1、 - 1 - 齐齐哈尔市 2017 2018 学年度高一下学期期末考试 数学试卷 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 ? ?2 1A x x?， ? ?0B x x?， 则 AB? （ ） A ? ?1,0? B ? ?1,1? C ? ?1,0? D ? ?0,1 2.张丘建算经中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第 2 天开始 ，每天比前一天多织相同量的布 ， 已知第一天织 5 尺布 ， 一个月 （按 30 天计 ）共织 390 尺布 ，则
2、从第 2 天起每天比前一天多织布 （ ） A 12 尺 B 815 尺 C 1631 尺 D 1629 尺 3.若三点 ? ?2,3A 、 ? ?3,Ba、 ? ?4,Cb共线 ， 则有 （ ） A 3a? ， 5b? B 10ab? ? ? C 23ab? D 20ab? 4.已知角 ? 为第二象限角 ， 且 3sin 5? ， 则 tan2? （ ） A 247? B 247 C. 34? D 34 5.在 ABC? 中 ， 若 sin sinAB? ， 则 A 与 B 的关系为 （ ） A AB? B AB? C. 2AB? D 2AB? 6.在等比数列 ?na 中 ， 已知 3 3a?
3、 ， 3 5 7 21a a a? ? ? ， 则 5a? （ ） A 6 B 9 C.12 D 18 7.已知 2ab?， 2ab? ? ， 若 ? ? ? ?a b a tb? ? ? ， 则实数 t 的值为（ ） A 0 B 1 C. 1? D 2 8.函数 ? ? ? ?s in 0 , 0 ,2f x A x A ? ? ? ? ? ? ? ?的部分图象如图所示 ， 若12,63xx ?， 且 ? ? ? ? ?1 2 1 2f x f x x x?，则 ? 12f x x?（ ） - 2 - A 1 B 32 C. 22 D 12 9.若函数 ? ?2 9 0x txyxx?有两个
4、零点 ， 则实数 t 的取值范围是 （ ） A ? ?3,? ? B ? ?,3? C.? ?6,? ? D ? ?,6? 10.已知直三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中 ， 120ABC?， 2AB? ， 1 1BC CC?， 则异面直线1AB 与 1BC 所成角的余弦值为 （ ） A 32 B 105 C. 155 D 33 11.若等边 ABC? 的边长为 3 ， N 为 AB 的中点 ， 且 AB 上一点 M 满足 ：? ?0 , 0C M x C A y C B x y? ? ? ?， 则当 91xy? 取得最小值时 ， CM CN?（ ） A 214 B 6 C.274 D 1
5、52 12.已知函数 ? ?21352 , 1,41lo g , 1 .4x x xfxxx? ? ? ? ? ?若 ? ? ? ?2 sing x a x x R? ? ?对任意的12,x x R? ， 都有 ? ? ? ?12f x g x? ， 则实数 a 的取值范围为 （ ） A 9,4? ?B 7,4?C. 79,44? ? ? ? ? ? ? ?D 79,44?第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.函数 sin cosy x x?的最大值 是 - 3 - 14.设 ?fx是定义在 R 上的周期为 3 的周期函数 ， 如图表示该
6、函数在区间 ? ?2,1? 上的图象 ，则 ? ? ? ?2018 2019ff? 15.设 x ， y 满足约束条件 0,3 3 0,0,x y bxyxy? ? ? ? ?若目标函数 12z x y? ? 的最大值为 2 ， 则实数b? 16.已知三棱锥 P ABC? 中 ， 顶点 P 在底面的射影为 H .给出下列命题： 若 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直 ， 则 H 为 ABC? 的垂心 ； 若 PA 、 PB 、 PC 两两互相垂直 ， 则 ABC? 有可能为钝角三角形 ； 若 AC BC? ， 且 H 与 A 重合 ， 则三棱锥 P ABC? 的各个面都是直角三角形 ； 若
