1、小学数学典型应用题小学数学典型应用题 0101 归一问题归一问题 【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准， 求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题。 【数量关系】 总量份数1 份数量 1 份数量所占份数所求几份的数量 另一总量（总量份数）所求份数 0202 解题思路和方法解题思路和方法 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的数量。 例例 1 1：3 头牛 4 天吃了 24 千克的草料，照这样计算 5 头牛 6 天吃草 _ 千克。 解解: : 1.根据题意先算出 1 头牛 1 天吃草料的质量：2434=2(千克)。 2.那么 5 头牛一天吃 25=10(千克)
2、的草料。 3.那么 6 天就能吃 106=60(千克)草料。 例例 2 2：5 名同学 8 分钟制作了 240 张正方形纸片。如果每人每分钟制 作的数量相同，并且又来了 2 位同学，那么再过 15 分钟他们又能做 _ 张正方形纸片？ 解：解： 1.可以先算出 5 名同学 1 分钟能制作正方形纸片的数量，240 8=30(张)。 2.再算出 1 名同学 1 分钟制作的数量，305=6(张)。 3.现在有 5+2=7(名)同学，每人每分钟做 6 张，要做 15 分钟，那么 他们能做 7615=630(张)正方形纸片。 例例 3 3：某车间用 4 台车床 5 小时生产零件 600 个，照这样计算，增
3、加 3 台同样的车床后， 如果要生产 6300 个零件， 需要 _ 小时完成？ 解：解： 1.4 台车床 5 小时生产零件 600 个，则每台车床每小时生产零件 600 45=30（个）。 2.增加 3 台同样的车床，也就是 4+3=7（台）车床，7 台车床每小时 生产零件 730=210（个）。 3.如果生产 6300 个零件，需要 6300210=30（小时）完成。 0202 归总问题归总问题 【含义】 解题时，常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问 题，叫归总问题。 所谓“总数量”是指货物的总价.几小时（几天）的总工作量.几公亩 地上的总产量.几小时走的总路程等。 【数量关
4、系】 1 份数量份数总量 总量1 份数量份数总量另一份数另一每份数量 解题思路和方法解题思路和方法 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例例 1 1: :王大伯家的干草够 8 只牛吃一个星期的，照这样计算，这些草 够 4 只牛吃（ ）天？ 解：解： 1.可以算出这些草够 1 只牛吃多少天，用 87=56(天)。 2.算 4 只牛能吃多久，用 564=14(天)。 例例 2 2 小青家有个书架共 5 层，每层放 36 本书。现在要空出一层放碟 片，把这层书平均放入其它 4 层中，每层比原来多放 （ ）本书。 解：解： 方法一： 1.根据题意可以算出书架上有 536=180(本)书。 2.现
5、在还剩下 5-1=4(层)书架。 3.所以每层书架上有 1804=45(本)书。比原来多 45-36=9(本)书。 方法二： 也可以这样考虑，就是要把其中一层的 36 本书平均分到其他 4 层， 所以每层比原来多放 364=9（本）书。 例 3 一个长方形的水槽可容水 480 吨， 水槽装有一个进水管和一个排 水管。单开进水管 8 小时可以把空池注满；单开排水管 6 小时可以把 满水池排空，两管齐开需要多少小时把满池水排空？ 解： 1.要求两管齐开需要多少小时把满池水排光， 关键在于先求出进水速 度和排水速度， 进水每小时 4808=60 （吨） ； 排水每小时 4806=80 （吨）。 2.
