1、第 1 页，共 13 页 2020 中考复习中考复习新定义问题专题训练（三）新定义问题专题训练（三） 班级：_姓名：_ 得分：_ 一、选择题 1. 现定义一种新运算“”，规定 = + ，如1 3 = 1 3 + 1 3，则 2 (5)等于( ) A. 28 B. 13 C. 3 D. 3 2. 对有理数 a、b，规定运算如下： = + ，则23的值为( ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 3. 在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点(,)，若规定以下两种变换： (,) = (,)，如(2,3) = (3,2)； (,) = (,)，如(2,3) = (2,3) 按照以上变换有：(2,3
2、) = (2，3) = (3，2)，那么(6,7)等于( ) A. (7,6) B. (7,6) C. (7,6) D. (7,6) 4. 若 = + ，则的值是( ) A. 4 B. 4 C. 10 D. 10 5. 若“”是新规定的某种运算符号， = + + ，则2 = 16中，m的 值为( ) A. 8 B. 6 C. 6 D. 0 6. 对实数a、 b定义新运算： = ( , 0), ()( , 0),例如： 2 3 = (2) 3 = 8， 计 算：(2 3) (3 2) = ( ) A. 36 B. 64 C. 72 D. 81 7. 在有理数范围内，定义运算“”，其规则是 = +
3、 1，则(34) = 2的解是 ( ) A. 1 11 B. 1 12 C. 1 13 D. 1 14 8. 如果两个锐角的和等于90，就称这两个角互为余角类似可以定义：如果两个角 的差的绝对值等于90， 就可以称这两个角互为垂角， 例如： = 120， 2 = 30， |1 2| = 90，则1和2互为垂角(本题中所有角都是指大于0且小于180的角 ).如果有一个角的互为垂角等于这个角的补角的4 5，则这个角的度数( ) 第 2 页，共 13 页 A. 25 B. 30 C. 30或130 D. 130 9. 给出一种运算：对于函数 = ，规定 = 1。例如：若函数 = 4，则有 = 43。
4、已知函数 = 3，则方程 = 12的解是( ) A. 1= 4,2= 4 B. 1= 2,2= 2 C. 1= 2= 0 D. 1= 23,2= 23 二、填空题 10. 现规定一种新的算法“”： = ， 如32 = 32= 9， 则(2)3 =_ 11. 个数 a，b，c，d 排成 2 行、2列，两边各加一条竖直线记成| |，定义 | | = ，上述记号就叫做 2 阶行列式若| + 11 1 + 1| = 8，则 =_ 12. 在实数范围内定义运算“”， 其规则为 = 2 2， 则方程(4 3) = 13的 根为 _ 13. 现定义新运算“”，对任意有理数 a、b，规定 = + ，例如： 1
5、2 = 1 2 + 1 2 = 1，则计算3(5) =_ 14. 规定运算： = ， = + ，其中 a，b为任意的实数，则 (3 5)(3 5) =_ 15. 已知(,) = 3 + 2 + ，且(2,1) = 18，则(3,1) =_ 16. 规定用符号,-表示一个实数 x 的整数部分， 例如： ,3.69- = 3， 3 = 1.按此规定， 19 1 =_ 17. 定义： 等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值 k称为这个等腰三角形的“特 征值”.若等腰 中， = 80，则它的特征值 =_ 18. 一般地， 当， 为任意角时， sin( + )与sin( )的值可以用下面的公式求得：
6、sin( + ) = + ； sin( ) = 例如： 90 = sin(60 + 30) = 603 + 6030 = 3 2 3 2 + 1 2 1 2 = 1 类似地，可以求得15的值是_ 三、解答题 19. 规定一种新的运算： = ，如：3 4 = 3 4 3 4 = 5，试求 (1)(5) 4的值(2)5 ,3 (2)- 第 3 页，共 13 页 20. 我们规定： = 10 10，例如3 4 = 103 104= 107，请解决以下问题： (1)试求7 8的值 (2)想一想( + ) 与 ( + ) 21. 已知 a，b 均为有理数，现我们定义一种新的运算，规定：# = 2+ 5，
