组 = 4 23 = 2 2 15得 1= 2 1= 15, 2= 4 2= 7, ，B两点的坐标为(2,15)和(4,7)， = (2 4)2+ (15+ 7)2= 217 作 B 点关于抛物线对称轴的对称点点，过 A 点作/，且 = = 2，连交 抛物线的对称轴与 C点，则此时四边
19、形 ABCD的周长最短， /，且 = ， = ， 因此四边形 ABCD的最短周长为 + + 的长度 点坐标为(2,15)，/轴，且 = 2， 点坐标为(2,13)， 点关于抛物线对称轴的对称点点，B 点坐标为(4,7)， 点的坐标为(2,7)， = (2 2)2+ (13 + 7)2= 213， 四边形 ABCD的最小值= + + = 2 + 213 + 217 13. (1 + 2,2)或(1 2,2) 解： 是以 CD 为底的等腰三角形， 点 P 在线段 CD的垂直平分线上， 如图，过 P作 轴于点 E，则 E 为线段 CD 的中点， 第 17 页，共 26 页 抛物线 = 2+ 2 +
20、3与 y 轴交于点 C， (0,3)，且(0,1)， 点坐标为(0,2)， 点纵坐标为 2， 在 = 2+ 2 + 3中，令 = 2，可得2+ 2 + 3 = 2，解得 = 1 2， 点坐标为(1 + 2,2)或(1 2,2)， 14. 16 解：如图： 由图可得，A，C 之间的水平距离为 6， 2019 6 = 336余 3，2025 6 = 337余 3， 则 P，Q 的纵坐标相同，且都在但比例函数图象上， 由抛物线解析式可得 = 2，即点 C 的纵坐标为 2， (6,2)， = 2 6 = 12， 双曲线解析式为 = 12 ， 当 = 3时， = 4，即 = 4， = 4， 在 = 16
21、 第 18 页，共 26 页 15. 解：(1)设抛物线的解析式为 = 2+ + ( 0)， (1,0)，(5,0)，(0,- 5 2)三点在抛物线上， ，解得 抛物线的解析式为： = 1 2 2 2 5 2； (2) 抛物线的解析式为： = 1 2 2 2 5 2， 其对称轴为直线 = 2 = -2 21 2 = 2， 连接 BC，交对称轴于点 P，连接 AP，即 = ，此时 P点即为所求，如图 1所示， (5,0)，(0, 5 2)， 设直线 BC的解析式为 = + ( 0)， ，解得 直线 BC 的解析式为 = 1 2 5 2， 当 = 2时， = 1 5 2 = 3 2， (2, 3
22、2)； (3)存在 如图 2 所示， 第 19 页，共 26 页 当点 N在 x轴下方时， 抛物线的对称轴为直线 = 2，(0, 5 2)， 1(4, 5 2)； 当点 N在 x轴上方时， 如图，过点2作2 轴于点 D， 在 2与 2中， 2 2()， 2 = = 5 2，即2点的纵坐标为 5 2 1 2 2 2 5 2 = 5 2， 解得 = 2 + 14或 = 2 14， 2(2 + 14, 5 2)，3(2 14, 5 2). 综上所述，符合条件的点 N的坐标为(4, 5 2)，(2 + 14, 5 2)或(2 14, 5 2). 16. 解：(1)设抛物线解析式为 = ( 10)， 当
23、 = 2时， = 4， 点 D 的坐标为(2,4)， 将点 D坐标代入解析式得16 = 4， 解得： = 1 4， 抛物线的函数表达式为 = 1 4 2 + 5 2； (2)由抛物线的对称性得 = = ， = 10 2， 当 = 时， = 1 4 2 + 5 2， 矩形 ABCD的周长= 2( + ) 第 20 页，共 26 页 = 2(10 2) + ( 1 4 2 + 5 2) = 1 2 2 + + 20 = 1 2( 1) 2 + 41 2 ， 1 2 0， 当 = 1时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值为41 2 ； (3)如图， (0,0) (2,4) 向右平移 4 个单位后
24、，(4,0)， (6,4)， = 2， = 4， = 1 2(2 + 4) 4 = 12， 对称轴是 = 5 = 6， = 6 4 = 24， = 12， 直线 GH分矩形的两部分的面积比是 1：1 17. 解：()令 = 0，则2 2 3 = 0，解得1= 1，2= 3.又因 = ， 所以(0,3)，把 = 0， = 3代入 = 2 2 3得 = 1.所以抛物线的解析式为 = 2+ 2 + 3 (). = 2+ 2 + 3 = ( 1)2+ 4， 则(1,4)， 易得 P C = 2 ， B C = 32， P B = 25， 2= 2+ 2，由勾股定理的逆定理可知， 是直角三角形， 且 =
25、 90 .由可 = 90，于是 PB是外接圆的直径，故 的外接圆的半径为 5 (3)如图所示，直线 = 1 2 + 交 y 轴于，当该直线经过点(3,0)时，得 = 3 2，即 = 1 2 3 2，则 = ， = 3 2 过点 P作 y轴的平行线交 x 轴于点 G 第 21 页，共 26 页 = 2， = 4， = = 3 4， = = 90， ， O B E = G P B ， G B P + G P B = 90 ， G P B + O B E = 90 ， ， 即 = 1 2 3 2 与直线 PB垂直， 事实上，由于直线 = 1 2 + 与直线 = 1 2 3 2始终相同(相同)，故直线
