1、第 1 页，共 27 页 2020 年中考复习圆难题训练（一）年中考复习圆难题训练（一） 一、选择题 1. 如图，已知等腰 ， = ，以 AB为直径的圆交 AC 于 点 D，过点 D的 的切线交 BC 于点 E，若 = 5， = 4， 则 的半径是( ) A. 3 B. 4 C. 25 6 D. 25 8 2. 如图，点 E是 的内心，AE的延长线和 的外接圆相交于点 D连接 BD， BE，CE，若 = 32，则的度数为( ) A. 128 B. 126 C. 122 D. 120 3. 如图，在 的内接四边形 ABCD 中，AB是直径， = 115，过 D点的切线 PD与射线 BA交于 点
2、P，则的度数为( ) A. 25 B. 30 C. 35 D. 40 4. 如图， 的内切圆与三边分别相切于点 D、E、F，则下列等式： = ； + + = 180 2 = + ； 2 = + . 其中一定成立的等式的个数是【 】 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第 2 页，共 27 页 5. 如图， 以点(1,3)为圆心的 交 y 轴正半轴于 B、 C两 点，且 = 3 + 1，点 D 是 上第一象限内的一点， 连接 OD、.若 OD 与 相切，则 CD的长为( ) A. 3 1 B. 3 + 1 C. 23 D. 22 6. 如图所示， 的半径为 2，点 O 到直线
3、 l的距离为 3，点 P 是 直线.上的一个动点，PB 切 于点 B，则 PB的最小值是( ) A. 13 B. 5 C. 3 D. 2 7. 已知抛物线 = 3 16( + 4)( 4)与 x 轴交于 A、 B 两点， 与 y 轴交于 C点， 的 半径为2.为 上一动点，P为 AG的中点，则 OP 的最大值为( ) A. 7 2 B. 41 2 C. 34 2 D. 23 二、填空题 8. 如图：AB为 的直径，CD是 的弦，AB、CD的 延长线交于 E 点， 已知 = 2， = 16， 则 的大小是_ 9. 如图，AB 是 的一条弦，点 C是 上一动点，且 = 30，点 E、F分别是 AC
4、、BC的中点，直线 EF 与 交于 G、 H两点若 的半径为 7，则 + 的最大值为_ 10. 如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯， 纸杯开口圆的直径 EF 长为10 ， 母线()长为 第 3 页，共 27 页 10 .在母线 OF上的点 A 处有一块爆米花残渣，且 = 2 ，一只蚂蚁从杯口 的点 E处沿圆锥表面爬行到 A 点，则此蚂蚁爬行的最短距离为_cm。 11. 如图，AB 是 的直径，弦 = 4，F 是弦 BC 的中点， = 60，若动点 E 以1 /的速度从 A 点出发在 AB 上沿着 运动，设运动时间为 ()(0 ，当点 Q到 CD的距离为 1，求 AP 第 8 页，共 27 页
5、的长 23. 问题情境：老师给出了这样一道题：如图所示，已知 是 内接三角形， 且 = ，P 是劣弧 BC 上的动点，连接 PB 并延长到点 E，连接 PC 并延长到点 .鹏鹏同学发现 = ，理由是 = ， = .又因为 = ，所以 = ，所以 = .请你说出鹏鹏运用的是圆周角 的哪个性质：_； 深入探究：程程将动点 P放到了劣弧 AC上，连接 CP 并延长到点 F，如图所示， 其他条件不变请你判断与是否相等，并证明 拓展提高：当点 P与点 C重合，点 E 与点 B 重合时，过点 P作 = ，如 图所示，其他条件不变请你判断射线 PF 是否为 的切线，并证明 第 9 页，共 27 页 答案和解
6、析答案和解析 1.D 解：如图 1，连接 OD、BD， ， 是 的直径， = 90， ， 又 = ， = ， 又 = ， 是 的中位线， /， 是 的切线， ， ， = 5， = 4， = 52 42= 3， = 1 2 = 1 2 ， 5 = 3， = 3 5， 2+ 2= 2， (3 5) 2 + 52= 2， 解得 = 25 4 ， = ， = 25 4 ， 第 10 页，共 27 页 的半径是：25 4 1 2 = 25 8 2.C 解：在 的外接圆中， = 32 ， = 32 ， 点 E 是 的内心， = 64 ， + = (180 64) 2 = 58 ， = 180 58= 12
7、2 3.A 解：连接 DO， = 115， = 180 115 = 65， = ， 为等腰三角形， = 65， 与 相切， = 90， = 90 65 = 25， 4.B 解：不妨设 = 80， = 40， = 60 第 11 页，共 27 页 的内切圆与三边分别相切于点 D、E、F， = ， = ， = ， = = = 50， = = = 60， = = = 70， ，2 + ，故不正确， + + = 180， + + = 180， + = + ， 2 = + ，故正确， = ， = ， = ， + + = + + = 180，故正确 故共 2 个选项正确， 5.B 解：连接 OA，连接 A