6、当两管齐开， 排水速度大于进水速度， 即每小时排 80-60=20 （吨） 。 3.再根据总水量就可以求出排空满池水所需的时间。48020=24（小 时）。 0303 和差问题和差问题 【含义】 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差 问题。 【数量关系】 大数(和差)2 小数(和差)2 解题思路和方法解题思路和方法 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。 例例 1 1: :两筐水果共重 150 千克，第一筐比第二筐多 18 千克，第一筐水 果重 _ 千克，第二筐水果重 _ 千克。 解：解： 因为第一筐比第二筐重 1.根据大大数(和差)2 的数量关系，可以
7、求出第一筐水果重 (150+18)2=84（千克）。 2.根据小数(和差)2 的数量关系，可以求出第二筐水果重 (150-18)2=66（千克）。 例例 2 2: :登月行动地面控制室的成员由两组专家组成， 两组共有专家 120 名，原来第一组人太多，所以从第一组调了 20 人到第二组，这时第 一组和第二组人数一样多，那么原来第二组有（ ）名专家。 解：解： 1.原来从第一组调了 20 人到第二组，这时第一组和第二组人数一样 多，说明原来第一组比第二组多 20+20=40（人） 2.根据小数(和差)2 的数量关系，第二组人数应该为(120-40) 2=40（人）。 例例 3 3: :某工厂第一
8、.二.三车间共有工人 280 人，第一车间比第二车间 多 10 人，第二车间比第三车间多 15 人，三个车间各有多少人？ 解解： 1.第一车间比第二车间多 10 人，第二车间比第三车间多 15 人； 那么第一车间就比第三车间多 25 人，因此第三车间的人数是 （280-25-15）3=80（人）。 据此可得出第一.二车间的人数。 0404 和倍问题和倍问题 【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）， 要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】 总和（几倍）较小的数 总和较小的数较大的数 较小的数几倍较大的数 解题思路和方法解题思路和方法 简单的题目
9、直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例例：甲、乙两仓库共存粮吨，甲仓库存粮是乙仓库存粮的 倍。甲仓库存粮吨，乙仓库存粮吨。 解：解： .根据“甲仓库存粮是乙仓库存粮的倍”， 把甲仓库存粮数看成“大数”，乙仓库存粮数看成“小数”。 .根据和倍公式总和（几倍）较小的数， 即可求乙仓库存粮（）（吨）。 .根据和倍公式较小的数几倍较大的数， 即可求甲仓库存粮（吨）。 例例：已知苹果.梨.桃子的总质量为千克，苹果的质量是桃子的 倍，梨的质量是桃子的倍，求苹果.梨.桃子的质量。 解：解： .根据“苹果的质量是桃子的倍，梨的质量是桃子的倍”； 把桃子看成倍数，则苹果是倍数，梨是倍数。 .根据“苹果、梨
10、、桃子的总质量为千克”和和倍公式： 总和（几倍）较小的数 可求出桃子的质量， （）（千克） .根据桃子质量可以求出苹果和梨的质量。 例例：欢欢、乐乐和多多一共带了 1元去公园。 已知欢欢带的钱数比乐乐的倍多元，多多带的钱数比欢欢多 倍，那么多多带了（ ）元。 解：解： .在三个量的和倍问题中，我们可以选择其中一个标准量，然后通 过三个量之间的和倍关系进行计算即可。 需要注意，多倍就是倍。 .由题可知，三人里乐乐的钱数最少。 我们可以把乐乐看成标准量，那么欢欢就是份标准量再加元。 .多多比欢欢多两倍，就是份标准量再加 （元）。 .那么他们三个合起来就是 份标准量再加（元）。 .所以标准量是 （）
11、（元）， 即乐乐带了元。 .根据乐乐的钱数可以求出欢欢带了 （元）， 所以多多带了 （元）。 0505 差倍问题差倍问题 【含义】 已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）， 要求这两个数各是多少； 这类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】 两个数的差（几倍1） =较小的数较小的数几倍 =较大的数 解题思路和方法 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例例 1 1：莉莉的科技书比故事书多 16 本，科技书是故事书 3 倍，莉莉 有科技书（ ）本。 A. 8 B. 12 C. 16 D. 24 解：解： 1.解决差倍问题，可以画线段图解决，也可以直接套用公式解决。