7、 AC BC? ， 且 H 为 AB 边的中点 ， 则 PA PB PC?. 其中正确命题的序号是 （把你认为正确的序号都填上） 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 已知直线 : 2 4 0l x y? ? ? 及点 ? ?1, 2A ? . （ 1）求经过点 A ， 且与直线 l 平行的直线方程 ； （ 2）求经过点 A ， 且倾斜角为直线 l 的倾斜角的 2 倍的直线方程 . 18. 已知 ?na 是公比为正数的等比数列 ， 1 2a? ， 2312aa?. （ 1）求数列 ?na 的通项公式 ； （ 2）设 ? ?211
8、 lognnb na? ?， 求数列 ?nb 的前 n 项和 nT . 19. 如图，三棱柱 1 1 1ABC ABC? 中 ， 点 D 为 BC 的中点 . （ 1）求证： 1 /AB 平面 1ACD ； （ 2）若底面 ABC 为正三角形 ， 2AB? ， 1 3AA? ， 侧面 11AACC? 底面 ABC ，- 4 - 1 2cos 3A AC?， 求四棱锥 1 1 1B AACC? 的体积 . 20. 在 ABC? 中 ， 角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ， 若 cosaA、 cosbB、 cosaC成等差数列 . （ 1）求 B 角的大小 ； （ 2）若
9、5ac? ， 7b? ，求 ABC? 的面积 . 21. 如图，四棱锥 P ABCD? 中 ， PA? 底面 ABCD ， AB BC? ， /AB CD ，2CD BC AB?. （ 1）若 4? ， 求证 ： 平面 PBD? 平面 PAC ； （ 2）若 2? ， 且 PA AB? ， 2PE EB? ， 求直线 DE 和平面 ABCD 所成角的正切值 . 22.平面内动点 P 到两定点 A ， B 距离之比为常数 ? ?0, 1? ? ?， 则动点 P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆 .现已知定点 ? ?0,0A 、 ? ?6,0B? ， 圆心为 C ， （ 1）求满足上述定义的圆 C 的方程，
10、并指出圆心 C 的坐标和半径 ； （ 2）若 12? ， 且经过点 ? ?4,2Q 的直线 l 交圆 C 于 M ， N 两点 ， 当 CMN? 的面积最大时 ，求直线 l 的方程 . - 5 - 试卷答案 一、选择题 1-5:DDCAB 6-10:ACBDB 11、 12： CD 二填空题： 13. 2 14. 2 15.1 16. 三解答题： 17.（答案一）解：（ 1）设直线 l 的斜率为 1k ，则 21?k 因为所求直线与 l 平行，所以所求直线的斜率 21?k ， 又所求直线经过点 (1, 2)?A ，所以所求直线方程为 052 ? yx 5 分 （ 2）依题意，所求直线的斜率 3
11、41221 ? kkk 又所求直线经过点 (1, 2)?A ，所以所求直线方程 为 01034 ? yx 10 分 17.（答案二）解：（ 1）设直线 l 的斜率为 1k ，则1 12k? 因为所求直线与 l 平行，所以所求直线的斜率 12k? ， 又所求直线经过点 (1, 2)?A ，所以所求直线方程为 12 ( 1)2yx? ? ? ，即 2 3 0xy? ? ? （ 2）依题意，所求直线的斜率 12 2112 ( )2421131 ( )2kkk? ? ? ? ? 又所求直线经过点 (1, 2)?A ，所以所求直线方程为 42 ( 1)3yx? ? ? ，即 4 3 2 0xy? ? ?
