1、 1 扬州市 2016 2017 学年度第二学期期末检测试题 高 一 数 学 2017 6 （ 满分 160 分，考试时间 120 分钟 ） 注意事项： 1 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方 2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1 22cos 15 sin 15? ? 2不等式 2 2 3 0xx? ? ? 的解为 3 ABC? 中， 3, 4, 6 0AB BC B? ? ? ?，则 AC? 4 已知圆锥的母线长为 5 ，侧面积为 20? ，
2、则此圆锥的 体积为 5 已知 ( ,0)2x ? ， 3cos 5x? ，则 tan2x? 6 设变量 ,xy满足约束条件 212xyxyy?，则目标函数 2z x y? ? 的最小值为 7若等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 2 3a? ， 352aa? ? ，则使得 nS 取最大值时的正整数 n? 8已知 ? ， ? ， ? 是三个平面， m ， n 是两条直线，有下列四个命题： 如果 m? ， m? ，那么 ? ； 如果 mn? ， m? ，那么 /n? ； 如果 ? ， /m? ，那么 m? ； 如果 /?， m? ， n? ，那么 /mn 其中正确的命题有 （写出所有正确命题
3、的序号） 9已知 0 2? 且 1sin( )63?，则 cos? 2 10若数列 1( 1)nn? 的前 n 项和为 nS ，若 1 34nnSS?，则正整数 n 的值为 11已知正数 ,ab满足 14abab? ，则 ab 的最小值为 12如图，为测量 山高 MN，选择 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点 从 A 点测得 60NAM? ? ? ， CAB 45 以及 MAC 75 ；从 C 点测得 MCA 60 ；已知山高 BC 300 米 ， 则山高 MN 米 13在数列 ?na中， 211 2 3+ 2 2 2 ( 2 2 1 )n n nna a a a n t? ? ? ? ?
4、 ? ?对任意 *n?N 成立，其中常数 0t? 若关于 n 的不等式2 4 8 121 1 1 1nma a a a a? ? ? ? ?的解集为 * | 4, n n n?N ，则实数 m 的取值范围是 14在 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc若 2 2 242a b c? ? ?， 4ab? ，则 2sintan sin2CAB? 的最小值是 二、解答题： （ 本大题共 6 道题，计 90 分 解答应写出必要的文字说 明、证明过程或演算步骤） 15（本题满分 14 分） 已知： s in ( ) 2 s in ( ) 044? ? ? ? （ 1）求 tan? 的值；
5、（ 2）若 1tan( )43? ?，求 tan( )? 的值 16（本题满分 14 分） 已知： 三棱锥 A BCD? 中，平面 ABD? 平面 BCD ， AB AD? ， E ， F 分别为 BD ， AD 的中点 （ 1）求证： /EF 平面 ABC ； （ 2）若 CB CD? ，求证： AD? 平面 CEF ACBNM（第 12 题） FEDCBA3 17（本题满分 14 分） 已知正项等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，且 2 3 5aa a? ， 4210SS? （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）设 (2 1)nnb n a?，求数列 nb 的前 n 项和 nT
6、 18（本题满分 16 分） 在锐角 ABC? 中，角 ,ABC 的对边分别为 ,abc，满足 2 coscosb c CaA? ? （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 13a? ， ABC? 的面积 33ABCS? ? ，求 bc? 的值； （ 3）若函数 ( ) 2 sin co s( )6f x x x ?，求 ()fB的取值范 围 19（本题满分 16 分） 水培植物需要一种植 物专用营养液已知每投放 a （ 14a?且 aR? ）个单位的营养液，它在4 水中释放的浓度 y （克 /升）随着时间 x （天）变化的函数关系式近似为 ()y af x? ，其中4 ( 0 2 )() 4
7、5 ( 2 5 )x xfx xxx? ? ? ? ? ?，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相 应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于 4（克 /升）时，它才能有效 （ 1）若只投放一 次 4 个单位的营养液，则有效时间可能达几天？ （ 2）若先投放 2 个单位的营养液， 3 天后投放 b 个单位的营养液要使接下来的 2 天中，营养液能够持续有效，试求 b 的最小值 20（本题满分 16 分） 已知数列 na 满足：对于任意 *nN? 且 2n? 时， 1 21nna a n? ? ? ?， 1 4a? （ 1） 若 13?，求证： 3nan? 为
8、等比数列； （ 2）若 1? 求数列 na 的通项公式； 是否存在 *k?N ，使得 2 2 +1 25kkaa ? 为数列 na 中的项？若存在，求出所有满足条件的 k的值；若不存在，请说明理由 5 扬州市 2016 2017 学年度第二学期期末检测试题 高 一 数 学 参 考 答 案 2017 6 1 322 (1,3)? 3 13 4 16? 5 2476 4? 7 3 8 9 2 6 16?10 6 11 4 12 450 13 715 , )816 14 3 2+4215解：（ 1） s in ( ) 2 s in ( ) 044? ? ? ? 2 2 2 2s i n c o s