12、2.把故事书的本数看作 1 倍数，科技书的本数就是 3 倍数，科技书比 故事书多 16 本， 所以根据差倍公式两个数的差（几倍1）=较小的数，可以求出故 事书有 162=8 本。 3.根据差倍公式较小的数几倍=较大的数，可以求出科技书有 8 3=24 本。 例例 2 2：甲桶油是乙桶油 4 倍，如果从甲桶倒出 15 千克给乙桶，两桶 油的重量就相等了， 则原来甲桶有油 _ 千克，乙桶有油 _ 千克。 解：解： 1.根据题意，从甲桶倒出 15 千克给乙桶，两桶油的重量就相等了， 说明原来甲桶油比乙桶油多 152=30（千克）。 2.根据差倍公式两个数的差（几倍-1）=较小的数，可以求出乙桶 有油
13、 30（4-1）=10（千克）。 3.根据差倍公式较小的数几倍=较大的数，可以求出甲桶原有油 10 4=40（千克）。 例例 3 3：每件成品需要 5 个甲零件，2 个乙零件。 开始时，甲零件的数量是乙零件数量的 2 倍，加工了 30 个成品之后 甲零件和乙零件的数量一样多，那么还可以加工 _ 个成品。 解：解： 1.加工一个成品，甲零件比乙零件多用 5-2=3（个），加工 30 个成 品， 甲零件比乙零件多用 330=90（个）。 根据“加工了 30 个成品之后甲零件和乙零件的数量一样多”说明原 来甲零件比乙零件多 90 个。 2.把乙原来的零件数看成 1 倍，甲就是这样的 2 倍，甲比乙多
14、 1 倍， 对应 90 个，求出乙原来有 90（2-1）=90（个） 3.那么甲原来有 902=180（个）零件。 4.每件成品需要 5 个甲零件，2 个乙零件，那么加工 30 个成品， 甲零件用了 530=150（个）， 乙零件用了 230=60（个）， 所以甲零件还剩 180-150=30（个）， 乙零件还剩 90-60=30（个）。 剩下的甲零件还能做 305=6（个）成品， 剩下的乙零件还能做 302=15（个）成品。 因为每件成品需要甲.乙两种零件共同完成，所以剩下的零件数还可 以加工 6 个成品。 0 06 6 和倍问题和倍问题 【含义】 已知两个或多个人年龄关系，求各自年龄或年龄
15、关系，这类应用题叫 做和倍问题。 【数量关系】 大数(和差)2 小数 (和差)2 总和(几倍+1) 较小的数 总和-较小的数较大的数较小的数几倍 较大的数两个数的差（几倍1） =较小的数较小的数几倍 =较大的数 解题思路和方法 年龄问题具有年龄同增同减，年龄差不变的特性。 年龄问题都可以转化为和差.和倍.差倍问题。 简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。 例例 1 1：爸爸今年 38 岁，妈妈今年 36 岁，当爸爸 42 岁时，妈妈 _ 岁。 解：解： 1.本题考查的年龄差不变 （简单） ， 不管过了多少年年龄差是不变的。 2.爸爸比妈妈大 2 岁，根据不管过了多少年年龄差是不变的
16、，当爸爸 42 岁时，妈妈是 40 岁。 例例 2 2：姐姐今年 15 岁，妹妹今年 12 岁，当她们的年龄和是 39 岁时， 那时妹妹 _ 岁。 解：解： 方法一： 1.利用年龄同增同减的思路。 2.姐妹俩今年的年龄之和是： 15+12=27（岁）， 年龄之和到达 39 岁时需要的年限是： （39-27）2=6（年）。 3.那是妹妹的年龄是 12+6=18（岁）。 方法二： 1.利用年龄差不变的思路。 2.两姐妹的年龄差为 15-12=3（岁）， 再根据小数(和差)2 的公式， 可以求出妹妹的年龄为（39-3）2=18（岁）。 例例 3 3：爸爸今年 50 岁，哥哥今年 14 岁， _ 年前
17、，爸爸的年龄 是哥哥的 5 倍。 解：解： 1.不管过了多少年， 年龄差是不变的， 当爸爸的年龄是哥哥的 5 倍时， 年龄差仍是 50-14=36（岁）。 2.问什么时候爸爸的年龄是哥哥的 5 倍，实际上年龄差就是哥哥的 5-1=4 倍。 3.根据两个数的差（几倍1）=较小的数，可以求出哥哥当时的年 龄是（50-14）4=9（岁）。 4.再根据题意可求出 14-9=5（年）前。 例例 4 4：今年姐妹两人的年龄和是 50 岁，曾经有一年，姐姐的年龄与 妹妹今年的年龄相同，且那时姐姐的年龄恰好是妹妹年龄的 2 倍。 那么姐姐今年 _ 岁。 解：解： 1.当姐姐的年龄恰好是妹妹年龄的 2 倍时，
