初中升高中暑假预习讲义全套教学案（共16次）.zip

1.一元二次方程及不等式一元二次方程及不等式一基本概念一基本概念1.因式分解因式分解2.根与系数的韦达定理根与系数的韦达定理3.一元二次不等式的解法与恒成立一元二次不等式的解法与恒成立4.其他不等式其他不等式二典例分析二典例分析考点考点 1.因式分解法解方程因式分解法解方程.例例 1.（1）22230 xaxa；（2）已知函数）已知函数2()(1)1(0)f xaxaxa，求方程，求方程0)(xf的根的根.（3）已知函数）已知函数 222f xaxax，aR，求方程，求方程0)(xf的根的根.（4）解方程：）解方程：22(1)40()axaxaR.（5）解方程：）解方程：0)21(22aaxax.考点考点 2.韦达定理韦达定理例例 2关于关于x的一元二次方程：的一元二次方程：2240 xxm有两个实数根有两个实数根1x、2x，则，则21211mxx=（）A44mB44mC4D-4练习练习1设方程设方程2310 xx 的两根分别是的两根分别是1x，2x，则，则212223xxxx_.2已知关于已知关于x的等式的等式20 xxa的两根为的两根为1x、2x，则，则|12xx_.3已知已知、是方程是方程22430 xx的两个根，则的两个根，则11_4已知方程已知方程2310 xx 的两根为的两根为1x，2x，则，则1233xx_.5设一元二次方程设一元二次方程2630 xx的两个实根为的两个实根为1x、2x，则，则2212xx_.6已知关于已知关于x的方程的方程222(1)30 xmxm有两个不等实根有两个不等实根.（1）求实数）求实数m的取值范围；的取值范围；（2）设方程的两个实根为）设方程的两个实根为12,x x，且，且21212()()120 xxxx，求实数，求实数m的值；的值；（3）请写出一个整数）请写出一个整数m的值，使得方程有两个正整数的根的值，使得方程有两个正整数的根.（结论不需要证明）（结论不需要证明）考点考点 3.一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法例例 3解下列不等式：解下列不等式：（1）2210 xx；（2）2133xx：（3）2230 xx；（4）2830 xx；（5）1021xx（6）解关于）解关于x的不等式：的不等式：2212()xaxaaR.考点考点 4.二次函数恒成立问题二次函数恒成立问题例例 4.若不等式若不等式2(2)2(2)40axax对任意实数恒成立，求实数对任意实数恒成立，求实数a的取值范围的取值范围.练习练习1.若不等式若不等式222240axax对任意实数对任意实数 x 均成立，则实数均成立，则实数 a 的取值范围是（的取值范围是（）A2,2B2 2,C2,D2,22关于关于 x 的不等式的不等式21mxmxm对任意对任意xR恒成立，则实数恒成立，则实数 m 的取值范围是（的取值范围是（）A,0B,0C4,0,3D4,0,3考点考点 5.分式不等式及绝对值不等式分式不等式及绝对值不等式.例例 5.解下列不等式解下列不等式.(1).0542 xx (2).xxx25)3)(1(3).254xx (4).1|23|x例例 6.已知集合已知集合23|2xxyxA,集合集合30,32|2xxxyyB,求求BA与与)(BACR.总练习题总练习题1已知集合已知集合260Mx xx，11Nxx，则，则MN（）A2,B6,C2,6D0,62已知集合已知集合2260Axxx，301xBxx，则，则AB（）A21xx B21xx C42xx D322xx3已知不等式已知不等式240 xax 的解集为的解集为,R则则a的取值范围是（的取值范围是（）A4,4 B4,4C,44,D,44,4解不等式组解不等式组2230115225xxxxx【详解】【详解】解：因为解：因为2230115225xxxxx，解，解2230 xx得得1x 或或3x ；解解1152xx，即，即11052xx，3025xx，得，得53x；解解25x，即，即525x，得，得73x；综上可得原不等式的解集为综上可得原不等式的解集为5,31,35 已知已知01)1(2|,04|222axaxxBxxxA.(1).若若AB，求实数，求实数a的取值集合的取值集合.(2).