1、 1 福建师大附中 2017-2018 学年下 学期期 末 考试 高 一数学试卷 时间： 120 分钟 满分： 150 分 第 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题 ： 每小题 5 分，共 60 分 .在 每小题 给出的 四个选项 中 ， 只有一个选项是符合题目要求的 1.已知平面向量 ab与 的夹角为 3? ， 2| ?a ， 1| ?b ，则 ? |2| ba A 0 B 2 C 32 D 4 2.设等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，若 436?SS ，则 ?69SS A 43 B 45 C 49 D 413 3.在等比数列 ?na 中 , 3 15,aa是方程 2 6 8 0x
2、x? ? ? 的根，则 1179aaa 的值为 A 22 B 4 C 22? D 4? 4.已知 2tan ? ，则 ?2cos 的值为 A 54? B 53? C 53 D 54 5.在 ABC? 中，内角 CBA , 的对边分别是 cba, ，若 caB 2cos ? ，则 ABC? 一定是 A 等腰三角形 B 等边三角形 C 直角三角形 D 等腰直角三角形 6.已知等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， 0,0 1413 ? SS ， 则 当 nS 取得最 小 值时， n 的值为 A 5 B 6 C 7 D 8 7.在 ABC? 中，内角 CBA , 的对边分别是 cba, ，已知
3、 oCcb 60,20,10 ? ，则此三角形的解的情况是 2 A 无解 B 一解 C两 解 D 无法确定 8.设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 22,6 11 ? ? nn Saa ，则 ?11S A )13(5 10? B 1035? C 135 10? D 3312? 9.一货轮航行到 M 处，测得灯塔 S 在货轮的北偏东 15 方向 ，与灯塔 S 相距 20 n mile，随后货轮按北偏西 30 的方向航行 30 min 后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 A )63(20 ? n mile/h B )62(20 ? n mile/h C )26(20 ? n
4、mile/h D )36(20 ? n mile/h 10.已知等差数列 ?na 的 公 差 0d? ， 1 1a? ， 且 1 3 13,a a a 成等比数列， nS 为数列 ?na 的前 n 项和，若 162)1( ? nn Sam 对任意 *Nn? 恒成立， 则 实数 m 的最 大 值为 A 42 B 173 C 6 D 9 11.在 ABC? 中， 1,2,135 ? ACABBAC o ， D 是边 BC 上的一点（包括端点），则 BCAD? 的取值范围是 A 03 ，? B 221 ，? C 20， D 23 ，? 12.一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序
5、是让机器人以先前进3 步，然后再后退 2 步的规律移动 .如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动 (1步的距离为 1个单位长度 ).令 )(np 表示第 n 秒时机器人所在位置的坐标，且记0)0( ?p ,则下列结论中错误的是 A 3)3( ?p B 3)11( ?p C )2016()2017( pp ? D )2120()8201( pp ? 卷（非选择题，共 90 分） 二 、 填空题：每小题 5 分 ,共 30 分 . 13.数列 na 中， 21?a ， )(2 *1 Nnaa nnn ? ，则数列 na 的通项公式 ?na . 3 14. 在 ABC? 中， D 为边
6、 BC 的 中 点 ， 2?AB , 32?AC , oBAD 60? , 则AD? . 15.已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ， 21?a ， 63?S ，则 3a 的值为 . 16.已知 1312)4s in (,53)s in (),43(, ? ? ，则 ? )4cos( ? . 17.设正项等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 6321?S ，则17541 aa ? 的最小值为 . 18. 已知数列 na 满足： 11 12,2,nnna a aa a a a? ? ? *)( Nn?，若 3 3a? ，则 1a? . 三 、 解答题 :5 小题，共 60 分
7、.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 19（ 12 分） 设 nS 是数列 ?na 的前 n 项和，已知 *)(323 NnSa nn ? . (1)求数列 ?na 的通项公式； (2)令 nn anb )32( ? ，求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 20（ 12 分） 在 ABC? 中，内角 CBA , 的对边分别是 cba, ，已知 CB Aba bc sinsin sin? (1)求角 C ； (2)设 3?c ，求 ABC? 周长的最大值 21（ 12 分） 如图，已知小矩形花坛 ABCD 中， 3?AB 米 ， 2?AD 米， 现要将小矩形花 坛 扩 建成大矩形花坛
8、 AMPN ，使点 B 在 AM 上，点 D 在 AN 上，且对角线 MN 过点 C . 求 矩形 AMPN 面积 的 最小 值，并求出此时 矩形 AMPN 两邻边的长度 4 22（ 12 分） 如图，在 ABC? 中， 2?AB ， 31cos ?B ， 点 D 在线段 BC 上 (1)若 43?ADC ，求 AD 的长； (2)若 DCBD 2? ， ADC? 的面积为 234 ，求 CADBAD?sinsin 的值 23（ 12 分） 已知数列 na 满足 11?a ，1 11 4n na a? ?，其中 *Nn? (1)设 221n nb a? ?，求证：数列 nb 是等差数列 ，并求
9、 数列 na 的通项公式 ； (2)设 4 1nn ac n? ?，数列 2?nncc 的前 n 项和为 nT ， 是否存在正整数 k ，使得 kkTn 32 ? 对于 *Nn? 恒成立 ？ 若存在，求出 k 的最小值；若不存在，请说明 理由 5 福建师大附中 2017-2018 学年下 学期高 一数学 期 末 考试 评分标准 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A B A C B C C B D D 二、填空题： 13. n2 14. 2 15. 2 或 8 16. 6556? 17. 23 18.43 三、解答题 : 19.解： （ 1）
10、 323 ? nn Sa 当 1?n 时， 323 11 ? Sa , 得 31?a 2 分 当 2?n 时， 323 11- ? ?nn Sa -得 nnn aaa 233 1- ? ，即 13 ? nn aa 4 分 数列 ?na 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列 nna 3? . 6 分 （ 2） nn nb 3)32( ? nnn nnT 3)32(3)12(3735 12 ? ? 7 分 132 3)32(3)12(37353 ? nnn nnT ? - 得， 132 3)32()333(2352 ? nnn nT ? 9 分 11 3)32(31 )31(9215 ? ?