18、我们设那时妹妹的年龄是 1 份， 那么姐姐的年龄就是 2 份，那么姐姐与妹妹的年龄差就是 1 份。 2.因为那时姐姐的年龄与妹妹今年的年龄相同， 所有妹妹今年的年龄 也是 2 份。 因为年龄差不变，所以今年姐姐的年龄应该是 2+1=3 份。 3.今年姐妹两人的年龄和是 50 岁，对应 2+3=5 份， 求出 1 份是 505=10（岁）， 那么姐姐今年是 103=30（岁）。 0707 相遇问题相遇问题 【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇。 这类应用题叫做相遇问题。 这类应用题叫做相遇问题。 【数量关系】 相遇时间总路程（甲速乙速）总路程 （甲速乙速）相遇时间 解题思路
19、和方法 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线 段图分析可以让解题事半功倍。 例例 1 1：欢欢和乐乐在一条马路的两端相向而行，欢欢每分钟行 60 米， 乐乐每分钟行 80 米，他们同时出发 5 分钟后相遇。这条马路长（）。 解：解： 根据公式总路程（甲速乙速）相遇时间， 可以求出这条马路长（6080）5 =700（米）。 例例 2 2：甲乙两车分别以不变的速度从 AB 两地同时出发，相向而行。 到达目的地后立即返回。 已知第一次相遇地点距离 A 地 50 千米，第二次相遇地点距离 B 地 60 千米，AB 两地相距 _ 千米。 解：解： 1.本题考查的是二次相遇问题，
20、灵活的运用画线段图的方法来分析是 解决这类问题的关键。 2.画线段图 3.从图中可以看出，第一次相遇时甲行了 50 千米。甲乙合行了一个 全程的路程。 从第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了两个全程的路程。 由于甲乙速度不变，合行两个全程时，甲能 502=100(千米)。 4.因此甲一共行了 50+100=150(千米)，从图中看甲所行路程刚好比 AB 两地相距路程还多出 60 千米。 所以 AB 两地相距 150-60=90(千米)。 例例 3 3：欢欢和乐乐在相距 80 米的直跑道上来回跑步，乐乐的速度是 每秒 3 米，欢欢的速度是每秒 2 米。 如果他们同时分别从跑道两端出发，当他们跑了
21、 10 分钟时，在这段 时间里共相遇过 _ 次。 解：解： 1.根据题意，第一次相遇时，两人共走了一个全程，但是从第二次开 始每相遇一次需要的时间都是第一次相遇时间的两倍。 （线段图参考 例 2。） 2.根据“相遇时间=总路程速度和”得到，欢欢和乐乐首次相遇需 要 80（3+2）=16（秒）。 3.因为从第一次相遇结束到第二次相遇，欢欢和乐乐要走两个全程， 所以从第二次开始每相遇一次需要的时间是 16 秒的 2 倍，也就是 32 秒， 则经过第一次相遇后，剩下的时间是 600-16=584（秒），还要相遇 58432=18.25（次）， 所以在这段时间里共相遇过 18+1=19（次）。 追及问
22、题（含解析）追及问题（含解析） 0101 追及问题追及问题 【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出 发，或者在不同地点又不是同时出发） 作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢 些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。 这类应用题就叫做追及问题。 【数量关系】 追及时间 追及路程（快速慢速） 追及路程（快速慢速）追及时间 02 解题思路和方法 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线 段图 分析可以让解题事半功倍。 例例 1 1：某警官发现前方 100 米处有一匪徒，匪徒正以每秒 2 米的速度 逃跑。 警官赶紧以每秒 3
23、米的速度追，（ ）秒后警官可以追上这个匪徒。 解：解： 1.从警官追开始到追上匪徒，这就是一个追及过程。 根据公式：路程差速度差=追及时间。 2.路程差为 100 米，警官每秒比匪徒多跑 3-2=1（米），即速度差为 1 米/秒。 所以追及的时间为 1001=100（秒）。 例例 2 2：甲乙二人同时从 400 米的环形跑道的起跑线出发，甲每秒跑 6 米，乙每秒跑 8 米，同向出发。 那么甲乙二人出发后（ ）秒第一次相遇？ 解：解： 1.由题可知，甲乙同时出发后，乙领先，甲落后，那么两人第一次相 遇时，乙从后方追上甲。 所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道长度，即追及路程为 400 米。 2.由