12、 10分 18.解：（ 1）设数列 na 的公比为 q ， 依题意，有 12112, 12,aaq aq? ? 整理得 2 60qq? ? ? ，解得 3q? （舍去）， 2q? 所以数列 na 的通项公式为 2nna? （ 2）由（ 1）知 22log log 2nnan? - 6 - 所以21 1 1 1(1 lo g ) ( 1 ) 1nnb n a n n n n? ? ? ? ? ? 所以 1 1 1 1 1 1 111 2 2 3 1 1 1n nT n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?L 19. 证明：（ 1）连结 1CA ，设 11C C E?AAI ，
13、连结 DE 因为 11CCAA 为平行四边形，所以 E 为 1CA 中点，从而 DE 为 1BC A 的中位线，所以 DE 1BA 因为 DF? 平面 1CDA ， 1B?A 平面 1CDA ，所以 1BA 平面 1CDA （ 2）因为侧面 11CC?AA 底面 BCA ，所以正 BC A 的高就是点 B 到平面 11CCAA 的距离 , 也就是四棱锥 1 1 1B CC?AA 的高，由条件得 3h? 因为1 2cos 3C?AA，所以1 5sin 3C?AA，所以四棱锥 1 1 1B CC?AA 的底面积11 5s i n 3 2 2 53S C C? ? ? ? ? ? ? ?A A A
14、A A 所以四棱锥 1 1 1B CC?AA 的体积 1 1 2 1 52 5 33 3 3V S h? ? ? ? ? 20. 解：（ 1）因为 cosc A ， cosbB， cosaC成等差数列，所以 c o s c o s 2 c o sc a C b B?A ， 由正弦定理得 s in c o s s in c o s 2 s in c o sC C B B?AA ，即 sin 2sin cosB B B? ， 因为 sin 0B? ，所以 1cos 2B? ，又 (0, )B ? ，所以 3B? （ 2）由余弦定理： 2 2 2 2 cosb a c ac B? ? ? ，得 22
15、 1722a c ac? ? ? ?，即 2( ) 3 7a c ac? ? ? 因为 5ac? ，所以 6ac? 所以 1 1 3 3 3s in 62 2 2 2BCS a c B? ? ? ? ? A 21. 证明：（ 1）设 C BD O?A I ，若 4? ，则 tan tan 2D BC C B? ? ? ?A，从而 OBC BC A ， 所以 90BOC BC? ? ? ? ?A ，即 C BD?A 因为 P?A 底面 BCDA ，所以 P BD?A 又 PC?A A AI ，所以 BD? 平面 PCA ，因为 BD? 平面 PBD ，所以平面 PBD? 平面 PCA （ 2）取
16、点 F ，使 2F FB?Auuur uur ，连 EF ，则 EF PA ，连 DF 因为 P?A 底面 BCDA ，所以 EF? 底面 BCDA ，所以 EDF? 就是直线 DE 与平面 BCDA 所- 7 - 成的角 因为 2? ，所以 P B BC?AA ，所以 13EF PA? ， 23F PA?A ， 2D PA?A ， 135DF? ? ?A ，在 DF A 中，根据余弦定理， 2 2 2 2 c o sD F D F D F D F? ? ? ? ? ?A A A A A， 2 2 24 2 2 3 4( 2 2 2 ( ) )9 3 2 9D F P P? ? ? ? ? ?
17、 ? ?AA得，解得 343DF P? A 所以 34ta n34EFED F DF? ? ?所以当 2? 时，直线 DE 与平面 BCDA 所成角的正切值为3434 22. 解：（ 1）设动点 (, )Pxy ，则 2222( 6)xy ? ? ， 整理得 2222 1 2 3 6 011x y x? ? ? ?，圆心 226( ,0)1C ?，半径2222 2 21 1 2 3 6 6( ) 42 1 1 | 1 |r ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 2）解法一：在（ 1）的结果中，令 12? ，则得圆 C的方程为 22 4 12 0x y x? ? ? ?，即 22( 2)
18、 16xy? ? ? . 设 MCN ?，则 CMN 的面积 211s in 1 6 s in 8 s in22Sr ? ? ? ? ? ? 当 90?时， CMN 的面积取得最大值 8 此时，直线 l 的斜率存在，设其方程为 2 ( 4)( 1)y k x k? ? ? ?，圆心 C 到直线 l 的距离2| 2 2 | 221kd k? ，整理得 2 2 1 0kk? ? ? ，解得 1k? 所以直线 l 的方程为 60xy? ? ? （ 2）解法二：在（ 1）的结果中，令 12? ，则得圆 C 的方程为 22 4 12 0x y x? ? ? ?，即22( 2) 16xy? ? ? （ ）当 直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 4x? ，可得弦长 | | 4 3MN? ，所以1 2 4 3 4 32C M NS ? ? ? ? （ ）
