1、 1 遂宁市高中 2020级第二学期期末教学水平监测 数 学 试 题 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间 120分钟。 第卷 （选择题，满分 60分） 注意事项： 1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。 2选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用 0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 3考试结束后，将答题卡收回。 一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60分。在每
2、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. sin cos12 12?的值是 A 1 B 12 C 14 D 18 2. 已知 0ab? ，则下列不等式正确的是 A 22ab? B 22ab? C 11ab? D 2ab b? 3. 已知等比数列 na 中， 5 1a? ， 9 16a? ，则 7a? A 4 B 4 C 4? D 16 4. 若向量 (1,1)a?r ， (1, 1)b?r ， ( 1,2)c?r ，则 cr 等于 A. 1322ab?rr B. 3122ab?rr C. 3122ab?rr D 1322ab?rr 5. 在 ABC? 中， A 60 ， 43a?
3、， 42b? ，则 B 等于 A 45 或 135 B 135 2 C 45 D 30 6. 在 ABC? 中，已知 2sin cos sinA B C? ，那么 ABC? 一定是 A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D正三角形 7. 不等式 2 3208kx kx? ? ?对任何实数 x 恒成立，则 k 的取值范围是 A. ( 3， 0 ) B. ( 3， 0 C. 3， 0 ) D. 3， 0 8. 莱茵德纸草书 (Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把 100磅 面包分给 5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的
4、12是较小 的三份之和，则最小 的1份为 A. 53磅 B. 119磅 C. 103磅 D. 209磅 9. 如图，为测得河对岸塔 AB 的高，先在河岸上选一点 C ，使 C 在塔底 B 的正东方向上， 此时 测得点 A 的仰角为 45? 再由点 C 沿北偏东15? 方向走 10m 到位置 D ，测得 45BDC? ? ? ，则塔 AB 的高是 A. 10m B. 10 2m C. 10 3m D. 10 6 m 10. 已知两个等差数列 na 和 nb 的前 n 项和分别为 nA 和 nB ，且7 453nnA nBn? ? ，则使得 nnab 为质数的 正整数 n 的 个数是 3 A 2
5、B 3 C 4 D 5 11. 如图，菱形 ABCD 的边长为 2, 60 ,AM? 为 DC 中点，若 N 为菱形内任意一点（含边界），则 AM AN?uuur uuur 的最大值为 A. 3 B. 23 C. 6 D. 9 12对于数列 na ，定义 11222n nn a a aA n? ? ? L为数列 na 的 “ 诚信 ” 值，已知某数列 na 的 “ 诚信 ” 值 12nnA += ,记数列 na kn- 的前 n 项和为 nS ，若 5nSS? 对任意的 nN? 恒成立，则实数 k 的取值范围为 A. 916 , 47 B. 16 7 , 73 C. 712 , 35 D. 1
6、2 5 , 52 第卷 （非选择题，满分 90分） 注意事项： 1请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第卷 答题卡上作答，不能答在此试卷上。 4 2 试卷中横线及框内注有“”的地方，是需要你在第卷答题卡上作答。 二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13. 不等式 2 01xx? ? 的解集为 . 14. 化简 t a n 2 0 t a n 2 5 t a n 2 0 t a n 2 5? ? ? ? ? ? ?g . 15. 已知 0, 0ab?，并且 1a ， 12 ， 1b 成等差数列，则 4ab? 的最小值为 . 16. 已知函数 ()fx的定义域为 D ,若对于 , , ,a
7、b c D?()fa、 ()fb、()fc分别为某个三角形的边长，则称 ()fx为 “ 三角形函数 ” 。 给出下列四个函数： ( ) 4 sinf x x? ； 23( ) c o s 2 s in 8f x x x? ? ?； 3 sin() 2 sin xfx x? ? ； (1 s i n ) (1 c o s )( ) , (0 , )s i n c o s 2xxf x x ? ? ?. 其中为 “ 三角形函数 ” 的数是 . 三、解答题 （本大题共 6小题，共 70 分解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 。 ） 17（本题满分 10分） 已知 iv , jv 是 互 相
8、垂 直 的 两 个 单 位 向 量 ， 2a i j?vvv ，32b i j? ?v vv. （ ）求 | 2 |ab? rr 的值； （ ）当 k 为何值时， ka b?rr 与 2ab?rr 共线 . 18（本题满分 12分） 5 已知 na 是等比数列， 1 2a? ，且 1a ， 3 1a? ， 4a 成等差数列 . （ ）求数列 na 的通项公式； （ ）设 nnb na= ，求数列 nb 的前 n项和 nS . 19（本题满分 12分） 已知函数 ? ? 2 13 c o s c o s ( ) s i n22f x x x x? ? ? ?. （ ）求 ?fx的单调递增区间；