若若BA，求实数，求实数a的取值集合的取值集合.6已知集合已知集合2230Ax xx，22240,Bx xmxmxR mR（1）若）若0,3AB，求实数，求实数 m 的值；的值；（2）若）若RAC B，求实数，求实数 m 的取值范围的取值范围【详解】【详解】(1)解不等式解不等式2230 xx得得|13xx，即，即 1,3A ，解不等式解不等式22240(2)(2)0 xmxmxmxm，得，得22mxm，即，即2,2Bmm，因因0,3AB，则有，则有2023mm，解得，解得2m，所以实数所以实数 m 的值为的值为 2；(2)由由(1)知知(,2)(2,)RBmm，而，而RAB，则有则有21m 或或23m，解得，解得3m 或或5m，所以实数所以实数 m 的取值范围的取值范围(,3)(5,)U.7已知集合已知集合25|6 0Ax xx，2|Bx mx m.（1）若）若0m，全集，全集UAB，求，求UC B；（2）从条件和条件选择一个作为已知，求实数）从条件和条件选择一个作为已知，求实数m的取值范围的取值范围.条件：若条件：若ABA；条件：若；条件：若AB .如果选择条件条件分别解答，则按第一个解答计分如果选择条件条件分别解答，则按第一个解答计分.【详解】【详解】（1）因为）因为256 0 xx，所以，所以16x，所以，所以16Axx，又又20Bxx，所以，所以26UABxx，所以所以06UBxx；（2）若选：因为）若选：因为ABA，所以，所以BA，又因为又因为2mm恒成立，所以恒成立，所以B ，所以所以216mm，所以，所以16m，即即m的取值范围是的取值范围是16mm；若选：因为若选：因为2mm恒成立，所以恒成立，所以B ，又因为又因为AB ，1m 或或26m，所以所以1m 或或8m，即即m的取值范围是的取值范围是1m m 或或8m.8已知集合已知集合2|121,|3100Ax axaBx xx.（1）当）当3a 时，求时，求(C)RAB；（2）若）若ABB，求实数，求实数a的取值范围的取值范围.解：（解：（1）当）当3a 时，时，2|45,|3100|25AxxBx xxxx|4RAx x或或5x ()|24RABxx（2）ABBQU，AB，当当A时，时，121,2aaa 即，此时满足，此时满足AB；当当A 时，要使时，要使AB成立，成立，则需满足则需满足12112215aaaa ，23a 综上，实数综上，实数a的取值范围是的取值范围是(,39设全集为设全集为R，不等式，不等式307xx的解集为的解集为A，不等式，不等式46x的解集为的解集为B.（1）求）求AB；（2）求）求CABR.解：（解：（1）由题意可知，）由题意可知，303707xxxx且且70 x，解得解得37x，则，则37Axx，46x，即，即646x 解得解得210 x，则，则210Bxx，故故310ABxx；（2）根据题意，）根据题意，37Axx，210Bxx，则，则27ABxx，故故|2ABx x R或或7x.10设集合设集合11Axx，0Bx xm，1Cx xn（1）若）若AB，求实数，求实数m的范围；的范围；（2）若）若ACC，求实数，求实数n的范围的范围.【详解】【详解】（1）因为）因为1110 xxx，解得，解得01x，所以集合所以集合 01Axx，集合，集合Bx xm，集合，集合11Cx nxn，因为因为AB，所以，所以1m.故实数故实数m的范围为的范围为(,1)（2）若）若ACC，则，则AC，所以所以1 110nn ，解得，解得01n，即，即0,1n10.嵌套函数及应用10.嵌套函数及应用一基本原理：一基本原理：1.已知1.已知axxfaxxfxf),(),()(21，且，且02cbtt的两个具体的根，求的两个具体的根，求0)()(2cxbfxf根的个数，或者根据解的个数求参数范围.根的个数，或者根据解的个数求参数范围.解法剖析：换元，最终转化为解法剖析：换元，最终转化为)(xft 根的个数，这类问题由于一元二次方程的根最终可以求解，所以实际就转化成函数作图后找到交点个数，或者根据交点个数求参数即可根的个数，这类问题由于一元二次方程的根最终可以求解，所以实际就转化成函数作图后找到交点个数，或者根据交点个数求参数即可2.已知函数2.已知函数axxfaxxfxf),(),()(21，且知一元二次型方程，且知一元二次型方程0)()(2cxbfxf根的个数，求参数的取值范围.根的个数，求参数的取值范围.解法剖析：换元，最终转化为一元二次方程根的分布.解法剖析：换元，最终转化为一元二次方程根的分布.3.一元二次方程根的分布3.