8、C，过点 A作 于 E，过点 D作 交 CA的延长线于 F (1,3)， =12+ (3)2= 2， = = 1， = = 2 = 2， = ， = 90， 为等腰直角三角形， = 180 45 60 45 = 30， = 2 2 ， = 6 2 ， = 2 + 6 2 ， 在 中， = 2+ 2=(2 + 6 2 )2+ ( 2 2 )2= 3 + 1 6 B 解： 切 于点 B， = 90， 2= 2 2， 而 = 2， 第 12 页，共 27 页 2= 2 4，即 = 2 4， 当 OP最小时，PB 最小， 点 O 到直线 l的距离为 3， 的最小值为 3， 的最小值为9 4 = 5 7
9、.A 解：如图，连接 BG， 令 = 0，则 = 3 16(0 + 4)(0 4) = 3，则(0,3) 由 = 3 16( + 4)( 4)得到：(4,0)，(4,0) P为 AG中点，O为 AB中点，所以 OP 是 的中位线，则 = 1 2，当 BG 最大 时，则 OP最大 由圆的性质可知，当 G、C、B三点共线时，BG 最大 (0,3)，(4,0)， = 32+ 42= 5， 的最大值为2 + 5 = 7， 的最大值为7 2 8.48 第 13 页，共 27 页 9.10.5 解：如图 1，连接 OA、OB， = 30 ， = 2 = 60 ， = ， 为等边三角形， 的半径 7， =
10、= = 7， 点 E，F 分别是 AC、BC的中点， = 1 2 = 3.5，要求 + 的最大值，即求 + + (弦)的最大值， 当弦 GH是圆的直径时，它的最大值为：7 2 = 14， + 的最大值为：14 3.5 = 10.5， 10.241 解：因为 = = = 10()， 所以底面周长= 10()， 将圆锥侧面沿 OE 剪开展平得一扇形，此扇形的半径 = 10()，弧长等于圆锥底面 圆的周长10() 设扇形圆心角度数为 n，则根据弧长公式得： ， 所以 = 180， 即展开图是一个半圆， 因为 F点是展开图弧的中点， 所以 = 90， 连接 EA，则 EA 就是蚂蚁爬行的最短距离， 在
11、 中由勾股定理得， 2= 2+ 2= 100 + 64 = 164， 第 14 页，共 27 页 所以 = 241()， 即蚂蚁爬行的最短距离是241 11.4 或 7或 9或 12 解： 是 的直径， = 90， 而 = 60， = 4， = 2 = 8 分四种情况讨论： 如图 1，当 E点从 A 点运动到图中的 E 点时， = 90， = 90， = ， /， = ， = ， 即 E 和 O重合， = 4， = 4 1 = 4； 如图 2，当 E点从 A 点运动到图中的 E 点时， = 90， = 60， = 30， 弦 = 4，F 是弦 BC 的中点， = 2， = 1 2 = 1， =
12、 8 1 = 7， = 7 1 = 7； 如图 3，当 E点到达 B 点后再返回到图中的 E点位置时， = 90， 第 15 页，共 27 页 此时 E点移动的距离是8 + 1 = 9， = 9 1 = 9； 如图 4，当 E点到达 B 点后再返回到图中的 E点位置时， = 90， 此时 E点移动的距离是8 + 4 = 12， = 12 1 = 12； 综上，当 是直角三角形时，()的值为 4 或 7或 9或12. 12.7 3 解：四边形 ABCD 内接于 ， + = 180， = 140， = 180 140 = 40， 平分， = 1 2 = 20， 连接 OD， = ， 第 16 页，
13、共 27 页 = = 20， + = = 180， = 140， = 6， = 3， = 140 360 2 3 = 7 3 13. 解： = 60， 是 绕圆心 O 逆时针旋转得到的， = 60， ， = 60， = 30， = 120， = 4， = 2， = 1， ， ， =S 阴影部分面积 ； 14. = 23或4 43 解：作 于 D，如图， 在 中， = 82 42= 43， 1 2 = 1 2 ， = 443 8 = 23， 当 与 AB 相切时， = 23； 当直线 AB与 相交，且边 AB 与 只有一个交点时，4 43， 综上所述，当 = 23或4 43， 与边 AB只有一个
14、公共点 第 17 页，共 27 页 15.解：(1)如图所示：连接 MW，PW、PO = 2，P为 MN的中点， = 1， 在 中，由勾股定理可知： = 2 2= 22 12= 3 在 中，由勾股定理可知： = 2+ 2=(3)2+ 32= 23 = 3为定值， 点 P 在以 W为圆心，以3为半径的圆上 当点 P在 x轴上时 OP 的最大值为3 + 3，OP的最小值为3 3 3 3 中 3 + 3 (2)如图所示： 由于 PW是 的弦心距 ， = 90， 点 N 在运动过程中，点 P在以 MW为直径的圆上 第 18 页，共 27 页 由图可知直线与点 P的运动轨迹形成的圆相切时，且弦中距中过圆