7、例 如：1#2 = 12+ 1 2 5 = 2.求：(1)(3)#6的值； (2),2#( 3 2)- ,(5)#9-的值 22. 设 a、 b 都表示有理数， 规定一种新运算“”： 当 时， = 2； 当 时， = 2.例如：12 = 2 1 = 2；3(2) = (2)2= 4 (1) (3)(4) = ； (2)求(23)(5)； (3)若有理数 x 在数轴上对应点的位置如图所示，求(1) (3) 第 4 页，共 13 页 23. 阅读下列内容，并完成相关问题： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫(加乘)运算.然后他写出了一些按照(加乘 )运算的运算法则进行运算的算式： (+4)(+2)
8、 = +6;(4)(3) = +7; (5)(+3) = 8;(+6)(7) = 13; (+8)0 = 8;0(9) = 9 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的(加乘)运算的运算法则了. 聪明的你也明白了吗 (1)归纳(加乘)运算的运算法则：两数进行(加乘)运算时， _ 特别地， 0和任何数进行(加乘)运算， 或任何数和 0 进行(加乘)运算， _ (2)计算：(+8)*,(4)(6)-0+(括号的作用与它在有理数运算中的作用一致) (3)我们知道加法有交换律和结合建，运算律在有理数的(加乘)举例验证.(举一个 例子即可) 24. 已知：如图 1，抛物线的顶点为 M，平行于 x 轴的直线
9、与该抛物线交于点 A，(点 A 在点 B左侧)，根据对称性 为等腰三角形，我们规定：当 为等边三 角形时，就称 为该抛物线的“完美三角形” 第 5 页，共 13 页 (1)如图 2，抛物线 = 2的“完美三角形”边 AB的长是_； 抛物线 = 2+ 1与 = 2的“完美三角形”的边长的数量关系是_； (2)若抛物线 = 2+ 4的“完美三角形”的边长为 4，求 a 的值； (3)若抛物线 = 2+ 2 + 5的“完美三角形”边长为 n，且 = 2+ 2 + 5的最大值为1，求 m，n 的值 第 6 页，共 13 页 答案和解析答案和解析 1. C 解： = + ， 2 (5) = 2 (5)+
10、 2 (5) = 10 + 2 + 5 = 3， 2. A 解： = + ， 23 = (2) + (2) 3 = 2 6 = 8 3. C 解： (6,7) = (7,6) (6,7) = (7，6) = (7，6)， 4. B 解：根据题意，= 1 + 2 3 4 = 4 5. B 解：根据题中的新定义得：2 = 2 + 2 + = 16， 移项合并得：3 = 18， 解得： = 6 6. C 第 7 页，共 13 页 解：根据题意得：原式= ,(2)3- 32= (8) 9 = 72， 7. C 8. C 解：设这个角的度数为 x度， 则当0 90时，它的互为垂角是(90 + )度， 依
11、题意有90 + = 4 5(180 )， 解得 = 30； 当90 180时，它的互为垂角是( 90)度， 依题意有 90 = 4 5(180 )， 解得 = 130 故这个角的度数为 30度或 130 度， 9. B 解：由函数 = 3得 = 3，则= 32， 32= 12， 2= 4， = 2， 1= 2，2= 2， 10. 8 解：由题意可得：(2)3 = (2)3= 8 11. 2 解：由题意可得： ( + 1)( + 1) (1 )(1 ) = 8， 2+ 2 + 1 1 + 2 2= 8， 第 8 页，共 13 页 4 = 8， 解得： = 2 12. 1= 6，2= 6 解：根据
12、新定义可以列方程： (42 32) = 13， 72 2= 13， 49 2= 13， 2= 36， 1= 6，2= 6 13. 7 解：3(5) = 3 (5)+ 3 (5) = 15 + 3 + 5 = 7 14. 2 解：(3 5)(3 5) = (3 5)(3 + 5) = 3 5 = 2 15. 17 解： (,) = 3 + 2 + ，(2,1) = 18 3 2 + 2 1 + = 18 解得： = 10， (,) = 3 + 2 + 10， (3,1) = 3 3 + 2 (1) + 10 = 17 第 9 页，共 13 页 16. 3 解： 16 19 25， 4 19 5，