一元二次方程根的分布对一元二次方程对一元二次方程02cbxax（其中（其中0a）和二次函数）和二次函数0)(2cbxaxxf，有：，有：（1）方程（1）方程0)(xf的的2个根都比个根都比k小的充要条件是小的充要条件是.0)(,20kafkab，（2）方程（2）方程0)(xf的的2个根都比个根都比k大的充要条件是大的充要条件是.0)(,20kafkab，（3）方程（3）方程0)(xf的一根都在的一根都在),(nm内，另一根在内，另一根在),(qp内的充要条件是内的充要条件是.0)(,0)(,0)(,0)(qafpafnafmaf（4）方程（4）方程0)(xf的的2个根都在个根都在nm,内的充要条件是内的充要条件是.2,0)(,0)(0nabmnafmaf，（5）方程（5）方程0)(xf的一根比的一根比k大，一根比大，一根比k大，一根比大，一根比k小的充要条件是小的充要条件是0)(kaf.（6）方程（6）方程0)(xf的的2个根都在个根都在nm,外，且一根比外，且一根比m小，另一根比小，另一根比n大的充要条件是大的充要条件是.0)(,0)(nafmaf4.求解复合函数4.求解复合函数()yg f x零点问题的技巧:零点问题的技巧:（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出(),()f x g x的图像的图像（2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于（2）若已知零点个数求参数的范围,则先估计关于()f x的方程的方程()0g f x中中()f x解的个数，再根据个数与解的个数，再根据个数与()f x的图像特点,分配每个函数值的图像特点,分配每个函数值()if x被几个被几个x所对应,从而确定所对应,从而确定()if x的取值范围,进而决定参数的范围.的取值范围,进而决定参数的范围.二典例分析二典例分析题型 1.一元二次方程可求解题型 1.一元二次方程可求解例例 1已知函数已知函数 2ln,02,222,2,xxxf xf xx则方程则方程 23840f xf x在区间在区间0,10上的实根个数为（上的实根个数为（）A8B10C16D18解析：由解析：由 23840f xf x，可得，可得 2f x 或或 23f x .当当02x时，时，2ln2xf xx，则，则 2ln12xfxx，当，当20ex时，时，0fx，函数，函数 f x单调递减，当单调递减，当22ex时，时，()0fx，函数，函数 f x单调递增，所以当单调递增，所以当02x时，时，min222()e3ef xf .因为函数因为函数 f x在区间在区间*2,22nnnN上的图象是由上的图象是由 f x在在22,2nn上的图象上的图象先向右平移先向右平移 2 个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的个单位长度，再将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的 2 倍得到的，倍得到的，作出函数作出函数 f x在在0,10上的图象，如图所示：上的图象，如图所示：由图可知，方程由图可知，方程 2,23f xf x 在区间在区间0,10上根的个数分别为上根的个数分别为 10，6.故方程故方程 23840f xf x在区间在区间0,10上的实根个数为上的实根个数为 16.故选：故选：C例例 2.函数函数2e,0()4,0 xxf xxxx x，方程，方程 20fxtf x有有 6 个不同的实根，则实数个不同的实根，则实数t的取值范围为（的取值范围为（）Ae4t B4t Cet De4t 解析：由方程解析：由方程 20fxtf x得得 f xt或或 0f x，则方程则方程 20fxtf x有有 6 个不同的实根，等价于个不同的实根，等价于()yf x的图象与直线的图象与直线,0yt y有有 6 个不同的交点，当个不同的交点，当0 x 时，时，e()xf xx，则，则2(1)()xxefxx，令，令()0fx，得：，得：1x，当当(0,1)x时，时，()0fx，()f x单调递减；当单调递减；当(1,)x时，时，()0fx，()f x单调递增，单调递增，故故1x 时，时，()f x取极小值取极小值(1)ef，当，当0 x时，时，22()4(2)4f xxxx ，当，当(,2)x 时，时，()f x单调递增；当单调递增；当(2,0)x 时，时，()f x单调递减，且单调递减，且(4)(0)0,(2)4fff，根据以上信息，作出，根据以上信息，作出()f x的大致图象如图，的大致图象如图，由图可知，由图可知，()yf x的图象与直线的图象与直线0y 有有 2 个不同的交点，由题意，只需个不同的交点，由题意，只需()yf x的图象与直线的图象与直线yt有有 4 个不同的交点，则个不同的交点，则e4t，综上得：，综上得：t的取值范围是的取值范围是e4t 故选：故选：A题型 2.