1、 - 1 - 无锡市普通高中 2018 年春学期期终教学质量抽测建议卷 高一数学 第 卷（共 70 分） 一、填空题（本大题共 14 小题，每题 5 分，满分 70 分，将答案填在答题纸上） 1.某校有老师 200 人 ， 男学生 1200人 ， 女学生 1000人 .现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为 120人的样本进行某项调查 ， 则应抽取的男学生人数为 2.等比数列 ?na 中 ， 若 2 1a? ， 5 8a? ， 则 7a? 3.在 ABC? 中 ， 3A ? ， 3BC? ， 6AB? ， 则 C? 4.如图，有四根木棒穿过一堵墙，两人分别站在墙的左、右两边，各选该边的一
2、根木棒 .若每边每根木棒被选中的机会相等，则两人选到同一根木棒的概率为 5.已知某人连续 5 次射击的环数分别是 8 ， 9 ， 10， x ， 8 ， 若这组数据的平均数是 9 ， 则这组数据的方差为 6.如图所示是一算法的伪代码，执行此算法时，输出的结果是 7.已知实数 x ， y 满足 , 2,0,yxxyx?则 93xyz?的最大值是 - 2 - 8.在等差数列 ?na 中 ， 0na? ， 4 5a? ， 则2619aa? 的最小值为 9.设 ? ? ? ?1 1 1 11 2 2 3 3 4 1nS n Nnn ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 且1 56nnSS? ?， 则
3、n? 10.如图所示，墙上挂有一块边长为 a 的正六边形木板 ， 它的六个角的空白部分都是以正六边形的顶点为圆心 ， 半径为 2a 的扇形面 ， 某人向此板投 镖一次，假设一定能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则他击中阴影部分的概率是 11.在 ABC? 中 ， 已知 3C ? ， BC a? ， AC b? ， 且 a ， b 是方程 2 13 40 0xx? ? ?的两根 ， 则 AB 的长度为 12.在 R 上定义运算 a ? ?1b a b? ， 若存在 ? ?1,2x? ， 使不等式 ? ?mx? ? ? 4mx?成立 ， 则实数 m 的取值范围为 13.设数列 ?na
4、的前 n 项和为 nS ， ? ?2 2n nnS n N ?， 若 对任意实数 ? ?0,1? ， 总存在自然数 k ， 使得当 nk? 时 ， 不等式 ? ? ? ?2 12 3 2 4 3nnn a a? ? ? ? ? ? ?恒成立 ， 则 k 的最小值是 14.已知 0x? ， 0y? ， 则2 2 2 2629xy xyx y x y?的最大值是 第 卷（共 90 分） 二、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 15. 某校有 500 名学生参加学校组织的 “数学竞赛集训队”选拔考试，现从中等可能抽出 n 名学生的成绩作为样本
5、， 制成如图频率分布表 ： 分组 频数 频率 - 3 - ? ?85,95 0.025 ? ?95,105 0.050 ? ?105,115 0.200 ? ?115,125 12 0.300 ? ?125,135 0.275 ? ?135,145 4 ? ?145,155 0.050 合计 n 1 （ 1）求 n 的值 ， 并根据题中信息 估计总体平均数是多少 ？ （ 2）若成绩不低于 135分的同学能参加 “数学竞赛集训队”，试估计该校大约多少名学生能参加“数学竞赛集训队”？ 16. 在 ABC? 中 ， 角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ， 若 3cos sin3
6、a b C c B? . （ 1）求角 B 的值 ； （ 2）若 ABC? 的面积 53S? ， 5a? ， 求 b 的值 . 17. 已知数列 ?na 是首项为 12 ， 公比为 ? ?1qq? 的等比数列 ， 且 1a ，232a， 32a 成等差数列 . （ 1）求 数列 ?na 的通项公式 ； （ 2）若 nnb na? ， 记数列 ?nb 的前 n 项和为 nT ， 求满足不等式 16 30 0nTn? ? ?的最大正整数 n 的值 . 18. 如图所示， ABC? 是临江公园内一个 等腰三角形 形状的小湖 （假设湖岸是笔直的），其中两腰 60CA CB?米 ， 2cos 3CAB?