26、 = 1 2 + 与 直线始终垂直因此，直线 = 1 2 + 经过，时直线 = 1 2 + 与圆相切，并 分别取得最小值与最大值，把= 3，= 0；=，=分别代入得 = 3 2和 = 7 2 故的取值范围为 3 2 7 2 18. 解：(1) 抛物线过 A、C两点， 代入抛物线解析式可得：1 ; + = 0 = 3 ，解得： = 2 = 3， 抛物线解析式为 = 2+ 2 + 3， 令 = 0可得，2+ 2 + 3 = 0，解1= 1，2= 3， 点在 A点右侧， 第 22 页，共 26 页 点坐标为(3,0)， 设直线 BC解析式为 = + ， 把 B、C 坐标代入可得3 + = 0 = 3
27、 ，解得 = 1 = 3 ， 直线 BC 解析式为 = + 3； (2) 轴，点 P 的横坐标为 m， (,2+ 2 + 3)，(, + 3)， 在线段 OB上运动， 点在 N点上方， = 2+ 2 + 3 ( + 3) = 2+ 3 = ( 3 2) 2 + 9 4， 当 = 3 2时，MN 有最大值，MN的最大值为 9 4； (3) 轴， /， 当以 C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，则有 = ， 当点 P在线段 OB上时，则有 = 2+ 3， 2+ 3 = 3，此方程无实数根， 当点 P不在线段 OB 上时，则有 = + 3 (2+ 2 + 3) = 2 3， 2 3 = 3，
28、解得 = 3:21 2 或 = 3;21 2 ， 综上可知当以 C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，m的值为3:21 2 或3;21 2 19. 解：(1) = 1， = 2， (0,1)，(2,0)， 、B在直线 = + 的图象上， 1 = 0 = 2 + ，解得 = 1 2 = 1 ， 直线 AB 的函数表达式为： = 1 2 + 1， = 5 6 2 + + 经过点 A、B， 1 = 0 = 5 6 22+ 2 + ，解得 = 13 6 = 1 抛物线的函数表达式为： = 5 6 2 13 6 + 1； (2)点 C 在抛物线上 如图，过点 C 作 轴， 正方形 ABCD， 第
29、23 页，共 26 页 = ， = 90， + = 90， 又 + = 90， = ， ()， = = 1， = = 2， (3,2)， 当 = 3时， = 5 6 32 13 6 3 + 1 = 2， 点 C 在抛物线上； (3)如图，过点 P 作 x 轴的垂线，交 OB、AB 于点 N、Q，过点 A 作 ， 设点(, 5 6 2 13 6 + 1)，则(, 1 2 + 1)， = 1 2 + 1 ( 5 6 2 13 6 + 1) = 5 6 2 + 5 3， = + = 2 + 2 = 2 = 5 6 2 + 5 3 = 5 6( 1) 2 + 5 6， 当 = 1时，最大值 = 5 6
30、， 又 正方形= 5， 五边形 APBCD面积的最大值为5 6 + 5 = 35 6 ； 存在.如图，过点 P 作 x 轴的平行线，交 y 轴于点 G，过点 E 作 ，设点 (, 5 6 2 13 6 + 1)， 由(2)易证 ， = ， = ， ( 5 6 2 + 19 6 , 5 6 2 7 6 + 1)， 点(2,0)、(3,2)在直线 BC上， 易求= 2 4 假设点 E 在边 BC上，则5 6 2 7 6 + 1 = 2( 5 6 2 + 19 6 ) + 1，解得1= 1，2= 2， 点 P 在直线 AB 下方的抛物线上， 0 2， = 1， 第 24 页，共 26 页 存在以 A
31、P为边的正方形 APEF，使其顶点 E在正方形 ABCD的边 BC上， 此时(1, 1 3). 20. 解：(1)4； (2)2.4； (3)设 BC分别交 MP，NQ 于 E，F，则四边形 MEFN为矩形 设 = = ，AD 交 MN于(如图2) = = ， = 4 /， = ，即 6 = 4; 4 ， = 2 3 + 4 = = ( 2 3 + 4) = 2 3 2 + 4(2.4 6)， 配方得： = 2 3( 3) 2 + 6 当 = 3时，y有最大值，最大值是 6 解：(1)由 = 6，= 12，得 = 4； 故答案为 4； (2)当 PQ恰好落在边 BC 上时， /， = ， 即
32、6 = 4; 4 ， = 2.4； 故答案为2.4； 21. 解：(1)把点(4,0)，(1,3)代入抛物线 = 2+ 中， 得 0 = 16 + 4 3 = + 第 25 页，共 26 页 解得： = 1 = 4 ， 抛物线表达式为： = 2+ 4； (2)点 C 的坐标为(3,3)， 又点 B的坐标为(1,3)， = 2， = 1 2 2 3 = 3； (3)过 P 点作 交 BH 于点 D， 设点(,2+ 4)， 根据题意，得： = = 3， = 2 4， = 1， = + 四边形 ， 6 = 1 2 3 3 + 1 2(3 + 1)( 2 4) 1 2( 1)(3+ 2 4)， 32
33、15 = 0， 1= 0(舍去)，2= 5， 点 P 坐标为(5,5). (4)以点 C、M、N 为顶点的三角形为等腰直角三角形 N点为“美丽点”时，分两种情况 讨论： 以点 M 为直角顶点且 M在 x轴上方时，如图 2， = ， = 90， 则 ， = = 2， = = 3 2 = 1， (1,2)，(2,0)， 由勾股定理得： = 22+ 12= 5， 第 26 页，共 26 页 = 1 2 5 5 = 5 2； 以点 M 为直角顶点且 M在 x轴下方时，如图 3，作辅助线，构建如图所示的两直角 三角形： 和 ， 得 ， = = 5， = = 2， 由勾股定理得： = 22+ 52= 29， = 1 2 29 29 = 29 2 ； 综上所述“美丽点”有 2个， 的面积为5 2或 29 2
