1、2017 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题及答案 一、填空题（本题共 10 小题，每小题 7 分，共 70 分） 1.已知向量 1, 3 ,3,1APPB ，则向量AP与AB的夹角等于 答案： 4 2.已知集合 |10Axaxax，且,3aAA，则实数a的取值范围是 答案： 1 1 ,2,3 . 3 2 3.已知复数 2 cossin 33 zi ，其中i是虚数单位，则 32 zz 答案： 13 . 22 i 4.在平面直角坐标系xOy中， 设 12 ,F F分别是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左， 右焦点，P 是双曲线右支上一点，
2、M是 2 PF的中点，且 212 ,34OMPFPFPF，则双曲线的离心率为 答案：5 5.定义区间 12 ,x x的长度为 21 xx若函数 2 logyx的定义域为, a b，值域为0,2，则区 间, a b的长度的最大值与最小值的差为 答案：3. 6.若关于x的二次方程 2 21200mxmxmm的两个互异的根都小于 1， 则实数m 的取值范围是 答案： 37 ,. 4 7.若 3 tan4 3 x ，则 sin4sin2sinsin cos8 cos4cos4 cos2cos2 coscos xxxx xxxxxxx 答案：3. 8.棱长为 2 的正方体ABCD- 1111 A BC
3、D在空间坐标系O-xyz中运动，其中顶点A保持在z轴 上，顶点 1 B保持在平面xOy上，则OC长度的最小值是 答案：62. 9.设数列 1232 1 ,a aaa满足： 1 11,2,3,20 nn aan ， 1721 ,a a a成等比数列若 121 1,9aa，则满足条件的不同的数列的个数为 答案：15099 10.对于某些正整数n，分数 2 2 37 n n 不是既约分数，则n的最小值是 答案：17. 二、解答题： （本大题共 4 小题，每小题 20 分，共 80 分） 11.设数列 n a满足： 1 1a ，0 n a ， 2 *1 1 ,. 1 n n n na anN na 求
4、证： （1）数列 n a是递增数列； （2）对如图任意正整数n， 1 1 1. n n k a k 证明： （1）因为 2 11 11 11 , 11 nn nnn nn naa aaa nana 且0 n a ， 所以 1 0 nn aa 所以 * 1 ,. nn aa nN 所以数列 n a是递增数列 （2）因为 11 1 11 1 , 1 nn nn nn aa aa nanan 所以当2n 时， 112211 1 1111 1 1221 1 1. nnnnn n k aaaaaaaa nn k 又 1 11 1,a 所以对任意正整数n， 1 1 1. n n k a k 12.在平面直
5、角坐标系xOy中，设椭圆 22 22 :10 xy Eab ab ，直线:30.l xya若椭圆 E的离心率为 3 2 ，原点O到直线l的距离为3 2. （1）求椭圆E与直线l的方程； （2）若椭圆E上三点,0,0P AbB a到直线l的距离分别为 123 ,d dd， 求证： 123 ,d dd可以是某三角形三条边的边长 解： （1）由题设条件得 222 3 3 2, 2 3 , 2 , a c a bca ，从而 2, 1. a b 故所求的椭圆 2 2 :1 4 x Ey直线:60.l xy （2）设2cos ,sinP，则 1 2cossin665sin , 22 d 其中tan2.
6、所以 1 6 2106 210 . 22 d 又 23 0 16206 5 2 ,2 2. 222 dd 故 21. dd 因为 231 5 29 26 210 2 2, 222 ddd 131 6 21010 2105 2 2 2. 222 ddd 所以 123 ,d dd可以是某个三角形的三条边的边长 13.如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，切点分别为, , , ,P Q R SOA与PS交于点 1, AOB与 PQ交于点 1 B，OC与QR交于点 1 C，OD与SR交于点 1 D 求证：四边形 1111 A BC D是平行四边形 证明：连接,.PR QS 因为圆O是四边形ABCD的内切
7、圆，所以OA是SAP的平分线，且.APAS 在ASP中，由三线合一，点 1 A是线段PS的中点 O D1 C1 B1 A1 S R Q P D C B A O D1 C1 B1 A1 S R Q P D C B A 同理点 1 B是线段PQ的中点，所以 11/ ABSQ 同理 1111 /ADBC 所以四边形 1111 A BC D是平行四边形 14.求满足 373 xxyy的所有素数x和. y 解：满足题设条件的素数只有5,2.xy 假设5,y 则 7363653 654365432 6 520 670615201561 1 . yyyyyyy yyyyyyyyyy y 所以， 6 3373 1 ,xxxyyy即 2 1 .xy 又因为 37332 |111x xxyyyyyy，且x为素数， 而 2 2 1111,yyyyyx 从而 32 |111 ,x yyyy 这与 73 |x yy矛盾 所以5.y 因为y是素数，所以2,y 或3.y 当2y 时， 3 120xx，即 2 55240,xxx所以5.x 当3y 时， 343 2160235.xx 所以2,x或3x ，或5.x 经检验，2x ，或3x ，或5x 时， 343 235.xx 所以满足条件的素数只有5,2.xy
