1、 江苏省宿迁市 20192020 学年第二学期高一年级期末调研测试 数学试题 20207 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1两条直线 3 2 yx，64130 xy之间的距离为 A13 B 13 2 C 13 4 D13 2采用简单随机抽样的方法，从含有 5 个个体的总体中抽取一个容量为 2 的样本，某个个 体被抽到的概率为 A 1 5 B 1 2 C 2 3 D 2 5 3若直线过两点(1，1)，(2，13)，则此直线的倾斜角是 A30 B45 C60 D90 4某老师
2、从星期一到星期五收到的信件数分别为 10，6，8，5，6，则该组数据的方差 s2 的值为 A 4 5 5 B4 5 C 16 5 D16 5设直线2(3)260 xkyk过定点 P，则点 P 的坐标为 A(3，0) B(0，2) C(0，3) D(2，0) 6两圆 C1： 22 (3)4xy与 C2： 22 (4)16xy的公切线条数为 A1 B2 C3 D4 7已知正四面体 ABCD，则 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值为 A 1 2 B 2 3 C 1 3 D 3 3 8已知圆 C 的圆心在直线yx 上，且过两点 A(2，0)，B(0，4)，则圆 C 的方程是 A 22 (3)(3)1
3、0 xy B 22 (3)(3)10 xy C 22 (3)(3)10 xy D 22 (3)(3)10 xy 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若 b10，A45 ，则使此三角形有 两解的 a 的值可以是 A5 B6 2 C8 D10 2 10下列说法正确的是 A某种彩票中奖的概率是 1 10000 ，则买 10000 张彩票一定会中 1 次奖 B若甲、乙两位同学 5 次测试成绩的方差分别为 0.3 和
4、0.5，则乙同学成绩比较稳定 C线性回归直线 y bxa一定经过点(x，y) D 从装有 3 只红球、 3 只白球的袋子中任意取出 4 只球， 则“取出 1 只红球和 3 只白球” 与“取出 3 只红球和 1 只白球”是互斥事件 11如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 是棱 CC1上 的一个动点，给出以下结论，其中正确的有 AAD 与 BD1所成的角为 45 BAD1平面 BCC1 C平面 ACD1平面 B1D1D D对于任意的点 E，四棱锥 B1BED1的体积均不变 12已知ABC 中，AB1，AC4，BC13，D 在 BC 上，AD 为BAC 的角平分线， E 为 AC 中
5、点下列结论正确的是 ABE3 ABC 的面积为13 CAD 4 3 5 DP 在ABE 的外接圆上，则 PB2PE 的最大值为2 7 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分其中第 16 题共有 2 空，第一个 空 2 分，第二个空 3 分；其余题均为一空， 每空 5 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13用分层抽样的方法从高一、高二、高三 3 个年级的学生中抽取 1 个容量为 60 的样本， 其中高一年级抽取 15 人，高三年级抽取 20 人，已知高二年级共有学生 500 人，则 3 个年级学生总数为 人 14从1，2，3，4，5，6中任取两个不同数，其和能被 3
6、整除的概率是 15已知正三棱锥 ABCD 的四个顶点在同一个球面上，ABACAD4，CD6，则该 三棱锥的外接球的表面积为 ；该三棱锥的顶点 B 到面 ACD 的距离为 （第 1 空 3 分，第 2 空 2 分） 16在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1： 22 (2)(1)4xy，线段 AB 是圆 C2：(x 22 4)(2)4y的一条动弦，且 AB2 2，线段 AB 的中点为 Q，则直线 OQ 被 圆 C1截得的弦长取值范围是 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本题满分 10 分） 如图，在直三
7、棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，点 D，E 分别是 BC，B1C1的中点， AA12，BC2 2 （1）求证：A1E平面 ADC1； （2）求二面角 C1ADC 的余弦值 18 （本题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形 ABCD 的顶点 B(5，3)和 D(3，1)，AB 所在直线的方程为 xy20，ABAC （1）求对角线 AC 所在直线的方程； （2）求 BC 所在直线的方程 19 （本题满分 12 分） 某奶茶店为了解冰冻奶茶销售量与气温之间的关系， 随机统计并制作了某 5 天卖出冰冻 奶茶的杯数 y 与当天气温 x 的对照表： 温度 x/ 15 20 25