9、2 ( s i n c o s ) 02 2 2 2? ? ? ? ? ? ? ? ， 1tan 3? .6 分 （ 2） 1tan( )43? ? 1 tan 11 tan 3? ? ，解得： 1tan 2? .10 分 11ta n ta n32ta n ( ) 1111 ta n ta n1 32? ? ? ? ?.14 分 16证：（ 1） E ， F 分别为 BD ， AD 的中点 /EF AB EF? 平面 ABC ， AB? 平面 ABC /EF 平面 ABC .6 分 （ 2） CB CD? ， E 为 BD 的中点 CE BD? 平面 ABD? 平面 BCD ，平面 ABD
10、平面 BCD BD? ， CE? 平面 BCD CE? 平面 ABD .9 分 AD? 平面 ABD CE AD? /EF AB ， AB AD? AD EF? .11 分 CE? 平面 CEF ， EF? 平面 CEF ， CE EF E? AD? 平面 CEF .14 分 17解：（ 1）设正项等比数列 na 的公比为 q ，若 1q? ，则 4 1 2 14 , 2S a S a?，不符合题意； FEDCBA6 .2 分 则 1q? 421 1 111(1 ) (1 )10a q a q a qa q a qqq? ? ?， 0na? 解得： 1 3aq? .5 分 13 3 3nnna
11、 ? ? ? .7 分 （ 2） 231 3 3 3 5 3 ( 2 1 ) 3 nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 4 + 13 1 3 3 3 5 3 ( 2 1 ) 3 nn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .9 分 ? 得： 2 3 1 13 3 32 1 3 2 ( 3 3 3 ) ( 2 1 ) 3 2 3 ( 2 1 ) 313 nn n nnT n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1(2 2) 3 6nn ? ? ? ? ? .13 分 1( 1) 3 3nnTn ? ? ? ? .14 分 18解：（ 1）根据正弦定
12、理sin sin sina b cA B C?得： 2 sin sin cossin cosB C CAA? ?2 s i n c o s s i n c o s c o s s i n s i nB A C A C A B? ? ? ? (0, )B ? sin 0B? 1cos2A? (0, )2A ? 3A?.4 分 （ 2） 1 1 3s i n 3 32 2 2ABCS b c A b c? ? ? ? ? 12bc? .6 分 2 2 2 2 22 c o s 1 3a b c b c A b c b c? ? ? ? ? ? ? 2 2 2( ) 3 1 3 3 1 2 4 9b
13、 c b c b c b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0bc? 7bc? .9 分 （ 3） ( ) 2 s i n c o s ( ) 2 s i n ( c o s c o s s i n s i n )6 6 6f x x x x x x? ? ? ? ? ?3 1 1s i n 2 (1 c o s 2 ) s i n ( 2 )2 2 6 2x x x ? ? ? ? ? ? 1( ) sin (2 )62f B B ? ? ? .12 分 ABC? 为锐角三角形 0 20 2BC? ? ?，又 23CB?62B?.14 分 722 6 6B? ? ? ? ? 1 si
14、n(2 ) 126B ? ? ? ? ()fB的取值范围为 1( 1, )2? .16 分 7 19（ 1）营养液有效则需满足 4y? ，则 024444xxx? ? ? 或 254(5 ) 4xx? ? ，解得 04x?， 所以营 养液有效时间可达 4 天 .6 分 （ 2）设第二次投放营养液的持续时间为 x 天，则此时第一次投放营养液的持续时间为 ( 3)x? 天，且02x? ；设 1y 为第一次投放营养液的浓度， 2y 为第二次投放营养液的浓度， y 为水中的营养液的浓度； 1 25 ( 3) 4 2y x x? ? ? ? ?， 2 44 xybx? ， 12 4( 4 2 ) 44
15、xy y y x b x? ? ? ? ? ? ?在 0,2 上恒成立 .10 分 42 4 xbxx? 在0,2 上恒成立 令 4 , 4,6t x t? ? ? ， 322( ) 24btt? ? ? ? ， .13 分 又 322 ( ) 2 4 2 4 1 6 2tt? ? ? ? ?，当且仅当 32tt?，即 42t? 时，取等号； 所以 b 的最小值为 24 16 2? 答：要使接下来的 2 天中，营养液能够持续有效， b 的最小值为 24 16 2? .16 分 20 （ 1）当 13?时，11 2 1 ( 2 , * )3nna a n n n N? ? ? ? ?且 1 31a? 111 1 1112 1 3 ( 3 3 )3 1333 ( 1 ) 3 3 3 3 3nnnn n na n n a nana n a n a n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?为常数 3nan? 为等比数列 .3 分 （ 2）当 1? 时， 1 2 1( 2 , * )nna a n n n N? ? ? ? ? 1221nna a n? ? ? 2323nna a n? ? ? 215aa? 8 21 ( 1 ) ( 2 1 5 )( 2 1 ) ( 2 1 ) 5 2 32n nna a n n n n? ? ?
