1、 1 2016 2017 学年第二学期期末考试 高一数学试卷（理科） 考试时间： 120 分钟 试卷满分： 150 分 第卷（选择题，共 60 分） 一、 选择题 :（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） （ 1）从集合 2,1,2?A 中随机选取一个数记为 a ，从集合 2,1,2?B 中随机选取一个数记为 b ，则直线 0? aybx 不经过第四象限的概率为 A. 31 B. 32 C. 92 D. 94 （ 2） 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 A. 46， 45， 53 B.47， 45， 56
2、 C.46， 45， 56 D.45， 47， 53 （ 3） 已知向量 )s in,(co s),3,2( ? ba ，若 ba? ，则 ?tan A. 32? B. 32 C. 23? D. 23 （ 4）已知 曲线 xyC sin1 ?： ，曲线 )32cos(2 ? xyC ：，则 A. 曲线 1C 横坐标伸长到原来的 2倍，再向左平移 6? 个单位 . B. 曲线 1C 横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移 12? 个单位 . C. 曲线 1C 横坐标 缩短 到原来的 21 倍，再向左平移 6? 个单位 . D. 曲线 1C 横坐标 缩短 到原来的 21 倍，再向左平移 12? 个
3、单位 . （ 5） 已知等比数列 na 中，且 0?na .若 881 ?aa ，则 ? 822212 lo g.lo glo g aaa A. 4 B. 8 C. 12 D. 6（ 6）已知等差数列 na 满足 3,3 75 ? aa ，则数 列 | na 的 前 10 项和为 A. 15 B. 75 C. 45 D. 60 （ 7） 在 ABC? 中， O 为 ABC? 的外 心，且满足 2| ?AB ,则 ? ABBOABAO2 A. 1 B. 2 C. 4 D. 0 1 2 5 2 0 2 3 3 3 1 2 4 4 8 9 4 5 5 5 7 7 8 8 5 0 0 1 1 4 7
4、9 6 1 7 8 2 开 始1S?结 束1i?1000?S?i输 出2ii?*S Si?是否（ 8） 已知函数 .,0,s inc o s)( Rxxxxf ? ? 若曲线 )(xfy? 与直线 1?y 的交点中， 相邻交点的距离的最小值为 43? ，则 )(xfy? 的最小正周期为 A. 2? B . ? C. ?2 D . ?3 （ 9） 已知程序框图如右，则输出的 i 的 值为 A. 7 B. 9 C. 11 D. 13 (10) 在 ABC? 中， cba, 分别为角 CBA , 的对边， cbA 2212cos2 ? ，则ABC? 的形状为 A. 正三角形 B. 直角三角形 C.
5、等腰直角三角形 D. 等腰三角形 （ 11）已知等差数列 , nn ba 的前 n 项和为 nnTS, ，且32 12? nnTSnn.若数列 na 为递增数列，则使0?na 的最大正整数 n 为 A. 6 B. 7 C. 5 D. 4 (12)已知函数 0,c o ss in3)( ? ? xxxf . 若函数 ?fx在区 间 ? ?,? 内单调递增 ,且函数?fx的图像关于直线 x ? 对称 ,则 ? 的值为 A. 315?B. 33? C. 321? D. 339? 第 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13.已知 2tan ? ，则
6、 _c o ss ins in 2 ? ? . 14.在 ABC 中， : : 2:3:4abc? ，则 sin2sinAC? 15.在矩形 ABCD 中， 43 ? ADAB ， ,点 P 在以 A 为圆心且与 BD 相切的圆上，且在矩形 ABCD内，若 ? ? 则,ADABAP 的最大值为 _. 16.如果数列 na 的前 n 项和 为 nnS 21? ，则 ._?na 三、解答题 17.设函数 2( ) s in ( ) 2 c o s 13 6 6xxfx ? ? ? ? ? ? (1)求 ()fx的最小正周期 ; 3 (2)若函数 ()y gx? 与 ()y f x? 的图像关于直线
7、 1x? 对称，求当 30, 2x? 时 ()y gx? 的最大值 18.已知数列 na 是首项为正数的等差数列，数列 11?nnaa的前 n 项和为 1?nn （ 1） 求数列 na 的通项公式 ; （ 2） 设 nnn ab 2)12( ? ，求数列 bn 的前 n 项和 nT . 19.在锐 角 ABC? 中，内角 CBA 、 的对边为 cba 、 .且 BccoBaCb sco s2co s ? （ 1） 求角 B 的值 ; （ 2） 设 ?A ,求函数 ? 2c o s3)4(s in2)( 2 ?f 的取值范围 . 20.2016 年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系
8、，某站对其中一位经常 上春晚的演员上春晚次数与受 关注度进行了统计，得到如下数据： 上春晚次数 x（单位：次） 2 4 6 8 10 粉丝数量 y （单位：万人） 10 20 40 80 100 （ ）若该演员的粉丝数量 y 与上春晚次数 x 满足线性回归方程，试求回归方程 y bx a?，并就此分析：该演 员上春晚 11 次时的粉丝数量； （ ）若用 ( 1,2,3,4,5)iiy ix ? 表示统计数据时粉丝的 “ 即时均值 ” （精确到整数）： （ 1）求这 5 次统计数据时粉丝的 “ 即时均值 ” 的方差； （ 2）从 “ 即时均值 ” 中任选 2 组，求这 两 组数据之和不超过 15
9、 的概率 . 参考公式： ? ? ? ? ?1122211,nni i i iiinniiiix y n x y x x y yb a y b xx n x x x? ? ? ? ? ? ?用 最 小 二 乘 法 求 线 性 回 归 方 程 系 数 公 式 ：21.在 ABC? 中，内角 CBA 、 的对边为 cba 、 .且 cbaCA ? 2coscos （ 1） 求角 A 的值 ; （ 2）设 2?a ,求 ABC? 面积的取值范围 . 4 22.已知数列 na ， bn 满足 )(),(2 11 ? ? Nnbbaa nnnn （ 1）若 ,32,11 ? nba n 求数列 na 的