24、追及时间=总路程速度差可得：经过 400（8-6）=200（秒） 两人第一次相遇。 例例 3 3：小轿车、面包车和大客车的速度分别为 60 千米/时.48 千米/ 时和 42 千米/时，小轿车和大客车从甲地.面包车从乙地同时相向出 发， 面包车遇到小轿车后 30 分钟又遇到大客车。 那么甲.乙两地相距多远？ 解：解： 1.根据题意，将较复杂的综合问题分解为若干个单一问题。 首先是小轿车和面包车的相遇问题； 其次是面包车和大客车的相遇问题； 然后是小轿车与大客车的追及问题。 最后通过大客车与面包车共行甲.乙两地的一个单程，由相遇问题可 求出甲.乙两地距离。 2.画线段图，图上半部分是小轿车和面包
25、车相遇时三车所走的路程。 图下半部分是第一次相遇 30 分钟之后三车所走的路程。 3.由图可知，当面包车与大客车相遇时，大客车与小轿车的路程差为 小轿车与大客车 30 分钟所走的路程。 有小轿车与大客车的速度差， 有距离， 所以可以求出车辆行驶的时间。 （60+48）0.5（60-42）=3（小时）。 4.由于大客车与面包车相遇，共行一个行程，所以 AB 两地路程为 （42+48）3=270（千米）。 0101 植树问题植树问题 【含义】 按相等的距离植树，在距离.棵距.棵数这三个量之间， 已知其中的两个量，要求第三个量，这类应用题叫做植树问题。 【数量关系】 线形植树： 一端植树：棵数间隔数
26、=距离棵距 两端植树： 棵数间隔数+1=距离棵距1 两端都不植树： 棵数间隔数-1=距离棵距-1 环形植树： 棵数间隔数=距离棵距 正多边形植树： 一周总棵数=每边棵数边数-边数 每边棵树=一周总棵数边数+1 面积植树： 棵数面积（棵距行距） 0202 解题思路和方法解题思路和方法 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。 例例 1 1：植树节到了，少先队员要在相距 72 米的两幢楼房之间种 8 棵 杨树。 如果两头都不栽，平均每两棵树之间的距离应是多少米？ 解：解： 1.本题考察的是植树问题中的两端都不栽的情况， 解决此类问题的关 键是要理解棵数比间隔数少 1。 2.因为棵数比间隔数少 1
27、，所以共有 8+1=9 个间隔，每个间隔距离是 729=8 米。 3.所以每两棵树之间的距离是 8 米。 例例 2 2：佳一小学举行运动会，在操场周围插上彩旗。 已知操场的周长是 500 米，每隔 5 米插一根红旗，每两面红旗之间插 一面黄旗，那么一共插红旗多少面，一共插黄旗多少面。 解：解： 1.本题考查的是植树问题中封闭图形间隔问题。 本题中只要抓住棵数间隔数，就能求出插了多少面红旗和黄旗。 2.棵数间隔数，一共插红旗 5005100（面）， 这一百面红旗中一共有 100 个间隔，所以一共插黄旗 100 面。 例例 3 3：多多从一楼爬楼梯到三楼需要 6 分钟，照这样计算，从三楼爬 到十楼
28、需要多少分钟？ 解：解： 1.本题考查的是植树问题中锯木头.爬楼梯问题的情况。 需要理解爬的楼层.锯的次数与层数.段数之间的关系。 所在楼层=爬的层数+1； 木头段数=锯的次数+1。 2.从一楼爬楼梯到三楼，需要爬 2 层，需要 6 分钟， 所以每层需要 62=3（分钟）。 因此从三楼爬到十楼，需要（10-3）3=21（钟）。 例例 4 4：时钟敲 3 下要 2 秒钟，敲 6 下要多少秒？ 解：解： 1.本题考查的是植树问题中敲钟声问题，与锯木头爬楼问题类似。 本题中只要抓住敲的次数间隔数+1。 2.时钟敲 3 下，中间有 2 个间隔，2 个间隔需要 2 秒钟，那么 1 个间 隔需要 1 秒钟
29、。 时钟敲 6 下，中间有 5 个间隔，需要 5 秒。 0101 行船问题行船问题 【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。 解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度； 也就是船只在静水中航行的速度； 水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和； 船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 【数量关系】 （顺水速度逆水速度）2 船速（顺水速度逆水速度）2 水速顺水速船速2逆水速 逆水速水速2 逆水速 船速2顺水速 顺水速水速2 0202 解题思路和方法解题思路和方法 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线 段图分析可以让解题事半功倍。 例例 1 1：某
