1、 - 1 - 宜昌市部分示范高中教学协作体 2018年春期末联考 高一数学 （全卷满分： 150 分 考试用时： 120分钟） 一 . 选择题：本大题共 12 小题 ,每小题 5分 ,在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 . 1 若 a b， 则下列正确的是 ( ) A a2 b2 B ac2 bc2 C a3 b3 D ac bc 2 已知关于 x的不等式 (ax 1)(x 1)0的解集是 (， 1) ? ? 12， ， 则 a ( ) A 2 B 2 C 12 D.12 3在 ABC中， AB 5， BC 6， AC 8，则 ABC的形状是 ( ) A锐角三角形 B钝角三角
2、形 C直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 4 设 nS 是等差数列 na 的前 n 项和 ,若 1 3 5 3a a a? ? ? ,则 5S? A 5 B 7 C 9 D 11 5在 ABC中 ， 角 A， B， C所对 的边分别是 a， b， c， 若 acos B bcos A， 则 ABC是 ( ) A 等腰三角形 B直角三角形 C 等腰直角三角形 D等腰或直角三角 形 6. 等比数列 an中 ， Tn表示前 n项的积 ， 若 T5 1， 则 ( ) A a1 1 B a3 1 C a4 1 D a5 1 7设首项为 1，公比为 23 的等比数列 an的前 n项和为 Sn，则 ( )
3、 A Sn 2an 1 B Sn 3an 2 - 2 - C Sn 4 3an D Sn 3 2an 8 平面 ? 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 ? 的距离为 2 ，则此球的体积为（ ） A 43? B 63? C 6? D 46? 9. 一个 棱长为 1的 正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图 所示 ，则 该几何体的体积 为 ( ) A. 12 B. 13 C. 23 D. 56 10 在正四棱 锥（底面为正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心） ABCDP? 中，2?PA ，直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为 ?60 ， E 为 PC 的中点，
4、则异面直线 PA 与 BE 所成角为（ ） A. ?90 B. ?60 C. ?45 C. ?30 11 若两个正实数 x， y满足 1x 4y 1， 且不等式 x y4m2 3m有解 ， 则实数 m的取值范围是 ( ) A ( 1， 4) B ( ， 0)(3 ， ) C ( 4， 1) D ( ， 1)(4 ， ) 12九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四 个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥 PABC为鳖臑， PA 平面 ABC， PA AB 2，AC 4，三棱锥 PABC的四个顶点都在球 O的球面上，则球 O的表面积为 ( ) A 8 B 1
5、2 C 20 D 24 二、填空题：本大题共 4小题 ,每小题 5分 。 13数列 an中的前 n项和 Sn n2 2n， 则通项公式 an _ - 3 - 14若不等式 x2 ax 40的解集不是空集，则实数 a的取值范围是 _ 15. ， 是两个平面 ， m， n是两条直线，有下列四个命题： 如果 m n， m ， n ，那么 . 如果 m ， n ，那么 m n. 如果 ， m? ，那么 m . 如果 m n， ，那么 m与 所成的角和 n与 所成的角相等 其中 错误 的命题有 _ (填写 错误 命题的编号 ) 16. 在 ABC中 ， 内角 A， B， C所对的边分别是 a， b， c
6、， 若 b 3， B 3,则 2a+ c的最大值为 三 解答题：解答应写出文字说明 ,证明过程或演算步骤 （ 17题 10分，其余各题 12分 ） . 17 在 ABC? 中， 23 sin 2 2 sinBB? （ 1）求角 B 的值；（ 2）若 4a? ， 27b? ，求 c 的值 . 18 已知 na 是等差数列， ?nb 是 等比数列，且 11=2ab? ， 3522aa? ， 2 4 6bb b? . （ 1）数列 na 和 ?nb 的通项公式； （ 2）设 n n nc a b?，求数列 ?nc 前 n项和 . - 4 - 19 在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 是矩形
7、，侧棱 PA? 底面 ABCD ， ,EF分别是,PBPD 的中点， PA AD? . （ 1）求证： EF 平面 ABCD ； （ 2）求证：平面 AEF 平面 PCD 20某建筑公司用 8 000 万元购得一块空地 ， 计划在该地块上建造一栋至少 12 层、每层 4 000平方米的楼房经初步估计得知 ， 如果将楼房建为 x(x12) 层 ， 则每平方米的平均建筑费用为 Q(x) 3 000 50x(单位：元 ) （ 1）求 楼房每平方米的平均综合费用 f(x)的解析式 . （ 2） 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少 ， 该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用 最小值是多少？（注：平
8、均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用购地总费用建筑总面积 ） - 5 - 21 在 ABC中，内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知 cos2B cosB 1 cosAcosC. （ 1）求证： a， b， c成等比数列； （ 2）若 b 2，求 ABC的面积的最大值 22 已知数列 an满足： a1 3， an 1 n 1n an 2n 2. （ 1）证明：数列 ? ?ann 是等差数列； （ 2）证明： 1a1 1a2 1a3 ? 1an1. - 6 - 宜昌市部分示范高中教学协作体 2018年春期末联考 高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8
9、 9 10 11 12 答案 C B B A A B D A D C D C 13、 2n 3 14、 ( ， 4) (4， ) 15、 16、 27 17. 解：（ 1）因为 23 sin 2 2 sinBB? ， 所以 22 3 sin co s 2 sinB B B?. ? 2分 因为 0 B ?，所以 sin 0B? ， 所以 tan 3B? ，所以 3B ? . ? ? 5分 （ 2）由余弦定理可得 ? ? 2 222 7 4 2 4 c o s 3cc ? ? ? ? ? ?， ? 7分 所以 2 4 12 0cc? ? ? ，解得 6c? 或 2c? （舍） . 解得 6c? .