10、通项公式 ; （ 2）若 恒成立，对一切 ? Nnaba nnnn ? 212,2,61 求实数 ? 取值范围 .高一数学 2016 2017 学年 第二学期期末试卷（理科）答案 一、 选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D C A D C B B D D B A B 二、 填空题 13. 52 14.87 15. 1 16. ? ? 2,21,31 nnann三、 解答题 5 17.（ 1） 3c o s3c o s213s in23)( xxxxf ? ? 3cos233sin23 xx ? ? )33sin3 ? ? x（ .4 分 所以函数的最小正周期为 63
11、2 ?T .5 分 （ 2） 因为 函数 ()y gx? 与 ()y f x? 的图像关于直线 1x? 对称， 所以 )33s in (33)2(3s in 3)2()( xxxfxg ? ? .7 分 因为 30, 2x? , 3 3 6 3x? ? ? ? ? ?所 以.9 分 所以 23,21)33sin ( ? x?， 23,23)( ?xg 。 。 10 分18.（ 1）由已知得?6232112113221322121aaaaaaaaaa.2 分 又因为na为等差数列，得 nadadada daan ? ? ? 116)2)( 2) 11111（.5 分 （ 2）因为 nnn ab
12、2)12( ? ，所以 nn 2)12(bn ? .6 分 所以 nnn nnT 2)12(2)12(.272523 1321 ? ? 1432 2)12(2)12(.2725232 ? nnn nnT .8 分 所以 1321 2)12(22.222223 ? nnn nT 1112 2)12(22)12(21 )21(226 ? ? ? nnn nn.11 分 所以 12)12(2 ? nn nT .12 分 19.（ 1）在锐角 ABC? 中，因为 BccoBaCb sco s2co s ? 所以 BC c oBCB ss inc o ss in A2c o ss in ? .2分 所以
13、 ABACB s inc o ss in2)s in ( ? ，所以 22cos ?B .4分 .所以 4?B .5分 6 （ 2） 因为 4?B ，所以 ACCA ? 43,43 ? 所以 .6分 因为 ABC? 为锐角三角形，所以 24,24202430?即AAA.8分 所以 ? 2c o s3)4(s in2)( 2 ?f1)32s i n (22c o s32s i n12c o s3)22c o s (1 ? ? .9分 因为 3232624 ? ? .10分 3,2()(1)32(s in21 ? ? f.12分 20.（ ） 经计算可得： 6x? ， 50y? ， .1 分 51
14、 1980iii xy? ? ，5 21 220ii x? ? ， .3 分 所以5 15 2215125iiiiix y x ybxx?， 22a y b x? ? ? ?， 从而得回归直线方程 12 22yx?.5 分 当 11x? 时， 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 0yx? ? ? ? ? ? 该演员上春晚 11 次时的粉丝数量 110 万人 .6 分 () 经计算可知 ,这五组数据对应的 “ 即时均值 ” 分别为 :5,5,7,10,10， .7 分 (1)这五组 “ 即时均值 ” 的平均数为 :7.4,.8 分 则方差为 2 2 2 21 2 ( 5 7 . 4
15、) (7 7 . 4 ) 2 (1 0 7 . 4 ) 5 . 0 45S ? ? ? ? ? ? ? ? ?； .9 分 (2)这五组 “ 即时均值 ” 可以记为 1 2 1 2, , , ,A A B C C,从 “ 即时均值 ” 中任选 2 组 ,选法共 有 )( 2,1AA )( ,1BA )( 1,1CA )( 2,1CA )( ,2BA )( 1,2CA )( 2,2CA ),( 1CB ),( 2CB )( 2,1CC 共 10 种情况 ， 其中不超过 15 的情况有 7 种 .故所求概率为 : 710P? .12 分 21.（ 1）因为 ，cbaCA ? 2coscos 所以
16、CB ACA sinsin2 sincoscos ? .2分 7 CACABA c o ssi nsi nc o ssi nc o s2 ?BCABA s in)s in (s inc o s2 ? , 3,21co s ? AA所以 .5分 （ 2）3 34s i ns i ns i n3A,2 ? CcBbAaa ，由正弦定理得：?.6分 所以CcBb s in3 34,s in3 34 ?所以CBAbcS s ins in3 34s in21 ?.8分 33)62s in (3 3232s ins in3 34 ? ? ? BBBS.10分 1,21()62s i n ()67,6(62
17、),320( ? ? BBB ，?30( ，?S .12分 22.（ 1）由 ,32,11 ? nba n 可得 4)(2 11 ? ? nnnn bbaa .2分 数列 an 为以 1为首项， 4为公差的等差数列，所以 34 ? nan .4分 （ 2）由 nnba 2,61 ? 可得 1n11 2)(2 ? ? nnnn bbaa .6分 ，212 2?aa ，323 2?aa .2434 ，?aa ，nnn aa 21 ? ? 累加得 222.222 14321n ? ?nnn aaa ，.8分 恒成立，对一切要使 ? Nna nn ? 212 即 恒成立对于一切 ? ? Nnnnn 11 2 121,122 ? .10分 432 121 1 ? ? ?为递减数列，所以n? .12分
