1、 - 1 - 百色市 2018年春季学期期末教学质量测试联考 高一年级数学 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12个小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.将一个直角三角形绕斜边所在直线旋转一周，所得的几何体为（ ） A一个圆台 B两个圆锥 C一个圆柱 D一个圆锥 2.已知直线 l 经过两点 ? ? ? ?1,2 , 2,1PQ? ，那么直线 l 的斜率为（ ） A 3? B 13? C 13 D 3 3.若 0ab?，则下列不等式关系中，不能成立的是（ ） A 11ab? B 11a b a? C 1122ab? D 2
2、2ab? 4.已知直线 l 经过点 ? ?2,1P? ，且斜率为 34? ，则直线 l 的方程为（ ） A 3 4 2 0xy? ? ? B 3 4 2 0xy? ? ? C.4 3 2 0xy? ? ? D 4 3 2 0xy? ? ? 5.等差数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 8 1026aa? ，则 11S? （ ） A 27 B 36 C.45 D 66 6.以两点 ? ?3, 1A? 和 ? ?5,5B 为直径端点的圆的方程是（ ） A ? ? ? ?221 + 2 25xy? ? ? B ? ? ? ?221 + 2 25xy? ? ? C. ? ? ? ?221 + 2
3、 100xy? ? ? D ? ? ? ?221 + 2 100xy? ? ? 7.在 ABC? 中，角 ,AB所对的边长分别为 ,ab，其中 ba? 且 ? ?2 sin 3a A B c?，则角 A等于（ ） A 3? B 3? 或 23? C.6? D 6? 或 56? 8.不等式 2 0x ax b? ? ? 的解集 为 ? ?23xx? ，则 ,ab的值为（ ） A 2, 3ab? B 2, 3ab? ? C. 5, 6ab? ? D 5, 6ab? ? - 2 - 9.正方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中 BB 与平面 1ACD 所成角的余弦值为（ ） A 23 B
4、 33 C.23 D 63 10.已知空间中点 ? ?,1,2Ax 和点 ? ?2,3,4B ，且 =2 3AB ，则实数 x 的值是（ ） A 4 或 0 B 4 C.3 或 4? D 3? 或 4 11.若变量 ,xy满足约束条件 30101xyxyy? ? ? ? ?，则 2z x y?的最大值为（ ） A 1 B 5 C.3 D 4 12.一个直三棱柱的三视图如图 1所示，其俯视图是一个顶角为 23? 的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表面积为（ ） A 2053? B 20? C. 25? D 255? 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5分， 满分 20 分，将答案填在答题
5、纸上） 13.已知 0, 0ab?，且 24ab?，那么 ab 的最大值等于 14.已知等比数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，若 4 12 83, 12S S S? ? ?，则 8S? 15.圆 22 2 4 3 0x y x y? ? ? ? ?的圆心到直线 10x ay? ? ? 的距离为 2 ，则 a? 16.如图 2，九章算术中记载了一个“折竹抵地”问题 :今有竹高一丈 ,末折抵地，去本三尺 ,问折者高几何 ?意思是 :有一根竹子原高一丈 (1丈 10? 尺 )，现被风折断，尖端落在地上，竹尖- 3 - 与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为 尺 三、解答题 （本大题共 6小题，
6、共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 在 ABC? 中，内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，且 1cos 2 cos 1B B? ?. （ 1）求角 B 的值； （ 2）求 7, 5b a c? ? ?，求 ABC? 的面积 . 18. 已知 nS 为等差数列 ?na 的前 n 项和，已知 242, 20SS? ? . （ 1）求数列 ?na 的通项公式和前 n 项和 nS ； （ 2）是否存在 n ，使 23, 2 ,n n nS S n S? 成等差数列，若存在，求出 n ，若不存在，说明理由 . 19. 如图 3，在直三棱柱 1 1 1ABC ABC?