8、 30 35 冰冻奶茶杯数 y/十杯 5 7 9 8 10 （1）画出散点图； （2）求出变量 x，y 之间的线性回归方程，若该奶茶店制定某天的销售目标为 110 杯， 当该天的气温是 38时，该奶茶店能否完成销售目标？ 注：线性回归方程 y bxa的系数计算公式： 111 22 11 ()() () nnn iiii iii nn ii ii nx yxy b nxx ，ay bx （参考数据： 2 12515625， 22222 15202530353375） 20 （本题满分 12 分） 如图， 在ABC 中， AC6， D 为 AB 边上一点， CDAD2， 且 cosBCD 6 4
9、（1）求 sinB； （2）求ABC 的面积 21 （本题满分 12 分） 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取 50 名同学将其成绩（百分制，均为整数）分 成六组：第 1 组40，50)，第 2 组50，60)，第 3 组60，70)，第 4 组70，80)，第 5 组80， 90)，第 6 组90，100，得到部分频率分布直方图（如图） ，观察图形中的信息，回答下列问 题： （1）求分数在80，90)内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数； （3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于 90 分时为 优秀等
10、级，若从第 5 组和第 6 组两组学生中，随机抽取 2 人，求所抽取的 2 人中至少一人成 绩优秀的概率 22 （本题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 22 25xy，圆 C： 222 (1)(0 xyr 3)r ，点 P(3，4)，M，N 为圆 O 上的不同于点 P 的两点 （1）已知 M 坐标为(5，0)，若直线 PM 截圆 C 所得的弦长为 2 55 5 ，求圆 C 的方程； （2）若直线 MN 过(0，4)，求CMN 面积的最大值； （3）若直线 PM，PN 与圆 C 都相切，求证：当 r 变化时，直线 MN 的斜率为定值 江苏省宿迁市 20192020 学
11、年第二学期高一年级期末调研测试 数学试题 20207 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1两条直线 3 2 yx，64130 xy之间的距离为 A13 B 13 2 C 13 4 D13 答案：B 考点：两平行直线间的距离 解析： 22 131313 22 13 64 d ，故选 B 2采用简单随机抽样的方法，从含有 5 个个体的总体中抽取一个容量为 2 的样本，某个个 体被抽到的概率为 A 1 5 B 1 2 C 2 3 D 2 5 答案：D 考点：古典概型 解析： 42
12、 105 P ，故选 D 3若直线过两点(1，1)，(2，13)，则此直线的倾斜角是 A30 B45 C60 D90 答案：A 考点：直线的倾斜角与斜率 解析： 31 13 2( 1)3 k ，则 6 ，故选 A 4某老师从星期一到星期五收到的信件数分别为 10，6，8，5，6，则该组数据的方差 s2 的值为 A 4 5 5 B4 5 C 16 5 D16 答案：C 考点：平均数与方差 解析： 106856 7 5 x ， 222222 11 6 (1 07 )( 67 )(87 )( 57 )( 67 ) 55 s ，故选 C 5设直线2(3)260 xkyk过定点 P，则点 P 的坐标为
13、A(3，0) B(0，2) C(0，3) D(2，0) 答案：B 考点：直线方程过定点问题 解析：2(3)260(2)236xkykykxy ， 200 23602 yx xyy ，故该直线过点(0，2)，故选 B 6两圆 C1： 22 (3)4xy与 C2： 22 (4)16xy的公切线条数为 A1 B2 C3 D4 答案：B 考点：两圆的位置关系 解析：求得两圆圆心距 22 ( 30)(40)5d ，42542， 两圆相交，两圆有两条公切线，故选 B 7已知正四面体 ABCD，则 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值为 A 1 2 B 2 3 C 1 3 D 3 3 答案：D 考点：线面角
