1、 - 1 - 2017 2018学年度第二学期期末检测试题 高 一 数 学 2018.06 （ 全卷 满分 160分，考试时间 120分钟 ） 注意事项： 1 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方 2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1 求值 : ? 7575 cossin 2 不等式 022 ?xx 的解 集 是 3 在 ABC? 中， 角 A、 B、 C所对的边分别为 cba, ， 若 30A?, 3a? ，则 Ccsin = 4 已知变量 ,
2、xy满足 200xyxy?，则 z y x?的最大值为 5 已知 nS 是数列 na 的前 n 项和，且满足 ),( *NnnnS n ? 2 则数列 na 通项公式?na 6 函数 ( ) 4 sin 3 cos 1f x x x? ? ?的最大值为 _ _ 7 在 ABC 中，若 432 :s in:s in:s in ?CBA ，则 cosC 的值为 8 已知数列 an的通项公式为)12)(12( 1 ? nnan，则 它的前 20 项的和为 9 已知正四棱柱的底面边长 为 cm2 ，侧面的对角线长是 cm7 ，则这个正四棱柱的体积 是 3cm 10 设 ， 为两个不重合的平面， l，
3、m， n为两两不重合的直线，给出下列四个命题： 若 m ， n ， m ， n ，则 ； 若 ， l ，则 l ； 若 l m， l n，则 m n； 若 l ， l ，则 . 其 中真命题的序号是 - 2 - 11 设nS,T分别是等差数列?na,b的前 项和 ,已知12 1? nnTSnn,*nN?, 则 ?44ba 12 如图，勘探队员 朝一座山行进，在前后 A、 B两处观察山顶 C的仰角分别是 ?30 和 ?45 ，两个观察点 A、 B之间的距离是 100米，则此山 CD的高度为 米 . 13 已知正实数 ,xy满足 xyyx ? ，则1213 ? y yx x的 最小值为 14 对于
4、 数列 nx ，若对任意 *Nn? ，都有 nnnn xxxx ? ? 112 成立，则称数列 nx 为 “ 增差数列 ” .设nnn nta 3 132 ? )( ，若数列 naaaa , ?654 （ *, Nnn ?4 ）是 “ 增差数列 ” ，则实数 t 的取值范围是 二、解答题： （ 本大题共 6 道题，计 90 分 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ） 15.（本小题 满分 14分） 如图 ,在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中 , 棱 1AA 、 1BB 、 1CC 上的中点分别为 P 、 Q 、 R . （ 1）求证： /PQ 平面 ABCD ;（
5、 2）求证：平面 PQR? 平面 11BBDD . - 3 - 16 （本小题满分 14分） . 已知 2cos( )4 10? ?， (0, )2? （ 1）求 sin? 的值； （ 2）若 31cos ? ， (0, )? ，求 cos( 2 )? 的值 . 17.（本小题 满分 15分） 已知等比数列 ?na 的公比 0q? ， 251 8aaa ? ，且 64 283 aa , 成等差数列 . ?1 求数列 ?na 的通项公式 ; ?2 记 2nnnb a? ，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 18.（本小题 满分 15分） 设 ABC? 的内角 ,ABC 的对边分别为 ,ab
6、c ， 其 外接圆的直径为 1, 2 2 2 2sin 2 sin sin Cb c A B? ? ? ?， 且 角 B 为钝角 . （ 1）求 BA? 的值； （ 2）求 222ac? 的取值范围 19（本小题 满分 16分） 共享汽车的出现为我们的出行带来了极大的便利，当然也为投资商带来了丰厚的利润。现某公司瞄准这一市场，准备投放共享汽车。该公司取得了在 10个省份投放共享汽车的经营权，计划前期一次性投入 616 10? 元 . 设在每 个省投放共享汽车的市的数量相同（假设每个省的市的数量足够多），每个市都投放 1000辆共享汽车 .由于各个市的多种因素的差异，在第 n 个市的每辆共享汽车
7、的管理成本为 ( 1000kn? )元 (其中 k 为常数 )经测算，若每 个省在 5 个市投放共享汽车 ，则该 公司每辆共享汽车 的平均综合 管理 费用为 1920元 .（本题中不考虑共享汽车本身的费用） 注：综合管理费用 前期 一次性投入的费用所有共享汽车的管理费用 ,平均综合管理费用综合管理费用共享汽车总数 . - 4 - （ 1） 求 k 的值； （ 2） 问要使该 公司每辆共享汽车 的平均综合 管理 费用最低， 则每个省有几个市投放共享汽车 ？此时每 辆共享汽车 的平均综合 管理 费用为多少元？ 20（本小题 满分 16分） 已知数列 an的前 n项和为 Sn,a4=2且 nnS n
8、 na?2 ,数列 ?nb 满足 nnanb 2 210 ? ? ?Nn , (1)证明：数列 an为等差数列； (2)是否存在正整数 p ， q (1pq? )，使得 qp bbb ,1 成等比数列，若存在，求出 ,pq的值；若不存 在，请说明理由 . - 5 - 2017 2018学年度第二学期期末检测试题 高一 数 学 参 考 答 案 一、填空题： 1.41 2. ),( 21? 3. 23 4.2 5. n2 6. 4 7. 41? 8. 4120 9. 34 10. 11. 138 12. 50350 ? 13. 625? 14. ? ?,152二、解答题： 15 证明：（ 1）在正
9、方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中 , 11/AA BB ， P 、 Q 分别为棱 1AA 、 1BB 的中点， /AP BQ ，四边形 ABQP 为平行四边形， /PQ AB ? 3分 /PQ AB ， PQ? 平面 ABCD ， AB? 平面 ABCD ， /PQ 平面 ABCD 。? 6分 （ 2）在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中 , 1BB AB? ，由 (1)知 /PQ AB ， 1BB PQ? 。 ? 9 分 同理可得 1BB QR? . 1BB PQ? ， 1BB QR? ， PQ QR Q? ， PQ? 平面 PQR ， QR? 平面 PQ
10、R ， 1BB? 平面 PQR 。 ? 12分 1BB? 平面 PQR ， 1BB? 平面 11BBDD ，平面 PQR? 平面 11BBDD 。? 14分 16.解：（ 1） 3(0 , ), ( , ),2 4 4 4? ? ? ? ? ? ?又 2cos( )4 10? ? 72sin ( )4 10? ? ?, ? 3分 sin sin ( ) 44? ? ? ?23s in ( ) c o s ( )2 4 4 5? ? ? ? ? .? 6分 （ 2） 34(0 , ) , s in , c o s ,2 5 5? ? ? ? ? ? .? 7分 31cos ? ， (0, )?