9、（ ）若 04x ?， ? ? 33fx? ，求 cos2x 的值 . 20 （本题满分 12分） 建设生态文明是关系人民福祉、关乎民族未来的大计，是实现中国梦的重要内容 .习近平指出： “ 绿水青山就是金山银山 ” 。 某乡镇决定开垦荒地打造生态水果园区，其 调 研小组研究发现：一棵水果树的产量 w（单位：千克）与肥料费用 10x （单位：元）满足如下关系：? ?25 1 0 ( 0 2 )304 0 ( 2 5 )1xxx xx? ? ? ? ? ? ? ?。 此外，还需要投入其它成本（如施肥的人工费等） 20x 元 .已知这种水果的市场售价为 16 元 /千克，且市场需求始终供不应求 。
10、 记该棵水果树获得的利润为 ()fx（单位：元） 。 （ ）求 ()fx的函数关系式； （ ）当投入的肥料费用为多少时，该水果树获得的利润最大？最大利润是多少？ 6 21（本题满分 12分） 如图：在 ABC? 中， 2 2 2 23b a c ac? ? ? ，点 D 在线段 AC 上，且2AD DC? . （ ）若 2AB? ， 433BD? 求 BC 的长； （ ）若 2AC? ，求 DBC 的面积最大值 22（本题满分 12分） 已知数列 ?na 的前 n 项和为 ,nS 且 32,2nnnSa?*nN? . （ ）求证 12n na?为等比数列，并求出数列 ?na 的通项公式； （
11、）设数列 1nS?的前 n 项和为 nT ，是否存在正整数 ? ，对任意*,mn N? ，不等式 mn0TS?恒成立？若存在，求出 ? 的最小值，若不存在，请说明理由 . 遂宁市高中 2020 级第二学期期末教学水平监测 7 数学试题参考答案及评分意见 一、选择题 （ 51 2=60 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A D C A B D B A D C 二、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13.(2,1)- 14.1 15.9 16. 三、解答题（ 本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .） 17
12、（ 10 分） 解：（ 1）因为 ir ,jr 是互相垂直的单位向量，所以 221ij?rr , 0ij?rr 2 7 2a b i j? ? ?vr vr ; ? 2分 2 2 2| 2 | (7 2 ) 4 9 ( 2 ) 2 7 ( 2 ) 5 3a b i j i j i j? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?vv rv rvrr ? 5分 （ 2） ka b?rr 与 2ab?rr 共线， ( 2 )ka b a b? ? ?rrrr ， 又 ,abrr 不共线； ? 8分 , 2 1k ? ? ? 12k? ? 10分 【解法二】 解： 设 ar 与 br 的夹角为
13、? ，则由 ir ， jr 是互相垂直的单位向量，不妨设 ir ,jr 分别为平面直角坐标系中 x 轴、 y 轴方向上的单位向量，则8 ? ? ? ?1, 2 , 3, 2ab? ? ?rr ? 1 分 （ 1） ? ? ? ? ? ?2 1 , 2 2 3 , 2 7 , 2ab? ? ? ? ? ?rr 22| 2 | 7 ( 2 ) 5 3ab? ? ? ? ?rr ? 5分 （ 2） ? ? ? ? ? ?1 , 2 3 , 2 3 , 2 2k a b k k k? ? ? ? ? ? ?rr ， ? ? ? ? ? ?2 1 , 2 2 3 , 2 7 , 2ab? ? ? ? ?
14、 ?rr ka b?rr 与 2ab?rr 共 线 ， ? ? ? ?7 2 2 2 3kk? ? ? ? ? ? 8分 12k? ? 10 分 18（ 12 分） （ 1） 设 等比数列 na 的公比为 q ，由 1a ， 3 1a? ， 4a 成等差数列 3 1 42( 1)a a a? ? ?， ? 2分 即 342aa? 43 2aq a? 11 2nnna a q ?. ? 6分 （ 2） 由 2nnbn? 9 211 2 2 2 ( 1 ) 2 2nnnS n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L 2 3 12 1 2 2 2 ( 1 ) 2 2nnnS n n ? ? ?
15、? ? ? ? ? ? ?L ? 8分 两式作差： 2 3 12 2 2 2 2 2nnnnS S n ? ? ? ? ? ? ? ?L 12(1 2 ) 212n nn ? ? 10 分 1( 1)2 2nnSn += - + ?12分 19（ 12 分） 解 : （ 1 ） ? ? 2 13 c o s c o s ( ) s i n22f x x x x? ? ? ? 21 2 s in3 s in c o s 2 xxx ? 31sin 2 c o s 222xx? sin(2 )6x ? ? 3分 令 2 2 22 6 2k x k? ? ? ? ? ? ?， 63k x k? ?
16、? ? ? 5分 所 以 ， ?fx 的 单 调 递 增 区 间 为63kk?， kZ? . ? 6分 （ 2） ? ? 3s in 263f x x ? ? ?， 04x ?， 26 6 3x? ? ? ? ? ? 6cos 263x ?10 ? 9分 c o s 2 c o s 266xx ? ? ? 10 分 31c o s 2 s in 26 2 6 2xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6 3 1 33 2 2 3? ? ? ? 63 2 3 2 362? ? ?. ? 12分 20（ 12 分） （ 1 ）? ? ? ?1 6 2f x w x x x? ? ? ? ? ?28 0 3 0 1 6 0 0 24806 4 0 3 0 2 51=x x xx