30、船在同一条河中顺水船速是每小时 20 千米，逆水船速是每 小时 10 千米，这条河的水流速度是每小时 _ 千米？ 解：解： 顺水船速=船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度， 可以看出，顺水船速比逆水船速多 2 个水流速度， 因此，水流速度=(20-10)2=5(千米/时)。 例例 2 2：某条大河水流速度是每小时 5 千米，一艘静水船速是每小时 20 千米的货轮逆水航行 5 小时能到达目的地， 这艘货轮原路返回到出发地需要多少小时？ 解：解： 1.逆水速度=静水船速-水流速度， 所以货轮逆水速度是 20-5=15(千米/时)， 行驶 5 小时共行了 155=75(千米)。 2.原路返回时是
31、顺水航行，顺水速度是静水船速+水速， 即 20+5=25(千米/时)， 所以返回用时 7525=3(小时)。 例例 3 3：小船在两个码头间航行，顺水需 4 小时，逆水需 5 小时，若一 只木筏顺水漂过这段距离需 _ 小时？ 解：解： 1.我们可以假设一个路程。 假设两个码头之间的距离是 200 千米， 顺水需 4 小时，则顺水的速度是每小时 2004=50（千米）， 逆水需 5 小时，则逆水的速度是每小时 2005=40（千米）。 2.根据“水速=（顺水行驶速度-逆水行驶速度）2”得到， 水流速度是每小时（50-40）2=5（千米）。 3.一只木筏顺水漂过的速度就是水流速度， 所以木筏顺水漂
32、过这段距离需要 2005=40（小时）。 0101 列车问题列车问题 【含义】 与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意列车车身的长度。 【数量关系】 火车过桥： 过桥时间（车长桥长）车速 火车追及： 追及时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速） 火车相遇： 相遇时间（甲车长乙车长距离）（甲车速乙车速） 0202 解题思路和方法解题思路和方法 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式，利用线 段图分析可以让解题事半功倍。 例例 1 1：一列火车全长 126 米，全车通过 611 米的隧道需要 67 秒，火 车的速度是多少米/秒？ 解：解： 1.本题考查的是火车过桥的问题。 解决本题的
33、关键是知道火车完全经过隧道所走的路程是一个车身长 隧道长，进而求出车速。 2.因此火车的速度为：（126611）6711（米/秒）。 例例 2 2：在两行轨道上有两列火车相对开来，一列火车长 208 米，每秒 行 18 米，另一列火车每秒行 19 米，两列火车从相遇到完全错开用了 12 秒钟， 那么另一列火车长多少 米？ 解：解： 两列火车从相遇到完全错开， 所行路程之和刚好是它们的车身长度之 和。 根据“路程和=速度和时间” 可得，另一列火车长=（18+19）12-208=236（米）。 例例 3 3：一列火车通过一座长 90 米的桥需要 24 秒，如果火车的速度加 快 1 倍，它通过长为
34、222 米的隧道只用了 18 秒。 原来火车每秒行多少米？ 解：解： 1.根据“火车的速度加快 1 倍，它通过长为 222 米的隧道只用了 18 秒”可知， 如果火车用原来的速度通过 222 米的隧道， 则要用 182=36（秒）。 2.隧道比大桥长 222-90=132（米）， 火车要多用 36-24=12（秒）行驶这一段路程， 根据速度=路程时间， 可以求出原来火车每秒行 13212=11（米）。 0101 时钟问题时钟问题 【含义】【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题， 如两针重合.两针垂直.两针 成一线.两针夹角为 60 度等， 这类问题可转化为行程问题中的追及问题。 【数量关
35、系】 分针的速度是时针的 12 倍，二者的速度差为 5.5 度/分。 通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算。 0202 解题思路和方法解题思路和方法 将两针重合，两针垂直，两针成一线，两针夹角 60等为“追及问 题”后可以直接利用公式。 例例 1 1：钟面上从时针指向 8 开始， 再经过多少分钟，时针正好与分 针第一次重合?（精确到 1 分） 解：解： 1.此类题型可以把钟面看成一个环形跑道。 那么本题就相当于行程问题中的追及问题， 即分针与时针之间的路程 差是 240。 2.分针每分钟比时针多转 6-0.5=5.5，所以 2405.544（分 钟）。 也就是从 8 时开始，再经过 4
