1、 - 1 - 2017-2018 学年下期期末考试高一数学试题卷 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 0sin585 的值为（ ） A 22 B 22? C 32? D 32 2.已知向量 a? ( 3,5? ),b? (5,3 ),则 a 与 b （ ） A垂直 B不垂直也不平行 C平行且同向 D平行 且反向 3.下列各式中，值为 32 的是（ ） A 002sin15 cos15 B 2 0 2 0cos 15 sin 15? C 202sin 15 1? D 2 0
2、 2 0sin 15 cos 15? 4.某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了 11 场比赛，他们所有比赛得分的情况用如下图所示的茎叶图表示，则运动员甲得分的中位数，乙得分的平均数分 别为（ ） A 19， 13 B 13， 19 C.19， 18 D 18， 19 5.从装有大小材质完全相同的 3 个红球和 3 个黑球的不透明口袋中，随机摸出两个小球，则两个小球同色的概率是（ ） A 23 B 25 C. 12 D 13 6.函数 c o s s i n c o s s i n4 4 4 4y x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?在一个周期内的图像是（ ） - 2 - A B C. D 7.设单位向量 1e ， 2e 的夹角为 60，则向量 1234ee? 与向量 1e 的夹角的余弦值是（ ） A 34 B 537 C.253737 D 53737 8.如果下面程序框图运行的结果 1320s? ，那么判断框中应填入（ ） A 10?k? B 10?k? C. 11?k? D 11?k? 9.甲、乙两人各自在 400 米长的直线型跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50 米的概率是（ ） A 18 B 1136 C.14 D 1564
4、 10.已知函数 ( ) sin(2 )f x x ?的图像关于直线 6x ? 对称，则 ? 可能取值是（ ） A 2? B 12? C.6? D 6? 11.如图所示，点 A ， B ， C 是圆 O 上的三点，线段 OC 与线段 AB 交于圈内一点 P ，若3OC mOA mOB?， AP AB? ，则 ? （ ） - 3 - A 56 B 45 C.34 D 25 12.已知平面上的两个向量 OA 和 OB 满足 cosOA ? ， sinOB ? ， 0, 2? ，0OA OB?，若向量 ( , )O C O A O B R? ? ? ? ? ?，且2 2 2 2 1( 2 1 ) c
5、 o s 2 ( 2 1 ) s in 4? ? ? ? ? ? ?，则 OC 的最大值是（ ） A 32 B 34 C.35 D 37 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.已知 tan 4? ， tan( ) 3?，则 tan( )? 14.已知样本 7， 8， 9， x ， y 的平均数是 8，标 准差是 2 ，则 xy? 15.已知 ABC? 的三边长 4AC? ， 3BC? ， 5AB? ， P 为 AB 边上的任意一点，则()CP BC BA? 的最小值为 16.将函数 ( ) 2 sin(2 )6f x x ?的图像向左平移
6、 12? 个单位，再向下平移 2 个单位，得到 ()gx的图像，若 12( ) ( ) 16g x g x ? ，且 1x ， 2 2 ,2 x ? ，则 122xx? 的 最大值为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知向量 (1,2)a? ， ( 3,4)b? . （ I）求向量 ab? 与向量 b 夹角的余弦值 （ II）若 ()a a b? ， 求实数 ? 的值 . 18.某同学用“五点法”画函数 ( ) s in ( ) ( 0 , )2f x A x B ? ? ? ? ? ? ? ?在某一个周期内的图像时，列表
7、并填入了部分数据，如下表： - 4 - （ I）请将上表数据补充完整，并直接写出函数 ()fx的解析式 （ II）将 ()fx的图像上所有点向左平行移动 6? 个单位长度，得到 ()y gx? 的图像，求()y gx? 的图像离 y 轴最近的对称中心 . 19. 某商场经营某种商品，在某周内获纯利 y （元）与该周每天销售这种商品数 x 之间的一组数据关系如表： （ I）画出散点图； （ II）求纯利 y 与每天销售件数 x 之间的回归直线方程； （ III）估计当每天销售的件数为 12 件时，每周内获得的纯利为多少？ 附注： 7 21 280ii x? ?， 7 21 ( ) 27ii xx
8、? ?， 71 3076iii xy? ?， 7 21 34992ii y? ?，1122211( ) ( )()nni i i iiinniiiix x y y x y n x ybx x x n x? ? ?， a y bx? . 20. 在矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 边上的中点，点 F 在边 CD 上 . - 5 - （ I）若点 F 是 CD 上靠近 C 的四等分点，设 EF AB AD?，求 ?的值； （ II）若 3AB? ， 4BC? ，当 2AE BE? 时，求 DF 的长 . 21.某中学举行了数学测试，并从中随机抽取了 60 名学生的成绩 （满分 100 分）作为
9、样本，其中成绩不低于 80 分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示 . （ I）若该所中学共有 3000 名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数； （ II）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于 70 分的学生中随机抽取 6 人，再从中抽取 3 人，试求恰好抽中 1 名优秀生的概率 . 22.已知函数 2 1( ) s in 3 s in c o s 2f x x x x? ? ? ? ?（ 0? ）， ()y f x? 的图象与直线 2y?相交，且两相邻交点之间的距离为 x . （ I）求函数 ()fx的解析式； （ II）已知 ,2x ? ?，求函数 ()
10、fx的值域； （ III）求函数 ()fx的单调区间并判断其单调性 . - 6 - 试卷答案 一、选择题 1-5:BABCB 6-10:BDADC 11、 12： CB 二、填空题 13.113 14.60 15. 16- 16.5512? 三、解答题 17.解：（ 1） ? ?4, 2ab? ? ? ，设 ab? 与 a 的夹角为 ? ， 所以 ? ? ? 2 2 2 24 ( 3 ) ( 2 ) 4425c o s5( 32 ) 4()aab bbb? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， （ 2） ? ?1 3 , 2 4ab? ? ? ? ? ? ? ?a a b? ， ?