14、的计算 解析：设正四面体的边长为 2a，取 CD 的中点 E，连 AE、BE，作 AFBE 于点 F，EG AB 于点 G， 则ABE 就是直线 AB 与平面 BCD 所成的角， cosABE BG3 BE33 a a ，故选 D 8已知圆 C 的圆心在直线yx 上，且过两点 A(2，0)，B(0，4)，则圆 C 的方程是 A 22 (3)(3)10 xy B 22 (3)(3)10 xy C 22 (3)(3)10 xy D 22 (3)(3)10 xy 答案：C 考点：圆的方程 解析：首先求得 AB 的垂直平分线方程为： 13 22 yx ， 3 13 3 22 yx x yyx ，故 C
15、(3，3)， 22 (32)( 30)10r ， 故圆C的方程为 22 (3)(3)10 xy， 故选C 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若 b10，A45 ，则使此三角形有 两解的 a 的值可以是 A5 B6 2 C8 D10 2 答案：BC 考点：解三角形 解析：当 bsinAab 时，即5 2a10，三角形有两解，故选 BC 10下列说法正确的是 A某种彩票中奖的概率是 1 10000 ，则买 10
16、000 张彩票一定会中 1 次奖 B若甲、乙两位同学 5 次测试成绩的方差分别为 0.3 和 0.5，则乙同学成绩比较稳定 C线性回归直线 y bxa一定经过点(x，y) D 从装有 3 只红球、 3 只白球的袋子中任意取出 4 只球， 则“取出 1 只红球和 3 只白球” 与“取出 3 只红球和 1 只白球”是互斥事件 答案：CD 考点：统计与概率 解析：选项 A，中奖的概率是 1 10000 ，则买 10000 张彩票不一定会中 1 次奖，故 A 错误； 选项 B，甲同学成绩比乙同学稳定，故 B 错误； 选项 C，线性回归方程必定经过样本中心，故 C 正确； 选项 D， “取出 1 只红球
17、和 3 只白球”与“取出 3 只红球和 1 只白球”是不可能同时 发生的事情，故是互斥事件，故 D 正确 综上所述，故选 CD 11如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E 是棱 CC1上 的一个动点，给出以下结论，其中正确的有 AAD 与 BD1所成的角为 45 BAD1平面 BCC1 C平面 ACD1平面 B1D1D D对于任意的点 E，四棱锥 B1BED1的体积均不变 答案：BCD 考点：立体几何 解析：选项 A，因为D1BC45，所以 AD 与 BD1所成的角不是 45 ，故 A 错误； 选项 B，因为 AD1BC1，BC1平面 BCC1，所以 AD1平面 BCC1，故 B
18、正确； 选项 C，因为 AC平面 B1D1D，所以平面 ACD1平面 B1D1D，故 C 正确； 选项 D， 111111 1 11 11 11 36 BBEDDBEBBEBABCD A B C D VVSC DV ，故 D 正确 综上所述，故选 BCD 12已知ABC 中，AB1，AC4，BC13，D 在 BC 上，AD 为BAC 的角平分线， E 为 AC 中点下列结论正确的是 ABE3 ABC 的面积为13 CAD 4 3 5 DP 在ABE 的外接圆上，则 PB2PE 的最大值为2 7 答案：ACD 考点：解三角形 解析： 222 11 2()2(1 13) 163 22 BEBABC
19、AC，故 A 正确； 1 13 161 cos 2 11313 B ，从而 2 3 sin 13 B ， 112 3 sin1133 2213 SBA BCB ，故 B 错误； 13 55 BC BD ， 13131 12 1() 25513 4 3 5 AD ，故 C 正确； 设PBE，由正弦定理可得 PB2sin(120)，PE2sin， PB2PE3cos5sin282 7，故 D 正确 综上所述，故选 ACD 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分其中第 16 题共有 2 空，第一个 空 2 分，第二个空 3 分；其余题均为一空， 每空 5 分请把答案填写在答
20、题卡相应位置上） 13用分层抽样的方法从高一、高二、高三 3 个年级的学生中抽取 1 个容量为 60 的样本， 其中高一年级抽取 15 人，高三年级抽取 20 人，已知高二年级共有学生 500 人，则 3 个年级学生总数为 人 答案：1200 考点：分层抽样 解析： 60 1520 601200 500 14从1，2，3，4，5，6中任取两个不同数，其和能被 3 整除的概率是 答案： 1 3 考点：古典概型 解析：从 6 个数中取两个数共有 15 种情况，其中和是 3 的倍数的情况共有 5 种， 故 51 153 P 15已知正三棱锥 ABCD 的四个顶点在同一个球面上，ABACAD4，CD6