一元二次方程可不可求解题型 2.一元二次方程可不可求解例 3.已知函数例 3.已知函数 1221,0log,0 xxf xx x若关于若关于x的方程的方程 2220f xaf x有六个不相等的实数根，则实数有六个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）的取值范围是（）AA110,6BB111,6CC32,2DD32,2解析：令解析：令 f xt，则，则 222g ttat，作，作 f x的图象如图，的图象如图，设设 222g ttat的零点为的零点为1t、2t，由图可知，要满足题意，则需，由图可知，要满足题意，则需 222g ttat在在1,3上有两不等的零点，则上有两不等的零点，则 2131320311 60480agagta，解得，解得322a因此，实数因此，实数a的取值范围是的取值范围是32,2.故选：D.故选：D.例例 4已知函数已知函数2()exf xx，关于，关于x的方程的方程2()()10f xtf x 有三个不相等的实数根，则有三个不相等的实数根，则t的取值范围是（的取值范围是（）A22e4,4eB22e4,4eC22e4,4eD22e4,4e解析：解析：22e2exxfxxxx x，所以，所以 f x在区间在区间 ,2,0,0,fxf x 递增；在区间递增；在区间 2,0,0,fxf x递减递减.所以所以 f x有极大值有极大值24(2)ef，有极小值，有极小值(0)0f.结合结合 2e0 xf xx，可画出，可画出 f x的大致图象如下图所示的大致图象如下图所示.依题意，关于依题意，关于x的方程的方程2()()10f xtf x 有三个不相等的实数根，令有三个不相等的实数根，令 zf x，则，则210ztz，240t，方程，方程210ztz 有两个不相等的实数根，设为有两个不相等的实数根，设为1z，2z，则则1 210z z ，所以方程，所以方程210ztz 有一正根和一负根，有一正根和一负根，0zf x无解，当无解，当 zf x为正时，根据图象可知，为正时，根据图象可知，240()ef x，即方程，即方程210ztz 的正根在区间的正根在区间240,e上，上，令令 2()1,01g zztzg，故，故222244410eeegt ，解得，解得22e44et.故选：故选：C例 5已知函数例 5已知函数|1|2,0()21,0 xexf xxxx，若方程，若方程2()()20fxbf x有 8 个相异实根，则实数有 8 个相异实根，则实数b的取值范围的取值范围()AA(4,2)BB(4,2 2)CC(3,2)DD(3,2 2)解析：令解析：令()f xt，则方程，则方程2()()20fxbf x方程方程220tbt如图是函数如图是函数|1|2,0()21,0 xexf xxxx，的图象，根据图象可得：，的图象，根据图象可得：方程方程2()()20fxbf x有 8 个相异实根有 8 个相异实根方程方程220tbt有两个不等实数解有两个不等实数解1t，2t且且1t，2(1,2)t 可得可得22280112032 22220122bbbbb 故选：故选：D 例 6已知函数例 6已知函数()1xf xx，(1,)x ，若关于，若关于x的方程的方程2()|()|230fxm f xm有有三个不同的实数解，则三个不同的实数解，则m的取值范围是的取值范围是()AA3(2，0)BB3(2，4)3CC3(2，43DD4(3，0)解析：解析：1()11f xx，|()|yf x，(1,)x 的图象如下：的图象如下：设设|()|f xt，则，则2|()|()|230f xm f xm有三个不同的实数解，即为有三个不同的实数解，即为2230tmtm有两个根，若有两个根，若0t 时，代入时，代入2230tmtm得得32m ，即，即2302tt，另一根为，另一根为32只有只有一个交点，舍去，若一个在一个交点，舍去，若一个在(0,1)上，一个在上，一个在1，)上时，设上时，设2()23h ttmtm(0)230(1)123 0hmhmm，解得，解得3423m故选：故选：C例例 7已知函数已知函数()f