11、 ? 0a a b? ? ? ? ? ? ?1 1 3 2 2 4 0? ? ? ? ? ? ?，解得 1? 18. 解： (1) 根据表中已知数据，解得 5A ， 2? ， 6? . 数据补全如下表： x? 0 2? ? 32? 2? x 12? 3? 712? 56? 1312? ()Asin x B?2 7 2 3 2 且函数表达式为 f(x)=5sin 2 +26x ?. - 7 - (2) 由 (1) 知 f(x)=5sin 2 +26x ?， 因此 g ( x ) = 5 s in 2 + 2 = 5 s in 2 + 26 6 6xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
12、 ? ?. 因为 y sinx 的对称中心为 ( ,2)k? ， kZ? ，令 2x+ =k6? ? ， kZ? ，解得 x= 2 12k? ， kZ? ， 即 ()y gx 图象的对称中心为 222kx ?（ - ， ） ， kZ? ，其中离 y 轴最近的对称中心为 ( ,2)12? . 19.解： (1) （ 2） 712723 4 5 6 7 8 96756 59 63 71 79 80 82707307 6 7 6 70 1364.9280 7 36 2813670 6 40. 928iiiiixyx y n x ybx n xa y b x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?回归方程为： 4.9 40.9yx? ? （ 3）当 12x? 时 4 .9 1 2 4 0 .9 9 9 .7y? ? ? ? ? 所以估计当每天销售的简述为 12 件时，周内获得的纯利润为 99.7 元 . 20.解：（ 1） EF EC CF=+，因为 E 是 BC 边的中点，点 F 是 CD 上靠近 C 的四等分点，所y1 2 3 4 5 6 7x050607080908 9- 8 - 以 1124E F E C C F B C C D? ? ? ?，在矩形 ABCD 中， ,BC AD CD AB= = -， 所以， 1142EF AB
14、AD? ? ?，即 14? ， 12? ，则 18? ? . （ 2）设 DF mDC= ( 0)m ，则 ( 1)CF m DC=- ， 1122A E A B B C A B A D= + = +， ( 1 ) ( 1 )B F C F B C m D C B C m A B A D= + = - + = - +， 又 0AB AD?， 所以 1( ) ( m 1 ) 2A E B F A B A D A B A D? ? ? ? ?221( 1) 2m B AD= - + 9( 1) 8 2m= - + =， 解得 13m= ，所以 DF 的长为 1 21.解：（ 1）由直方图可知，样本
15、中数据落在 ? ?80,100 的频率为 0.2 0.1 0.3?，则估计全校这次考试中优秀生人数为 3000 0.3 900? （ 2）由分层抽样知识可知，成绩在 ? ?70,80 ， ? ?80,90 ， ? ?90,100 间分别抽取了 3 人， 2 人，1 人 记成绩在 ? ?70,80 的 3 人为 a ， b ， c ，成绩在 ? ?80,90 的 2 人为 d ， e ，成绩在 ? ?90,100 的1 人为 f ，则从这 6 人中抽取 3 人的所有可能结果有 ( , , )abc ， ( , , )abd ， ( , , )abe ， ( , , )abf ，( , , )ac
16、d ， ( , , )ace ， ( , , )acf ， ( , , )ade ， ( , , )ad f ， ( , , )aef ， ( , , )bcd ， (, , )bce ， ( , , )bcf ，( , , )bde ， ( , , )bd f ， ( , , )bef ， ( , , )cd f ， (, , )cef ， ( , , )def 共 20 种， 其中恰好抽中 1 名优秀生的结果有 ( , , )abd ， ( , , )bcd ， (, , )cad ， ( , , )abe ， (, , )bce (, , )cae ，( , , )abf ， ( , ,
17、 )bcf ， ( , , )caf 共 9 种， 所以恰好抽中 1 名优秀生的概率为 920P? 22.解：（ 1）? ? 2 1 1 c o s 2 x 3 1s i n 3 2 1 s i n ( 2 )2 2 2 2 6f x x s i n x c o s x s i n x x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?与直线 2y? 的图象的两相邻交点之间的距离为 ? ，则 T ? ，所以 1? ? ? 1 sin 2 x 6fx ? ? ? ? - 9 - （ 2） 7 1 3 1 , 2 , s i n ( 2 ) 1 , 2 6 6 6 6 2x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?fx? 的值域是 1 ,22 （ 3）令 2 2 2 ( )2 6 2k x x k x k Z? ? ? ? ? ? ? ?，则 ()36kx x kx k Z? ? ? ? ?， 所以函数 ?fx的单调减区间为 ? ? k- , k kZ63?令 32 2 2 ( ) ,2 6 2k x x k x k Z? ? ? ? ? ? ? ?则 2 ()63kx x kx k Z? ? ? ? ?， 所以函