15、心时，距离最大 为 MW的中点， (4,0)， = 1 将 = 0代入 = 2得： 2 = 0，解得： = 2， (2,0) = 6 又 = 2的图象与 x轴夹角是45， 为等腰直角三角， = 2 2 = 2 2 6 = 32 = + = 32 + 1 中的最大值为32 + 1 16.解：(1)如图， 为等边三角形 理由如下： 为等边三角形， = ， 在 中， = ， 又 = ， ()， = ， 过圆心 O， = ， = 60， = = 1 2 = 30， = = 30， = = 30， = + = 30 + 30 = 60， 为等边三角形； (2)如图， 仍为等边三角形 理由如下： 为等边三
16、角形， = ， 在 中， = ， 又 = ， () = ， = ， = ， = + = + = 60， 为等边三角形 第 19 页，共 27 页 17.(1)证明：连接 OC，如图： 平分， = ， = ， = ， = ， /， ， = 180 90 = 90， ， 为 的切线. (2)解：2= ，证明如下： 连接 CE，如图： 四边形 CEAB内接于 ， = ， 是 的直径， 第 20 页，共 27 页 = 90， + = 90， ， + = 90， = ， = ， ， ： = ：AF， = ， = ， ， = ， 2= 18.解：(1)连接 DP、CP， = 60，半径为 3cm的 沿边
17、OA从右向左平行移动，与边 OA 相切的切点记 为点 C = 120， 劣弧 的长为：1203 180 = 2； (2)可分两种情况， 如图 2，当 P在内部，连接 PE，PC，过点 P 做 于点 M，延长 CP交 OB于点 N， = 42， = 22， 第 21 页，共 27 页 在 中， =32 (22)2= 1， = 60， = 30， = 2 = 2， = + = 5， 在 中， = 30 = 5 3 3 = 53 3 如图 3，当 P在外部，连接 PF，PC，PC交 EF 于点 N，过点 P 作 于 点 M， 由可知， = 2， = = 1， 在 中， = 30 = 1 3 3 =
18、3 3 综上所述，OC的长为53 3 或3 3 19.解：(1)如图 1，连接 CD， 点 E 与点 D 关于 AC 对称， = ， = ， ， = 90， + = 90， + = 90， = ， = ， = ； ；43 解：(1)略； 第 22 页，共 27 页 (2) = 30， = 90， = 60， ， = 30， = 90， = 60， 的长为 故答案为； 如图 2，连接 OC、CD， = 30， = 60， 又 = ， 为等边三角形， 当 时，可得 = = 30， 又点 E与点 D关于 AC对称， = = 30， = 90， 即此时 EF与半圆 O 相切， = = ， = 2， =
19、 43 20.解：(1)如图， 即为所求 第 23 页，共 27 页 (2)设 = ， 与 相切， ， 2+ 22= ( + 1)2， = 1.5， = 3； 由知 = 3 + 1 = 4， 当 = 时， = = 2； 当 = 时，作 ， 则 = = 1.6， = = 0.8； 当 = 时，作 ， 则 = = 1.25， = = 3.75 当 AP为 2或0.8或3.75时，以 P、 C、 D为顶点的三角形是等腰三角形 第 24 页，共 27 页 21.解：(1)过 O 作 ，垂足为 E， 在 中， = 2+ 2= 10， 由 ，得 = ， 6 = 2 10， = 6 5， ， = ， = 2
20、 6 5 = 12 5 ； (2)与 相切 理由如下：连接 OD， = 90， + = 90， 是 BD的垂直平分线， = ， = ， = ， = ， + = 90， = 90，即 ， 又 过半径 OD的外端， 与 相切； 5 第 25 页，共 27 页 解： 设 = ，则 = 6 5， = 10 6 5， = = 4 5 = 25 4 3 4， 在 中，2= 2+ (25 4 3 4) 2 = 25 16( 3) 2 + 25， = 3时，OE 的值最小，最小值为 5， 的最小值为 5 22.解：(1)连结 OB 是 的切线 ， = 90 又 = 30 = + = 120 的长度为1202
21、180 = 4 3 (2)连结 OB 由(1)得， = 90， 又 = 30， = 2， = 2 = 4 = = 2 ,两点重合， 是 的切线 = 90， cos = cos30 = 2 = 2 cos30 = 2 3 2 = 4 3 = 43 3 (3)如图， 过点 P， Q 分别作 ， .垂足分别为 M， N， 连结 OQ 则 = 2， = 1 第 26 页，共 27 页 = 3 = 2 + 3 = = 90， = ， = = 2+3 1 = 2 + 3 = (2 + 3) 在 中， = 30， = tan30 = 3 又 + = = 2， 3 + (2 + 3) = 2 = 2 2+23 = 1 3+1 = 31 2 = 2 = 3 1 23.解：问题情境：同弧所对的圆周角相等； 深入探究：与相等， 证明： 如图 2， 在圆内接四边形 ABCP 中， + = 180， + = 180， = = ， = ， = = ， 即与相等； 拓展提高：射线 PF是 的切线，理由如下： 如图 3，连接 PO 并延长，交 于点 D，连接.易得 = 90， + = 90 = ， = ， = ， = ， + = 90，即 = 90 是直径， 第 27 页，共 27 页 射线 PF 是 的切线