7、中，1 1, 2B C B B B A C B C A A B C? ? ? ? ? ?，点 E 是1AB与 1AB 的交点， D 为 AC 中点 . （ 1）求证： 1 /BC 平面 1ABD ； （ 2）求证： 1AB? 平面 1ABC . 20. 设数列 ?na 的前 n 项和为 nS ， ? ?112 , 2 *nna a S n N? ? ? ?. （ 1）求数列 ?na 的通项公式； （ 2）令 ? ?22lognnba? ，求数列11nnbb?的前 n 项和 nT . - 4 - 21. 已知点 ? ?1,2A? 为圆心的圆与直线 1 : 2 7 0l x y? ? ?相切，过点
8、 ? ?2,0B? 的动直线 l 与圆A 相交于 ,MN两点， Q 是 MN 的中点 . （ 1）求圆 A 的方程； （ 2）当 2 19MN ? 时，求直线 l 的方程 . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 某县一中计划把一块边长为 20 米的等边 ABC? 的边角地开辟为植物新品种实验基地，图 4中DE 需要把基地分成面积相等的两部分， D 在 AB 上， E 在 AC 上 . （ 1）设 ? ?10 ,AD x x ED y? ? ?，使用 x 表示 y 的函数关系式； （ 2）如果 ED 是灌溉输水管道的位置，为了节约， ED 的位置应该在哪里？求出最小值 . - 5 - 百色市
9、2018年春季学期期末教学质量测试联考 高一年级数学参考答案 一、选择题 1-5: BCBAD 6-10:ACDAC 11、 12： CB 二、填空题 13.2 14. 9 15.0 16.4.55 三、解答题 17.（ 1） ABC? 中，内角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，且 1cos 2 cos 1B B? ? 则 22 cos cos 1 0BB? ? ? 整理得 ? ? ?2 co s 1 co s 1 0BB? ? ? 解得 1cos 2B? （ 1? 舍去） ? ?0,B ? ，则 3B ? （ 2）利用余弦定理 2 2 2 2 cosb a c ac B? ? ? 由于 7
10、, 5b a c? ? ? 解得 6ac? 所以 1 3 3sin22ABCS ac B? ?. 18.（ 1）设等差数列 ?na 的公差为 d ， 242, 20SS? ? 112 2 , 4 6 2 0a d a d? ? ? ? ? 联立解得 1 4, 6ad? ? ? ?4 6 1 1 0 6na n n? ? ? ? ? ? ? 24 1 0 6 732n nnS n n? ? ? （ 2）假设存在 n ，使 23, 2 ,n n nS S n S? 成等差数列， - 6 - 则 ? ?2322n n nS n S S? ? ? ? ? ? ? 2 22 7 2 3 2 2 7 3n
11、 n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ?27 3 3 3nn? ? ? ? 解得 5n? . 因为存在 5n? ，使 23, 2 ,n n nS S n S? 成等差数列 . 19.证明：（ 1）连结 ED ， 直棱柱 1 1 1ABC ABC? 中， E 为 1AB与 1AB 的交点， E 为 1AB 中点， D 为 AC 中点， 1/ED BC 又 ED? 平面 1ABD ， 1BC? 平面 1ABD 1 /BC 平面 1ABD . （ 2）由 12B A C B C A A B C? ? ? ? ?知 ,AB BC AB BC? 1BB BC? ， 四边形 11ABBA 是
12、菱形， 11AB AB? . 1BB? 平面 ABC ， BC? 平面 ABC 1BC BB? 1AB BB B?, 1,ABBB? 平面 11ABBA ， BC? 平面 11ABBA - 7 - 1AB? 平面 11ABBA ， 1BC AB? 1BC AB B?， 1,BC AB? 平面 1ABC ， 1AB? 平面 1ABC 20.（ 1） ? ?1 2 , *nna S n N? ? ? ?， 当 1n? 时， 212aS? ，即 2 4a? ， 当 2n? 时， 12nnaS? ， 由 -可得 11n n n na a S S? ? ?， 即 1 2nnaa? ? ， 22 2 2
13、, 2nnna a n? ? ? ?， 当 1n? 时， 11 22a ?，满足上式， ? ?2*nna n N? （ 2）由（ 1）得 ? ?22log 2nnb a n?， ? ?11 1 1 1 14 1 4 1nnb b n n n n? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 11 .4 2 2 3 1nT nn? ? ? ? ? ? ? ?1114 1 4 4nnn? ? ? 21.（ 1）由题意知 ? ?1,2A? 到直线 2 7 0xy? ? ? 的距离为圆 A 半径 R ， 1 4 7 255R ? ? ?圆 A 的方程为 ? ? ? ?221 2 20xy? ? ? ?. （
14、2）设线段 MN 的中点为 Q ，连结 QA ， - 8 - 则由 垂径定理可知 90MQA? ? ? ， 且 19MQ? ，在 Rt AMQ? 中由勾股定理已知 22 1AQ AM M Q? ? ? 当动直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 2x? 时，显然满足题意； 当动直线 l 的斜率存在时，设动直线的方程为： ? ?2y k x? 由 ? ?1,2A? 到动直线 l 的距离为 1得222 31 41kk kk? ? ? ? ? ? 3 4 6 0xy? ? ? 或 2x? 为所求方程 22.（ 1） ABC? 的 边长是 20 米， D 在 AB 上， 则 11 0 2 0 , 2A D E A B Cx S S? ? ? 21 1 3s in 6 0 2 02 2 4x A E? ? ? ? ? 故 200AE x? ， 在 ADE? 中，由余弦定理得： ? ?42 24 1 0 2 0 0 1 0 2 0y x xx? ? ? ? ? （ 2）若 DE 作为输水管道，则需求 y 的最小值 4224 1 0 2 0 0 4 0 0 2 0 0yx x? ? ? ? ?10 2? 当且仅当 4224 10x x?即 10 2x? 米时“ =”成立 DE 的位置应该在 10 2 , 10 2AD AE?米 . 且 DE 的最小值为 102 米 .