36、4 分钟，时针正好与分针第一次重合。 例例 2 2： 从早晨 6 点到傍晚 6 点， 钟面上时针和分针一共重合了多少次？ 解：解： 我们可以把钟面看成一个环形跑道， 这样分针和时针的转动就可以转 化成追及问题。 从早晨 6 点到傍晚 6 点，一共经过了 12 小时，12 个小时分针要跑 12 圈，时针只能跑 1 圈，分针比时针多跑 12-1=11（圈），而分针每比 时针多跑 1 圈，就会追上时针一次，也就是和时针重合 1 次， 所以 12 小时内两针一共重合了 11 次。 例例 3 3：一部记录中国军队时代变迁的纪录片时长有两个多小时。 小明发现，纪录片播放结束时，手表上时针.分针的位置正好与
37、开始 时时针.分针的位置交换了一下。 这部纪录片时长多少分钟？（精确到 1 分） 解：解： 1.解决本题的关键是认识到时针与分针合走的路程是 1080，进而 转化成相遇问题来解决。 2.两个多小时，分针与时针位置正好交换。 所以分针与时针所走的路程和正好是三圈， 也就是分针和时针合走 3603=1080，而分针和时针每分钟的合 走 6+0.5=6.5， 所以合走 1080 需要 10806.5166（分钟），即这部纪录片时长 166 分钟。 01 工程问题工程问题 【含义】【含义】 工程问题主要研究工作量.工作效率和工作时间三者之间的关系。 这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只
38、提出“一 项工程”.“一块土地”.“一条水渠”.“一件工作”等。 在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。 【数量关系】【数量关系】 工作量工作效率工作时间工作时间 工作量 工作效率工作时间 工作总量 （甲工作效率乙 工作效率） 02 解题思路和方法 解答工程问题的关键是把工作总量看作单位解答工程问题的关键是把工作总量看作单位“1”。 这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工 作总量的几分之几）。作总量的几分之几）。 进而就可以根据工作量进而就可以根据工作量.工作效率工作效率.工作时间三者之间的关系列出工作时间三者之间的关
39、系列出 算式。算式。 例例 1：一项工程，甲队独做要 12 天完成，乙队独做要 15 天完成， 两队合做 4 天可以完成这项工程的（ ）。 解：解： 1.本题考察的是两个人的工程问题，解决本题的关键是求出甲.乙 两队的工作效率之和。 进而用工作效率工作时间=工作量。 2.甲队的工作效率为:112=，乙队的工作效率为:115=，两 队合做 4 天，可以完成这项工程的（+）4=。 例例 2：一项工程，甲.乙两队合作 30 天完成。 如果甲队单独做 24 天后，乙队再加入合做，两队合做 12 天后， 甲队因事离去，由乙队继续做了 15 天才完成。 这项工程如果由甲队单独做，需要多少天完成？ 解：解：
40、 1.我们可以将“甲队单独做 24 天后，乙队再加入合做，两队合做 12 天后，甲队因事离去。 由乙队继续做了 15 天才完成”转化为“甲.乙两队合做 27 天，甲再 单独做 9 天”， 由此可以求出甲 9 天的工作量为：， 甲每天的工作效率为：， 这项工程如果由甲队单独做，需要。 例例 3：有一项工程，甲单独做需要 6 小时，乙单独做需要 8 小时，丙 单独做需要 10 小时，上午 8 时三人同时开始，中间甲有事离开， 如果到中午 12 点工程才完工，则甲上午离开的时间是几时几分？ 解：解： 1.根据题意，知道了甲乙丙的工作时间可求出相应的工作效率。 甲的工作量是全部工作量减去乙丙的工作量，
41、 所以甲的工作时间也可以求出来，即甲上午离开的时间也可以求出 来。 2.甲的工作量=1-（+）4=； 甲的工作效率为：16= 所以甲的工作时间为：=（小时） 所以甲离开的时间是 8 时 36 分。 01 盈亏问题盈亏问题 【含义】【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配中，一次有余（盈）， 一次不足（亏）， 或两次都有余，或两次都不足，求人数或物品数， 这类应用题叫做盈亏问题。 【数量关系】【数量关系】 一般地说，在两次分配中，如果一次盈，一次亏， 则有： 参加分配总量（盈亏）分配差如果两次都盈或都亏， 则有： 参加分配总量（大盈小盈）分配差参加分配总量（大亏小 亏）分配差 02
42、解题思路和方法 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例例 1：小明从家到学校，如果每分钟走 50 米，就要迟到 3 分钟； 如果每分钟走 70 米，则可提前 5 分钟到校，小明家到学校的路程 是多少米？ 解：解： 1.分析题意，类比“盈亏问题”，我们可以把“迟到 3 分钟”，转化为 比计划路程少行 503=150（米），把“提前 5 分钟”转化为比计划 路程多行 705=350（米） 这时题目被转化成了“一盈一亏”问题。 2 2. .根据公式，求出原计划到校的时间：（350+150）（70-50）=25 （分钟）。 3.所以小明家到学校的路程：50（2