11、， ? 22sin 3? ， ? 4 2 7sin 2 , c o s 299? ? ?， ? ? 11 分 ? c o s ( 2 ) c o s c o s 2 s in s in 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 6 - 4 7 3 4 2()5 9 5 9? ? ? 12 2 2845? .? 14 分 17 解： ?1 251 8aaa ? ， 242 8aaa ? ， 4 8a? 2 分 又 64 283 aa , 成等差数列， 563 64 ?aa ， 6 32a? 4 分 2 64 4aq a?， 0q? ， 2q? 6 分 418 2 2nnna ? ? ? ?
12、7分 ?2 212 2 122 nn nnnnbna ? ? ? ? ? ? ?1 0 1 3 21 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2nnnT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 1 2 2 11 1 1 1 1 11 2 3 12 2 2 2 2 2nnnT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 10 分 _x
13、0001_ -_x0002_ - ： 1 0 1 2 11 1 1 1 12 2 2 2 2 2nnnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12 分 112121112212nnnTn? ? ? ? ? ? ? 2182 2 nnTn ? ? ? ? ? 15 分 18 解（ 1） 三角形 ABC 外接圆的直径为 1， ?由 2 2 2 2s in 2 s in s in Cb c A B? ? ? ?得 ? 2 2 2 22 sin sin Cb c a B? ? ? ? ? 3
14、分 ? 22 co s 2 sin sin Cbc A B? ? 2 cos 2 sinbc A bc B? ， ? cos sinAB? ?sin( ) sin2 AB? ? ? 6分 - 7 - 又因 B 为钝角，所以 22A? ? ? ? ， 所以 2 AB?，所以 2BA? . ? 8分 （ 2）由（ 1）知， ( ) ( 2 ) 2 022C A B A A? ? ? ? ? ? ? ? ?, 所以 (0, )4A ? ? 10分 于是 222ac? = 2 2 2 2 2 22 s i n s i n 2 s i n s i n ( 2 ) s i n c o s 22A C A
15、A A A? ? ? ? ? ?， 2 2 2 4 2 2 2132 s i n (1 2 s i n ) 4 s i n 2 s i n 1 4 ( s i n ) .44A A A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 13 分 因为 (0, )4A ? ，所以 2sin (0, )2A? ， 2 1sin (0, )2A? ， 因此 222ac? 的取值范围是 3 ,1)4 ? 15 分 19. 解：（ 1） 每 个省在 5 个市投放共享汽车 ， 则 所有 共享汽车 为 10 1000 5?辆 ， 所有 共享汽车管理费用总和为 ( 1 0 0 0 ) ( 2 1 0 0 0 )
16、( 3 1 0 0 0 ) ( 4 1 0 0 0 ) ( 5 1 0 0 0 ) 1 0 0 0 10k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (1 5 5 0 0 0 ) 1 0 0 0 0 ( 3 1 0 0 0 ) 5 0 0 0 0kk? ? ? ? ? ?， ? ? 4分 所以 16000000 + (3 1000) 50000 = 1 9 2 01 0 1 0 0 0 5k ?，解得 200k? 。 ? 7分 （ 2） 设 在每个省有 *()nn N? 个市投放共享汽车 ， 每 辆共享汽车的 平均综合 管理 费用为 ()fn，由题设可知 16000000 +
17、( 200 1000) ( 400 1000) + ( 200 1000) 1 0 0 0 1 0( ) = 1 0 1 0 0 0 nfn n? ? ? ? ? ? ? ? ? 10分 所以 ()=fn 1 6 0 0 1 6 0 01 0 0 1 1 0 0 2 1 0 0 1 1 0 0 1 9 0 0nnnn? ? ? ? ? ?， ? 13 分 当且仅当 1600100 =n n ， 即 4n? 时 ， 等号成立 ? 15 分 答：每个省有 4 个市投放共享汽车时 ， 每 辆共享汽车的 平均综合 管理 费用最低 ， 此时每 辆共享汽车的 平均综合 管理 费用为 1900元 ? 16分 20. 解 (1) 由已知得 2Sn= nan n , 故当 n=1时， 2S1=a1 1，即 a1