7、.为了给市民营造良好的休闲环境， 公园管理处决定在湖岸 AC ， AB 上分别取点 E ， F （异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF （宽度不计），使得三角形 AEF 和四边形 BCEF 的周长 相等 . （ 1）若水上观光通 道的端点 E 为线段 AC 的三等分点 （靠近点 C ），求此时水上观光通道 EF的长度 ； - 4 - （ 2）当 AE 为多长时 ， 观光通道 EF 的长度最短 ？ 并求出其最短长度 . 19. 已知函数 ? ? ? ?222 3 , 0f x x m x m m R m? ? ? ? ?. （ 1）解关于 x 的不等式 ? ? 22f x mx
8、m x?； （ 2）若当 ? ?1,4xm? 时 ， ? ? 4f x m? 恒成立 ， 求实数 m 的取值范围 . 20. 已知等差数列 ?na 的前 n 项的和为 nS ， 公差 0d? ， 若 4a ， 6a ， 10a 成等比数列 ， 7 14S? ；数列 ?nb 满足 ： 对于任意的 nN? ， 等式 1 2 1 3 2 1 2n n n nb a b a b a b a n? ? ? ? ? ?都成立 . （ 1）求数列 ?na 的通项公式 ； （ 2）证明：； 数列 ?nb 是等比数列 ； （ 3）若数列 ?nc 满足 2lg nn nac b?， 试问是否存在正整数 s ， t
9、 （其中 1 st?），使 1c ， sc ，tc 成等比数列 ？ 若存在 ， 求出所有满足条件的数组 ? ?,st ； 若不存在 ， 请说明理由 . - 5 - 试卷答案 一、填空题 1.60 2.32 3.4? 4.14 5.45 6.3 7.27 8.85 9. 10 10. 31 9? 11. 7 12. ? ?3,2? 13. 5 14. 3 二、解答题 15.解：（ 1）由第四行数据可知 120.3 n? ， 所以 40n? . 数据 ? ?135,145 的频率 为 ? ?1 0 .0 2 5 0 .0 5 0 .2 0 .3 0 .2 7 5 0 .0 5 0 .1? ? ?
10、? ? ? ?， 则利用组中值估计平均数为 9 0 0 . 0 2 5 1 0 0 0 . 0 5 1 1 0 0 . 2 1 2 0 0 . 3 1 3 0 0 . 2 7 5 1 4 0 0 . 1 1 5 0 0 . 0 5 1 2 2 . 5? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. （ 2）成绩不低于 135分的同学的概率为 0.1 0.05 0.15?， 该校能参加集训队的人数大约为 500 0.15=75? 人 . 16.解：（ 1）由 3cos sin3a b C c B? 及正弦定理得 ： 3s in s in c o s s in s in3A B C C B
11、?， 又 ? ?s i n s i n s i n c o s c o s s i nA B C B C B C? ? ? ?， 由得 3c o s sin sin sin3B C C B? ， 在 ABC? 中 ， sin 0C? ， 3cos sin3BB? ， tan 3B? ， 而 ? ?0,B ? ， 3B ? . （ 2）由 1 1 3 3s in 5 32 2 2 4S a c B a c a c? ? ? ?， 得 20ac? . 又 5a? ， 所以 4c? . - 6 - 由余弦定理，得 2 2 2 2 c o s 2 5 1 6 2 0 2 1b a c b c A? ?