x=1 ln,0,e,0.xxxxxx则关于则关于 x 的方程的方程2()()10()efxaf xaR 的解的个数的所有可能值为（的解的个数的所有可能值为（）A3 或或 4 或或 6B1 或或 3C4 或或 6D3解析：当解析：当0 x 时，时，1 ln()xf xx，则，则221(1ln)ln()xxfxxx，当，当01x时，时，()0fx，当，当1x 时，时，()0fx，所以，所以()f x在在(0,1)上递增，在上递增，在(1,)上递减，且当上递减，且当x 时，时，()0f x，当当0 x 时，时，()xf xxe，则，则()(1)xfxxe，当，当10 x时，时，()0fx，当，当1x 时，时，()0fx，所以，所以()f x在在(1,0上递增，在上递增，在(,1)上递减，且当上递减，且当x 时，时，()0f x，所以，所以()f x的大致图象如图所示，的大致图象如图所示，令令()f xt，则方程，则方程210etat 必有两个不等根，设两根分别为必有两个不等根，设两根分别为12,t t（不妨设（不妨设12tt），且），且121t te，当，当11te 时，则时，则21t，此时，此时2()f xt有有 1 个根，个根，1()f xt有有 2 个根，当个根，当11te 时，则时，则201t，此时，此时2()f xt有有 2 个根，个根，1()f xt有有 1 个根，当个根，当110te时，则时，则21t，此时此时2()f xt有有 0 个根，个根，1()f xt有有 3 个根，综上，对任意的个根，综上，对任意的aR，方程都有，方程都有 3 个根，个根，故选：故选：D题型 3.题型 3.kxff)(型方程型方程例 8.已知函数例 8.已知函数222,0()43,0 xx xf xxxx，,0()|,0 xexg xlnxx，则函数，则函数()()1h xg f x的的零点个数为零点个数为()个个A7 B8 C9 D10A7 B8 C9 D10解析：令解析：令()0h x 得得()1g f x，令，令()1g x 得得10 xex或或|10lnxx，解得，解得0 x 或或xe或或1xe()0f x或或()f xe或或1()f xe作出作出()f x的函数图象如图所示：的函数图象如图所示：由图象可知由图象可知()0f x 有4个解，有4个解，()f xe有两个解，有两个解，1()f xe有4个解，有4个解，()h x共有10个零共有10个零点故选：点故选：D 例 9已知例 9已知 f x是定义域为是定义域为R的单调函数，且对任意实数的单调函数，且对任意实数x，都有，都有 21213xff x，则，则2log 3f的值为（）的值为（）A0BA0B12CC45D1D1解析：根据题意，令解析：根据题意，令2()21xf xt，t为常数，可得为常数，可得1()3f t，且，且2()21xf xt，所以所以xt时有时有21()213tf tt，将，将1t 代入，等式成立，代入，等式成立，所以所以1t 是是1()3f t 的一个解，因为的一个解，因为()f t随随t的增大而增大，所以可以判断的增大而增大，所以可以判断()f t为增函数，为增函数，所以可知函数所以可知函数()f t有唯一解有唯一解1t，又因为，又因为 21213xff x，所以，所以2()121xf x，即，即2()121xf x ，所以，所以221log 313 12f.故选：B.故选：B.一般地，我们可得如下结论：若方程一般地，我们可得如下结论：若方程0)(xf有有)(Nmm个不同的实数根个不同的实数根mxxx,21，且方程且方程),1()(Nimixxfi有有)(Nnnii个不同的实数根，则函数个不同的实数根，则函数)(xffy 的零点共有的零点共有)(21mnnn个个.至此，我们就将以复合函数为背景的命题原理和常见手法做了展示.当然，限于篇幅，很多题目并未来得及展示，读者只需细心体会本节的内容，我觉得就可以基本上解决有关复合函数的问题了.至此，我们就将以复合函数为背景的命题原理和常见手法做了展示.当然，限于篇幅，很多题目并未来得及展示，读者只需细心体会本节的内容，我觉得就可以基本上解决有关复合函数的问题了.