10、 ? 10 分 18.解： （ 1） 设等差数列 na 的公差为 d，等比数列 ?nb 的公比为 q 因为 3 5 42 22a a a? ? ?，所以 4 11 2 3ad? ? ? 解得 d=3 ? 2分 又因为 2 4 1 5 6 5b b b b b qb? ? ?，所以 1 2qb? ? 4分 所以 3 1, 2 , *nnna n b n N? ? ? ? ? 6分 （ 2） 由 （ ） 知， 3 1, 2 , *nnna n b n N? ? ? ? 因此 = 3 1 2 nn n nc a b n? ? ? ? 数列 na 前 n项和为 2(2 3 1) 322n n n n?
11、 ? ? ? 8分 数列 ?nb 的前 n项和为 12(1 2 ) 2212n n? ? ? 10分 - 7 - 所以，数列 ?nc 前 n 项和为 22113 3 42 2 , = 2 *nnn n n n nN? ? ? ? ? ?或 ， ?12分 19. 解：（ 1）证明：连接 BD ，因为 ,EF分别是 ,PBPD 的中点， 所以 EF BD . ? 2分 又因为 EF? 平面 ABCD ， BD? 平面 ABCD ， ? 4分 所以 EF 平面 ABCD . ? 6分 （ 2）证明：因为 PA AD? ， F 为 PD 中点 .所以 AF PD? . 又因为 ABCD 是矩形，所以
12、CD AD? . 因为 PA? 底面 ABCD ，所以 PA CD? . 因为 PA AD A?I ，所以 CD? 平面 PAD . ? 8分 因为 AF? 平面 PAD ，所以 CD AF? . 又因为 PD CD D?I ，所以 AF? 平面 PCD . ? 10 分 又因为 AF? 平面 AEF，所以平面 AEF 平面 PCD ? 12分 20. 解 （ 1） 依题意得 ， f(x) Q(x) 8 000 10 0004 000x 50x 20 000x 3 000(x12 ， x N*)， ? 5分 （ 2） f(x) 50x 20 000x 3 000 2 50x 20 000x 3
13、 000 5 000(元 ) ? 8分 当且仅当 50x 20 000x ， 即 x 20 时上式取 “ ” ? 10 分 因此 ， 当 x 20时 ， f(x)取得最小值 5 000(元 ) 所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少 ， 该楼房应建为 20层 ， 每平方米的平均综合费用最小值 为 5 000元 ? 12分 21.（ 1）证明：在 ABC中， cosB cos(A C) 由已知，得 (1 sin2B) cos(A C) 1 cosAcosC， ? 2分 sin2B (cosAcosC sinAsinC) cosAcosC， 化简，得 sin2B sinAsinC.由正弦定理，得
14、 b2 ac， a， b， c成等比数列 ? 6分 （ 2）由 (1)及题设条件，得 ac 4. - 8 - 则 cosB a2 c2 b22ac a2 c2 ac2ac 2ac ac2ac 12， ? 8分 当且仅当 a c时，等号成立 0B ， sinB 1 cos2B 1 ? ?12 2 32 . ? 10分 S ABC 12acsinB 124 32 3. ABC的面积的最大值为 3. ? 12 分 22.证明（ 1）由 an 1 n 1n an 2n 2，得 an 1n 1 ann 2， ? 2分 即 an 1n 1 ann 2， 数列 ? ?ann 是首项为 3，公差为 2的等差数列 ? 4分 （ 2）由 (1)知， ann 3 (n 1)2 2n 1， an n(2n 1)， ? 6分 1an 1n n 1n n 1n 1n 1， ? 9分 1a1 1a2 1a3 ? 1an? ?11 12 ? ?12 13 ? ?13 14 ? ? ?1n 1n 1 11 1n 11， 1a1 1a2 1a3 ? 1an1. ? 12分