12、 ? ? ? ? ?， 故 21b? . 17.解：（ 1）由题意得1 3 23222a a a? ? ?， 21 1 1232 2 2qq? ? ? ? ?， 即 22 3 1 0qq? ? ? ， 解得 1q? 或 12q? . 又 1q? ， 于是 12q? ， 11 12nnna a q ? ?. （ 2） 12nnnb na n?， 1 2 31 1 1 11 2 32 2 2 2nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2 3 11 1 1 1122 2 2 2nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
13、 ? ? ? ? ? ? ? ?. 两式相减得： 2 3 11 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2nnnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?111 1 11 1 12 2 2 1212 2 212nnnnT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ? ? 1222nnTn ? ? ? ?. 16 30 0nTn? ? ?转化为 112 16n?， 4n? . 正整数 n 的最大值为 4 . 18.解：（ 1）在等腰 ABC? 中 ， 过点 C 作 CH AB? 于 H ， 在 Rt
14、 ACH? 中 ， 由 cos AHCAB AC?， 即 260 3AH? ， 40AH? ， 80AB? ， 三角形 AEF 和四边形 BCEF 的周长相等 . A E A F E F C E B C B F E F? ? ? ? ? ?， 即 ? ? ? ?6 0 6 0 8 0A E A F A E A F? ? ? ? ? ?， 100AE AF?. - 7 - E 为线段 AC 的三等分点 （靠近点 C ）， 40AE? ， 60AF? ， 在 AEF? 中 ， 2 2 2 2 2 22 c o s 4 0 6 0 2 4 0 6 0 2 0 03E F A E A F A E A
15、F C A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 2000 20 5EF ?米 . 即水上观光通道 EF 的长度为 205 米 . （ 2）由（ 1）知， 100AE AF?， 设 AE x? ， AF y? ， 在 AEF? 中 ， 由余弦定理 ， 得 ? ? 22 2 2 2 2 4 1 02 c o s 33E F x y x y C A B x y x y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 2 2502xyxy ?， ? ? 22 2 21 0 21 0 0 5 0 5 033EF ? ? ? ? ?. 50 63EF? ， 当且仅当 xy? 取
16、得等号 ， 所以，当 50AE? 米时 ， 水上观光通道 EF 的长度取得 最小值 ， 最小值为 5063 米 . 19.解：（ 1）由题意，得 ? ? ? ?2 2 21 2 3 0m x m m x m? ? ? ? ? 即 ? ? ? ?1 3 0m x m x m? ? ? ? 当 1m? 时 ， 得 10x? ， 解得 1x? ； 当 01m?时 ， 得 ? ?3 01mx x mm? ? ?， ? ? ? ?2 434 01 1 1mmm m mmm m m ? ? ? ? ? ? ? ?， 3 1m mm? ? 解得 xm? 或 3 1mx m? ? ； 当 1m? 时 ， 得
17、? ?3 01mx x mm? ? ?， ? ? ? ?2 4341 1 1mmm m mmm m m ? ? ? ? ? ? ?. 当 4m? 时 ， 3 1m mm? ? ， 解得 3 1mmx m? ? ? ? ?； 当 4m? 时 ， 3 1m mm? ? ， ? ?240x?， 解集为空集 ； - 8 - 当 14m?时 ， 3 1m mm? ? ， 解得 3 1m xmm? ? ? ? ； 综上所述：当 01m?时 ， 不等式解集为 31mx x m x m? ? ? ?或； 当 1m? 时 ， 不等式解集为 ? ?1xx? ； 当 14m?时 ，不等式解集为 31mx x mm?
18、 ? ? ?； 当 4m? 时 ，不等式解集为 ? ； 当 4m? 时 ， 不等式解集为 31mx m x m? ? ? ?. （ 2） ? ? 2223f x x m x m? ? ?的图像是一条开口向上的抛物线 ， 关于 xm? 对称 . 由题意： 14m? . 若 1 14 m?， 则 ?fx在 ? ?1,4m 上是增函数 ， 从而 ?fx在 ? ?1,4m 上的最小值是 ? ? 21 1 2 3f m m? ? ?， 最大值是 ? ? 245f m m? . 由 ? ? 4f x m? 得 224 2 3 4m x m x m m? ? ? ? ?于是有 ? ? ? 221 1 2 3 44 5 4f m m mf m m m? ? ? ? ? ?解得1 13405mm? ? ? ?， 40 5m?. 又 1 14 m?， 1445m?. 若 1m? ， 此时 ? ? 24 5 4f m m m?. 则当 14xm? 时 ， ? ? 4f x m? 不恒成立 . 综上：使 ? ? ? ? ?4 1, 4f x m x m?恒成立的 m 的取值范围是 14,45? ?. 20.解：（ 1）设数列 ?na 公差为 d ，由题设得 26 4 107,14,a a