三习题演练三习题演练1设1设xR，若函数，若函数()f x为单调递增函数，且对任意实数为单调递增函数，且对任意实数x，都有，都有()1(xf f xeee是自然对数的底数），则方程是自然对数的底数），则方程()20f xx的解的个数为的解的个数为()个个A1B0C3D2A1B0C3D22（多选题）已知函数（多选题）已知函数 21exxxf x，则下列结论正确的是（，则下列结论正确的是（）A函数函数 f x只有两个极值点只有两个极值点B方程方程 f xk有且只有两个实根，则有且只有两个实根，则k的取值范围为的取值范围为e0k C方程方程 1ff x 共有共有 4 个根个根D若若,xt，2max5ef x，则，则t的最大值为的最大值为 2参考答案：1.解析：设解析：设()xtf xe，则，则()xf xet，则条件等价为，则条件等价为()1f te，令，令xt，则，则()1tf tete，函数函数()f x为单调递增函数，为单调递增函数，函数为一对一函数，解得函数为一对一函数，解得1t，()1xf xe，故，故()20f xx，即，即120 xex，解得：，解得：0 x，故选：，故选：A2.解析：对于2.解析：对于A，对，对()f x求导得：求导得：22(1)(2)()eexxxxxxfx ，当，当1x 或或2x 时，时，()0fx，当，当12x 时，时，()0fx，即函数，即函数()f x在在(,1)，(2,)上单调递减，在上单调递减，在(1,2)上单调递增，因此，函数上单调递增，因此，函数()f x在在=1x处取得极小值处取得极小值(1)ef ，在，在2x 处取得极大值处取得极大值25(2)ef，故选项，故选项A正确；正确；对于对于B，由选项，由选项A知，作出曲线知，作出曲线()yf x及直线及直线yk，如图，要使方程，如图，要使方程 f xk有且只有两个实根，观察图象得当有且只有两个实根，观察图象得当e0k 时，直线时，直线yk与曲线与曲线()yf x有有 2 个交点，个交点，所以方程所以方程()f xk有且只有两个实根，则有且只有两个实根，则k的取值范围为的取值范围为e0k，故选项，故选项B错误；错误；对于对于C，由，由()0f x 得：得：210 xx，解得，解得152x，令令()f xt，则，则()1f t ，结合图象方程，结合图象方程()1f t 有两解，有两解，11512t ，20t，所以，所以1()f xt或或2()f xt，因为，因为152e，所以，所以15e2 ，所以方程，所以方程1()f xt有两解；有两解；又因为又因为20t，结合图象可知：，结合图象可知：2()f xt也有两解，综上：方程也有两解，综上：方程 1ff x 共有共有 4 个根，故选项个根，故选项C正确；正确；对于对于D，因为，因为25(2)ef，而函数，而函数()f x在在(2,)上单调递减，因此当上单调递减，因此当,)xt时，时，max25()ef x，当且仅当，当且仅当 252,emtf m，所以，所以 t 的最大值为的最大值为 2，故选项，故选项D正确正确.故选：故选：CD11.求解分式函数值域的三种方法求解分式函数值域的三种方法一基本原理一基本原理我们把我们把rqxpxtnxmxybaxtnxmxytnxmxbaxydcxbaxy2222,（此处约定分母均不为零），统称为分式函数，其中后面三种由于含有二次项，称为二次分式函数（此处约定分母均不为零），统称为分式函数，其中后面三种由于含有二次项，称为二次分式函数.对于第一类的值域，通过转化为反比例函数结合单调性确定，而对于二次分式函数，通常有均值不等式法、判别式法、求导法来求这些函数的最值，下面通过例题详细分析这些方法是如何使用的对于第一类的值域，通过转化为反比例函数结合单调性确定，而对于二次分式函数，通常有均值不等式法、判别式法、求导法来求这些函数的最值，下面通过例题详细分析这些方法是如何使用的.1均值不等式与双钩函数方法1均值不等式与双钩函数方法1.1：1.1：dcxbaxy型函数的处理型函数的处理对于形如对于形如 axbfxcxd（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元（分子分母均为一次的分式）的函数，通过换元tcxd，可转化为，可转化为 ptqf tt的形式，再利用双钩函数的性质求解.的形式，再利用双钩函数的性质求解.1.2.1.2.2axbxcydxe型.型.形如形如2axbxcydxe可通过换元可通过换元tdxe将问题转化为将问题转化为2axbxcyx，然后进行可通过分离常数转化为，然后进行可通过分离常数转化为cyaxbx的形式，进而可依靠的形式，进而可依靠ayxx的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域，或者均值不等式.