21、，则该 三棱锥的外接球的表面积为 ；该三棱锥的顶点 B 到面 ACD 的距离为 （第 1 空 3 分，第 2 空 2 分） 答案：64； 6 21 7 考点：求的表面积；空间距离的计算 解析：设 OAOBR，求得 BG2 3，AG2， 根据 OB2OG2BG2，得 22 (2)12RR，解得 R4（球心 O 在三棱锥外） ， 2 46 4SR； 求得 1 673 7 2 ACD S ，设点 B 到面 ACD 的距离为 h， 2 113 3 762 334 h，解得 h 6 21 7 16在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1： 22 (2)(1)4xy，线段 AB 是圆 C2：(x 22
22、4)(2)4y的一条动弦，且 AB2 2，线段 AB 的中点为 Q，则直线 OQ 被 圆 C1截得的弦长取值范围是 答案：14，4 考点：直线与圆的位置关系 解析：首先判断点 Q 的轨迹是以 C2 (4，2)为圆心，2为半径的圆上， 且 C1，C2，O 三点共线，当点 Q 在直线且 C1C2上时，直线 OQ 被圆 C1截得的弦长 最大，为 4； 当 Q 为切点时，直线 OQ 被圆 C1截得的弦长最小， 根据相似求得点 C1到直线 OQ 的距离为 2 2 ，故弦长 1 2 414 2 ， 所以直线 OQ 被圆 C1截得的弦长取值范围是14，4 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答
23、题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本题满分 10 分） 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABAC，点 D，E 分别是 BC，B1C1的中点， AA12，BC2 2 （1）求证：A1E平面 ADC1； （2）求二面角 C1ADC 的余弦值 解： （1）证明：在直三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ABB1A1，BCC1B1是平行四边形 因为 D，E 分别是 BC，B1C1 中点 所以 DEBB1且 DEBB1， 又 AA1 BB1且 AA1BB1， 所以 AA1DE 且 AA1DE， 所以四边形 AA1ED 是平行四边形 所以 A1EAD 又 AD平
24、面 ADC1，A1E平面 ADC1， 所以 A1E平面 ADC1； （2）因为 ABAC，D 为 BC 中点 所以 ADDC 因为三棱柱 ABCA1B1C1为直三棱柱 所以 CC1平面 ABC，又 AD平面 ABC， 所以 CC1AD， 因为 ADBC，CC1AD，BCCC1C， 所以 AD平面 BCC1B1，又因为 DC1平面 BCC1B1 所以 ADDC1 所以二面角 C1ADC 的平面角为C1DC 因为 AA12，BC2 2， DC2，CC1AA12， 因为 CC1平面 ABC，CD平面 ABC， CC1CD，所以 C1D 2 226， 所以 cosC1DC 23 36 ， 即二面角 C
25、1ADC 的余弦值为 3 3 18 （本题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系中，已知平行四边形 ABCD 的顶点 B(5，3)和 D(3，1)，AB 所在直线的方程为 xy20，ABAC （1）求对角线 AC 所在直线的方程； （2）求 BC 所在直线的方程 解： （1）因为 B(5，3)，D(3，1) 所以 BD 中点坐标为(4，1) 因为 ACAB，AB 斜率为 1，所以 AC 斜率为1 有四边形 ABCD 是平行四边形，所以 AC 过点(4，1) 所以 AC 方程为 y1(x4)，即 yx5 （2）由 5 2 yx yx 得 A( 7 2 ， 3 2 ) 所以 AD 斜率为 3 1
26、 2 5 7 3 2 又因为 BC/AD，所以 BC 斜率为 5 所以 BC 方程为 y35(x5)，即 y5x22 19 （本题满分 12 分） 某奶茶店为了解冰冻奶茶销售量与气温之间的关系， 随机统计并制作了某 5 天卖出冰冻 奶茶的杯数 y 与当天气温 x 的对照表： 温度 x/ 15 20 25 30 35 冰冻奶茶杯数 y/十杯 5 7 9 8 10 （1）画出散点图； （2）求出变量 x，y 之间的线性回归方程，若该奶茶店制定某天的销售目标为 110 杯， 当该天的气温是 38时，该奶茶店能否完成销售目标？ 注：线性回归方程 y bxa的系数计算公式： 111 22 11 ()()
27、 () nnn iiii iii nn ii ii nx yxy b nxx ，ay bx （参考数据： 2 12515625， 22222 15202530353375） 解： （1）散点图如图所示： （2） 5 1 15 520 725 930 835 101030 ii i x y 5 1 1520253035125 i i x ， 5 22 1 ()12515625 i i x 5 1 5798 1039 i i y ， 5 222222 1 15202530353375 i i x ， 所以 555 111 55 22 11 5()() 5 1030 125 3911 5 3375