13、 3 19 1 4， ,19 1- = 3 17. 1 4或 8 5 解：当为顶角时，等腰三角形两底角的度数为： 特征值 当为底角时，顶角的度数为：180 80 80 = 20 特征值 综上所述，特征值 k 为8 5或 1 4 18. 62 4 解：15 = sin(45 30) = 4530 4530 = 2 2 3 2 2 2 1 2 = 62 4 19. 解：(1) = ， (5) 4 = (5) 4 (5) 4 = (20) + 5 4 = 19； (2) = ， 5 ,3 (2)- = 5 ,3 (2) 3 (2)- = 5 (7) 第 10 页，共 13 页 = 5 (7) 5 (
14、7) = 33 20. 解：(1)7 8 = 107 108= 1015； (2)( + ) = 10+ 10= 10+， ( + ) = 10 10+= 10+， ( + ) 与 ( + )相等 21. 解：(1)(3)#6 = (3)2+ (3) 6 5 = 9 18 5 = 14； (2),2#( 3 2)- ,(5)#9- = ,22+ 2 ( 3 2) 5- ,(5) 2 + (5) 9 5- = (4 3 5) (25 45 5) = 4 + 25 = 21 22. 解：(1)16； (2)(23)(5) = (2 2) (5) = 4(5) = (5)2 = 25； (3)由数轴
15、知1 2， 则1 = 2，3 = 2， (1) (3)， = (2) (3) = 2 2 = 0 解： 第 11 页，共 13 页 (1) 当 时， = 2， (3)(4) = (4)2= 16 故答案为 16； 23. 解：(1)同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值； (2)(+8)*,(4)(6)-0+ = (+8)*(+10)0+ = (+8)(+10) = 18； (3)加法的交换律仍然适用，例如：(+4)(2) = 6， (2)(+4) = 6， 所以加法的交换律仍然适用， ,(+4)(2)-(1) = 7， (+4),(2)(1)- = 7， ,(+4)(2)-0
16、 = 6， (+4),(2)0- = 6， ,0(2)-(1) = 3， 0,(2)(1)- = 3 所以结合律运用 解：(1)两数进行(加乘)运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加.特别地，0和 任何数进行(加乘)运算，或任何数和 0 进行(加乘)运算，都得这个数的绝对值， 故答案为同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值； 24. 解：(1)23；相等； (2)解：抛物线 = 2与抛物线 = 2+ 4的形状相同， 抛物线 = 2与抛物线 = 2+ 4的完美三角形全等， 抛物线 = 2+ 4的完美三角形边长为 4， 抛物线 = 2的完美三角形边长为 4， 由(1)可得点 B
17、的坐标为(2,23)或(2,23) 把点 B代入 = 2中， = 3 2 (3) = 2+ 2 + 5的最大值为1， 第 12 页，共 13 页 4(5)4 4 = 1， 0 4 1 = 0 抛物线 = 2+ 2 + 5的“完美三角形”边长为 n， 抛物线 = 2的“完美三角形”边长为 n 点 B 的坐标为( 2 , 3 2 ) 代入抛物线 = 2，得( 2) 2 = 3 2 = 23或 = 0(不合题意，舍去) 由得 = 23+1 4 ， = 4883 11 解：(1)过点 B作 轴于 N，如图 2， 为等边三角形， = 60， /轴， = = 60， = 3， 设点 B坐标为(,)代入抛物线 = 2， 得3 = 2， 第 13 页，共 13 页 = 3， = 0(舍去)， (3,3)， = 3， = 3， = 23， = = 23， 抛物线 = 2的完美三角形的边 = 23 故答案为23 抛物线 = 2+ 1与 = 2的形状相同， 抛物线 = 2+ 1与 = 2的完美三角形的边长的数量关系是相等 故答案为相等