的图像（即前面研究过的双勾函数、伪勾函数来研究），再求出值域，或者均值不等式.1.3.1.3.2dxeyaxbxc：同时除以分子：同时除以分子：21yaxbxcdxe2 的模型.2 的模型.1.4.1.4.rqxpxedxrqxpxyrqxpxtnxmxy2222)(，这就转化成了 3 的类型.，这就转化成了 3 的类型.2判别式法：请见例题分析2判别式法：请见例题分析3导数法3导数法二典例分析二典例分析例 1.例 1.23,1,31xfxxx 解：令解：令1,2,4txt 1xt 2552tf ttt，进而可求出值域：，进而可求出值域：1 3,2 4y 例 2.函数例 2.函数211xxyx1x 的最小值为_.的最小值为_.解析：解法 1（均值不等式法）：令解析：解法 1（均值不等式法）：令1tx，则，则0t，1xt，所以所以221111111213ttttytttttt ，当且仅当当且仅当1tt，即，即1t 时取等号，此时时取等号，此时2x，从而函数，从而函数211xxyx1x 的最小值为 3.的最小值为 3.解法 2（判别式法）：将解法 2（判别式法）：将211xxyx变形为变形为211y xxx，整理得：，整理得：2110 xyxy，将式看出关于，将式看出关于x的一元二次方程，的一元二次方程，其判别式其判别式21410yy，解得：，解得：1y 或或3y，因为，因为1x，所以，所以10 x ，210 xx，从而，从而0y，故，故3y，注意到当注意到当2x 时，时，3y，所以函数，所以函数211xxyx1x 的最小值为 3.的最小值为 3.解法 3（求导法）：设解法 3（求导法）：设 211xxf xx1x，则，则 221x xfxx，所以，所以 02fxx，012fxx，从而，从而 f x在在1,2上上，在，在2,上上，故，故 min23f xf.例 3（2022 全国甲卷）已知例 3（2022 全国甲卷）已知ABC中，点中，点 D 在边在边 BC 上，上，120,2,2ADBADCDBD当当ACAB取得最小值时，取得最小值时，BD _解析:方法 1.余弦定理：设解析:方法 1.余弦定理：设220CDBDm，则在则在ABD中，中，22222cos42ABBDADBD ADADBmm，在在ACD中，中，22222cos444ACCDADCD ADADCmm，故可得：，故可得：22222244212 14441243424211mmmACmmABmmmmmm12442 33211mm当且仅当当且仅当311mm 即即31m 时，等号成立.所以当时，等号成立.所以当ACAB取最小值时，取最小值时，31m.（方法 2）判别式法：设（方法 2）判别式法：设BDx，则，则2CDx在在ABD中，中，22222cos42ABBDADBD ADADBxx，在在ACD中，中，22222cos444ACCDADCD ADADCxx，所以所以222244442ACxxABxx，记，记2244442xxtxx，则，则2442440t xt xt由方程有解得：由方程有解得：2424 4440ttt，即，即2840tt，解得：，解得：42 342 3t 所以所以min42 3t，此时，此时2314txt，所以当，所以当ACAB取最小值时，取最小值时，31x，即，即31BD.例 4.函数例 4.函数1ln1xxeye的值域为_的值域为_解析：所求函数为解析：所求函数为 ln f x的形式，所以求得的形式，所以求得11xxee的范围，再取对数即可。对的范围，再取对数即可。对11xxee进行变形可得：进行变形可得：12111xxxeee，从而将，从而将1xe 视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围解：定义域：解：定义域：100,xex 12111xxxeee 令令1xte，0,t 211,t 1ln0,1xxeye例 5.函数例 5.函数2215xyx的最大值为_.的最大值为_.解析：设解析：设21tx，则，则1t，221xt，且，且2221111454442xtyxttttt，当且仅当当且仅当4tt，即，即2t 时取等号，此时时取等号，此时3x ，所以函数，所以函数2215xyx的最大值为的最大值为14.例 6.函数例 6.函数2sin12sinxyx02x的最大值为_.的最大值为_.