1、28.2.2 应用举例第1课时 与视角有关的解直角三角形应用问题一、新课导入1.课题导入情景：2012年6月18日，“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地面343 km的圆形轨道上运行，如图，当组合体运行到地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400 km，取3.142，结果取整数)？问题：你能运用解直角三角形和圆的知识解决这个问题吗？（板书课题）2.学习目标（1）会运用解直角三角形和圆的知识解决实际问题.（2）知道仰角和俯角的含义，会用三角函数解决观测问
2、题.3.学习重、难点重点：解直角三角形.难点：将实际问题转化为数学问题.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P74例3.（2）自学时间：8分钟.（3）自学方法：仔细体会直角三角形的直角是怎样得到的.（4）自学参考提纲： 实际问题转化成数学模型，画出如图所示的图形，用O表示 地球 ，点F是 组合体 的位置，则视线FQ与O 相切 ，切点Q是观测地球时看到的最 远 点，要求的最远点与P点的距离就是求的长.FQ是O的切线，FQO= 90 ，FOQ是 直角三角形 .选择关系式求的度数. cos=0.9491,18.36.求的长.想一想：怎样得到FQO是直角的？为什么的长是最远点与P点的距离？如图
3、是一个匀速旋转（指每分钟旋转的弧长或圆心角相同）的摩天轮的示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80 m，最低点C离地面6 m，旋转一周所用的时间为6 min，小明从点C乘坐摩天轮（身高忽略不计），请问：经过2 min后，小明离地面的高度是多少米？过E作EG垂直于CO的延长线于点G，COE=360=120,GOE=60.OG=OEcosGOE=20（m）,小明离地面的高度是OG+OC+CD=20+40+6=66(m).2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：明了学情：明了学生是否理解RtFQO中相关元素的实际意义.差异指导：根据学情进行个别或分类指导.（2）生
4、助生：小组内相互交流、研讨.4.强化圆中获得直角的主要途径有：(1)过圆心作弦的垂线段.(2)构造直径所对的圆周角.(3)连接切点和圆心.1.自学指导（1）自学内容：教材P75例4.（2）自学时间：10分钟.（3）自学方法：先自主探索，再同桌之间互相讨论、纠错.（4）自学参考提纲：仰角和俯角的概念：如图，从下往上看， 视线 与 水平线 的夹角叫做仰角，从上往下看， 视线 与 水平线 的夹角叫做俯角.图中的1是 仰角 ， 2是 俯角 .教材P75例4中，过点A作AD BC于D，则在RtABD中，BAD= 30 ，AD= 120 ，故选择关系式可求BD的长；在RtACD中，CAD= 60 ，AD=
5、 120 ，故选择关系式可求CD的长.所以这栋楼的高BC=BD+CD 277 m . 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为 45，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？120tan45+120tan60328(m)热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的俯角为30，看这栋楼底部的俯角为60，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高（结果取整数）？120tan60-120tan30139(m)在斜三角形、梯形、矩形、菱形和正方形中，怎样添加辅助线构造直角三角形？2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学（1）师助生：明了学
6、情：关注学生自学提纲的解答情况，特别是第、第题.差异指导：根据学情进行相应指导.（2）生助生：生生互动，交流研讨、纠正.4.强化（1）仰角、俯角的定义.（2）当问题涉及到的三角形不是直角三角形时，添加辅助线构造直角三角形的图例.三、评价1.学生学习的自我评价：在这节课学习中，你有哪些收获？还有哪些困惑？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度，小组交流合作状况，回答问题情况等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时教学时要尽量创设与学生生活环境、知识背景相关的教学情境，让学生明白俯角、仰角的含义.引导学生将实际问题转化为简单的数学模型。其中画出几
7、何图形是解题关键，通过几何图形的分析来得到边、角的关系，再应用计算、推理手法解决问题.还要注意从实际生活出发，努力体现数学与生活的联系.此外，还要注重培养学生自主提炼题干并将其转化为数学模型的能力，注重从实物的形象思维向数学的抽象思维转变.一、基础巩固（70分）1.(10分)如图，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=303 m，拱形的半径R=30 m，则拱形的弧长等于 20 m. 第1题图 第2题图 第3题图2.(10分) 如图，在半径为2的O中，圆心O到弦AB的距离为1，C为优弧上任意一点，则ACB=（B）A.30B.60C.90D.1203.(10分)如图，身高1.6 m的小丽用一个两锐角分别为
8、30和60的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6 m，那么这棵树高大约为 5.1 m(结果精确到0.1 m，其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高).4.(20分)如图，BC是O的直径，P是CB延长线上一点，PA切O于点A，如果PA=，PB=1，求sinAPC的值. 解：连接OA.PA切O于点A，OAP=90. 在RtOAP中，设OA=x,则OP=OB+PB=x+1.又有PA=,x2+（）2=(x+1)2，x=1.即OA=1，OP=2.sinAPC=.5.(20分)如图，一枚运载火箭从地面L处发射.当火箭到达A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6 km，仰角为43；1s后，火
9、箭到达B点，此时测得仰角为45.54.这枚火箭从A到B的平均速度是多少？（结果保留小数点后两位，参考数据：sin430.682, cos430.731,tan430.933; sin45.540.714,cos45.540.700,tan45.541.019）解：LR=ARcos4360.731=4.386. AL=ARsin4360.682=4.092.BL=LRtan45.544.3861.019=4.469334.AB=BL-AL0.377334.这枚火箭从A到B的平均速度为0.3773341358.40（km/h）.二、综合应用（20分）6.(20分)某校课外活动小组在距离湖面7 m高
10、的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37，看P在湖中的倒影P的俯角为53（P为P关于湖面的对称点）请你算出这个热气球P距湖面的高度PC约为多少米？参考数据：sin37，cos37，tan37，sin53，cos53，tan53解：设过点A的水平线交PP于点D，则DC=AB=7，设AD=x.则PD=ADtan3734x.PD=ADtan5343x.P、P关于直线BC对称，PC=PC.即PD+DC=PD-DC.x+7=x-7.x=24,PC25米.因此，这个热气球P距湖面的高度PC约为25米.三、拓展延伸（10分）7.(10分)如图，图1是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前
11、滚动时，铁环钩保持与铁环相切将这个游戏抽象为数学问题，如图2已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5 cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，MOA=，且sin=（1）求点M离地面AC的高度BM；（2）设人站立点C与点A的水平距离AC等于11个单位，求铁环钩MF的长度.解：（1）过点M作MDOA于D.易证四边形ABMD是矩形.BM=AD,AB=DM.又MD=OMsin=55=15（cm）.OD=20,AD=OA-OD=5,BM=5 cm.(2)延长DM交FC于点E.ME=BC=AC-AB=115-15=40（cm）.又FME=MOD=,cos=,MF=50(cm).