11、nn n 13)22(6 ? nn 11 分 33)1( 1 ? ?nn nT 12 分 20.解： （ 1）依题意得 cbaba bc ? ，即 abcba ? 222 3 分 212co s 222 ? ab cbaC 4 分 ?C0 6 32?C . 6 分 （ 2）方法一： Cabbac cos2222 ? abba ? 22 abba ? 2)( 22 )2()( baba ? 3)(43 2 ?ba ，即 2?ba 10 分 当且仅当 1?ba 时等号成立 11 分 ABC? 周长的最大值 为 32? . 12 分 方法二： 2s ins ins in ? CcBbAa)sin(s
12、in2 BAba ? BABA ? 3,3 ?又 , )3s i n (2s i nc o s3s i n2)3s i n (2 ? ? BBBBBba 9 分 30 ?B , 3233 ? ? B . 当 23 ?B 即 6?B 时， ba? 的最大值为 2 . 11 分 ABC? 周长的最大值 为 32? . 12 分 21.解 :（方法一）设 )2,3(, ? yxyANxAM ，矩形 AMPN 的面积 为 S ，则 xyS? NAMNDC ? xyy 32?，即23?y yx. )2(232 ? yy yS 7 分 当 2?y 时， 24)44(3)4242(3232 ? yyy yS
13、 10 分 当且仅当242 ? yy即 4?y 时，等号成立，解得 6?x . 11 分 当 46 ? ANAM ， 时， 24min?S . 12 分 （方法二）设 矩形 AMPN 的面积 为 S ， )20( ? ? BM C ,则 ?DCN 7 依题意得， ? tan3,tan2 ? DNBM )3tan2)(2tan3( ? ?S 7 分 2436212t a n4t a n912 ? ? 10 分 当且仅当 ? tan4tan9 ? 即 32tan ? 时等号成立， 11 分 此时 46 ? ANAM ， 当 46 ? ANAM ， 时， 24min?S . 12 分 22.解：（
14、1） 在 ABC? 中， 31cos ?B 3 22)31(1sin 2 ?B 4 分 在 ABD? 中， 由正弦定理得384s in3222s ins in ?A D BBABAD . 5 分 （ 2） DCBD 2? ,243,2 ? ? A D CABCA D CABD SSSS 7 分 BBCABSABC sin21 ? 6?BC ,242,s i n21,s i n21 ? A D CABDA D CABD SSC A DADACSBADADABS ABACCADBAD 2sinsin ? 9 分 在 ABC? 中， 24c o s222 ? BBCABBCABAC 11 分 242
15、s ins in ? ABACC ADBAD 12 分 23.解： （ 1）122211 212 21)411(2 212 212 2 11 ? ? nnnnnnnn aaaaaabb 212212 4 ?nnn aa a 8 21221 ?b 数列 nb 是 以 2 为首项， 2 为公差的 等差数列 . 4 分 nnbn 22)1(2 ? 5 分 12 22 ? nan，解得 nnan 2 1? 6 分 （ 2） 由 （ 1） 得 nn nncn 212 14 ? . )211(22222 ? nnnncc nn 7 分 )211()1111()5131()4121()311(2 ? nnnnTn ?3)2111211(2 ? nn 9 分 332 ? kk ，解得 2213?k 或 2213?k ， 10 分 0?k 2213?k . 42 21327 ? ，且 k 为 正整数 . 4?k ，且 *Nk? 存在正整数 k ，使得 kkTn 32 ? 对于 *Nn? 恒成立 ， k 的最小值为 4 . 12 分