解析：设解析：设sintx，则，则212tyt，因为，因为02x，所以，所以01t，当当0t 时，时，0y；当；当01t 时，时，112141222ytttt，当且仅当，当且仅当12tt，即，即22t 时等等号，此时时等等号，此时4x，所以函数，所以函数2sin12sinxyx02x的最大值为的最大值为24.小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法：小结：总结一下我们所遇到的常见分式类型及一般处理方法：axbycxd：换元分离常数反比例函数模型：换元分离常数反比例函数模型 2axbxcydxe：换元分离常数：换元分离常数ayxx（双勾函数、伪勾函数）模型（双勾函数、伪勾函数）模型 2dxeyaxbxc：同时除以分子：同时除以分子：21yaxbxcdxe的模型的模型 22axbxcydxexf：分离常数的模型：分离常数的模型三习题演练三习题演练1.求函数1.求函数 234,3,51xxfxxx 的值域 的值域解：设解：设1tx，2,4t 2213145885ttttf ttttt min2 24 25yf t 211,411f tf t，4 25,11y 2：求函数2：求函数)2(233)(2xxxxxf的值域的值域解：解：2332xxf xx2,x设设20 xt t问题转化为求问题转化为求 22323110tth ttttt 的值域的值域由均值不等式由均值不等式 3h t 当当1t 时取等号，即时取等号，即 3,f x 3.函数函数22221xxyxx1x 的最小值为的最小值为_.解法解法 1（均值不等式法）：由题意，（均值不等式法）：由题意，22222112211111xxxxxxyxxxxxx，令，令1tx，则，则0t，1xt，且且2211211111131111121ttytttttttt ，当且仅当当且仅当1tt，即，即1t 时取等号，此时时取等号，此时2x，从而函数，从而函数22221xxyxx1x 的最小值为的最小值为23.解法解法 2（判别式法）：将（判别式法）：将22221xxyxx变形为变形为22122y xxxx，整理得：，整理得：21220yxy xy，当，当1y 时，将该方程看成关于时，将该方程看成关于 x 的一元二次方程，的一元二次方程，其判别式其判别式224120yyy，解得：，解得：223y1y，注意到当注意到当2x 时，时，23y，所以函数，所以函数22221xxyxx1x 的最小值为的最小值为23.解法解法 3（求导法）：设（求导法）：设 22221xxf xxx1x，则，则 2221x xfxxx，所以，所以 02fxx，012fxx，从而，从而 f x在在1,2上上，在，在2,上上，故，故 min223f xf.第 12 讲：三角函数的概念与恒等变换（一）第 12 讲：三角函数的概念与恒等变换（一）一任意角三角函数的定义一任意角三角函数的定义1.知识梳理.1.知识梳理.(1).任意角三角函数的第一定义(单位圆定义法):(2).任意角三角函数的第二定义(终边定义法):2.专题探究与方法总结.2.专题探究与方法总结.例 1.求67的正弦，余弦，正切值.例2.已知角的终边过点)0(),4,3(aaaP，求cossin2的值.例 3.利用三角函数的定义，计算下列三角函数的值 0 90 180 270 360sincostan3.自主练习.3.自主练习.1.已知角的终边在射线xy3上，求角的正弦，余弦，正切值.2.已知角的终边与单位圆交点为),(yx，且43xy.若角在第三象限，求角的正弦，余弦，正切值.3.计算下列式子的值.课本 20 页，A 组，第 3 题，第 4 题.二三角函数值的符号与诱导公式(一)二三角函数值的符号与诱导公式(一)1.知识梳理.1.知识梳理.(1).三角函数值的符号:(2).诱导公式(一):2.专题探究与方法总结.2.专题探究与方法总结.例 1.确定下列三角函数值的符号.(1).215cos340sin (2).)423tan(4sin (3).)100sin(lg)43cos(4).5tan4cos3sin例 2.计算下列三角函数的值.(1).405sin420cos(2).)2ln(cos)2lg(sin3.自主练习.3.自主练习.1.课本 21 页，习题 6，习题 7.2.课本 21 页，习题 9.3.若0cos,02sin,试确定角的终边所在象限.三三角函数线及应用.三三角函数线及应用.1.知识梳理.1.知识梳理.三角函数线2.专题探究与方法总结.2.专题探究与方法总结.例 1.做出下列各角的正弦线，余弦线，正切线.(1).3 (2).65 (3).34 (4)