28、1562550 5() iiii iii ii ii x yxy b xx 55 11 1111111123 39125 5505550510 ii ii aybxyx ， 故所求线性回归方程为 1123 5010 yx 当 x38 时， 1123533 3811 501050 y ， 答：当该天的气温是 38时，该奶茶店不能完成销售目标 20 （本题满分 12 分） 如图， 在ABC 中， AC6， D 为 AB 边上一点， CDAD2， 且 cosBCD 6 4 （1）求 sinB； （2）求ABC 的面积 解： （1）在ADC 中，由余弦定理得 所以 因为，BCD 是三角形 BCD 的内
29、角， 所以 所以 （2）在BCD 中，由正弦定理得， 所以 21 （本题满分 12 分） 某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取 50 名同学将其成绩（百分制，均为整数）分 成六组：第 1 组40，50)，第 2 组50，60)，第 3 组60，70)，第 4 组70，80)，第 5 组80， 90)，第 6 组90，100，得到部分频率分布直方图（如图） ，观察图形中的信息，回答下列问 题： （1）求分数在80，90)内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）从频率分布直方图中，利用组中值估计本次考试成绩的平均数； （3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于 90
30、分时为 优秀等级，若从第 5 组和第 6 组两组学生中，随机抽取 2 人，求所抽取的 2 人中至少一人成 绩优秀的概率 解： （1）由图可得分数在80，90)内的频率为 110(0.0060.0100.0200.0260.030)0.080.08100.008 所以频率分布直方图如下： （2）本次考试成绩的平均数约为 450.01010550.02610650.02010750.03010850.0895 0.0061066.8 （3）第 5 组人数为 500.084，第 6 组人数为 500.063 被抽取的成绩在80，90)内的 4 人，分别记为 a，b，c，d，成绩在90，100内的 3
31、 人，分别记为 A，B，C 则从这 7 人中随机抽取 2 人的情况为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，A)，(a，B)， (a，C)，(b，c)，(b，d)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(c，d)，(c，A)，(c，B)，(c， C)，(d，A)，(d，B)，(d，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共 21 种； 被抽到 2 人中至少有 1 人成绩优秀的情况为：(a，A)， (a，B)， (a，C)， (b，A)， (b，B)，(b，C)，(C，A)，(c，B)，(c，C)，(d，A)，(d，B)，(d，C)，(A，B)，(A， C)，(B，C)共 15 种 故抽到
32、2 人中至少有 1 人成绩优秀的概率为： 155 217 P 22 （本题满分 12 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 22 25xy，圆 C： 222 (1)(0 xyr 3)r ，点 P(3，4)，M，N 为圆 O 上的不同于点 P 的两点 （1）已知 M 坐标为(5，0)，若直线 PM 截圆 C 所得的弦长为 2 55 5 ，求圆 C 的方程； （2）若直线 MN 过(0，4)，求CMN 面积的最大值； （3）若直线 PM，PN 与圆 C 都相切，求证：当 r 变化时，直线 MN 的斜率为定值 解： （1）因为 P(3，4)，M(5，0)，所以 所以直线 PM 的方程为：
33、x2y100， 所以点 C 到直线 PM 的距离为 因为直线 PM 截圆 C 所得的弦长为 所以 所以圆 C 的方程为 C：x2(y1)24； （2）由题知直线的斜率 MN 存在，故可设直线 MN 的方程为 ykx4 即 kxy40 所以点 C 到直线 MN 的距离 在圆 O 中由垂径定理得 MN， 所以 令，则， 当，即时CMN 面积的最大值为； （3）因为 0r3，所以过点 P 的圆 C 的切线斜率存在，设为 y4k(x3) 即 kxy43k0 与圆 O：x2(y1)2r2 相切得 化简得 (1) 设直线 PM，PN 的斜率分别为，则是方程(1) 的两个根 所以 将 y4k(x3)与圆 O：x2y225 联立解得 同理 所以 所以当 r 变化时，直线 MN 的斜率为定值