43、5+3）=1400（米），或者 70 （25-5）=1400（米）。 例例 2：若干人擦玻璃窗，其中 2 人各擦 4 块，其余的人各擦 5 块， 则余 12 块； 若每人擦 6 块，正好擦完。 擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有多少块？ 解：解： 1.由题意可知，本题属于分配不均型的盈亏问题，需要将题目条 件转化成一般盈亏问题。 “其中 2 人各擦 4 块，其余的人各擦 5 块， 则余 12 块”可以转化为“每人擦 5 块， 则余 10 块”。 2.这样就转化为了双盈问题，擦玻璃的有： （10-0）（6-5）=10 人，玻璃共有 105+10=60 块。 例例 3：动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴
44、子。如果每只猴子分 10 个桃子，则有两只猴子没有分到； 如果有两只猴子分 8 个桃子，其余猴子分 9 个，则还差 3 个桃子。 一共有多少只猴子？ 解：解： 1.分析题意，题中有两种分配方式。 联系“盈亏问题”，我们可以把“两只猴子没有分到”理解为桃子的 数量少 210=20（个）， 再把“有两只猴子分 8 个桃子， 其余猴子分 9 个， 则还差 3 个桃子” 理解为每只猴子分 9 个，则还少（9-8）2+3=5（个）。 2.这时把题目看成“双亏问题”，求出猴子的数量： （20-5）（9-8） =15（只）。 01 百分数问题百分数问题 【含义】【含义】 百分数是表示一个数是另一个数的百分之
45、几的数。百分数是一种 特殊的分数。 分数常常可以通分.约分，而百分数则无需； 分数既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分数只显“率”； 分数的分子.分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数； 百分数有一个专门的记号“%”。 在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是 1%，两个 百分点就是 2%。 【数量关系】【数量关系】 掌握“百分数”.“标准量”“比较量”三者之间的数量关系： 百分数比较量标准量标准量比较量百分数 02 解题思路和方法 一般有三种基本类型：一般有三种基本类型： （1）求一个数是另一个数的百分之几； （2）已知一个数，求它的百分之几是多少； （3）已知一个数的百
46、分之几是多少，求这个数。 例例 1：在植树节里，某校六年级学生在校园内种树 8 棵，占全校植树 数的 20%，则该校在植树节里共植树多少棵？ 解：解： 已知六年级学生的种树棵数以及所种棵数占全校植树数的比值， 直接 用除法运算即可。 所以：820%=40（棵） 例例 2：商店新上架了一批连衣裙，第一天卖出总数的 25%，第二天卖 出 45 件，第三天卖出的是前两天卖出的总和的三分一，最后剩下 20 件，则商店原先进了多少件连衣裙？ 解：解： 1.把这批连衣裙的总数看作单位“1”， 已知第三天卖出的是前两天卖出 的总和的三分之一， 也就是第三天卖出了 25%的和 45 的， 由此可以求出与（45
47、+45+20）对应的分率。 2.根据已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数，用除法 解答。 （45+45+20）（1-25%-25%）=120（件） 例例 3：一堆围棋子黑白两种颜色，拿走 15 枚白棋子后，白子占总数 的 40%；再拿走 49 枚黑棋子后，白子占总数的 75%，则原来这堆棋 子一共有多少枚？ 解：解： 1.本题考察的是百分数应用题的相关知识，解决本题的关键是当一种 棋子变化时，抓住另一种棋子的数量不变，统一不变量的份数，进而 解决问题。 2.由条件可知，当拿走 49 枚黑子时，此时白子的数量没有变化， 那么拿走 49 枚黑子前，黑子与白子的数量比为（1-40%）：40%=3： 2=9：6， 拿走 49 枚黑子后，黑子与白子的数量比为（1-75%）：75%=1：3=2： 6， 所以拿走的 49 枚黑子相当于 9-2=7 （份） ， 故每一份是 497=7 （枚） 棋子 3.拿走 49 枚棋子之前，黑子有 79=63（枚），白子有 76=42（枚）。 4.再往前推，由“拿走 15 枚白棋子”可知，黑子的数量没有变化，
