1、 - 1 - 高二数学 1 月月考试题 04 时间 120分钟 ,满分 150分； 一、选择题： 本大题共 12 个小题，每题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的 . 1. 不等式 1 01xx? ? 的解集为 A (1,1)? B (1, )? C ( , 1) (1, )? ? ? ? D ( 1, )? ? 2. 椭圆 22125 9xy?的离心率是 A 35 B 45 C 25 D 54 3直线 1xyab?在 y 轴上的截距是（ B ） A b B b C a D |a 4. 已知向量 a=(1,m)， b=(3m,1),且 a / b，则
2、2m 的值为 C A. 13? B. 23? C. 13 D. 23 5. 若 ,abc R? ， ab? ，则下列不等式成立的是 A A. ab? ? B. 22ab? C. 11ab? D. 22ac bc? 6 直线 : 1 0l x y? ? ? 与圆 :C 221xy?的 的位置关系是 相交 相切 相离 不确定 7. 椭圆 22143xy?上一点 P 到左焦点的距离为 3，则 P 到左准线的距离为 （ D ） A 4 B. 5 C. 7 D 6 8.已知实数 ,xy满足 20006xyxyy?，若 z x y? 的最大值为 m，则 m=D A. 1 B. 6 C. 10 D.12 9
3、. 若某等差数列 ?na 中， 2 6 16a a a? 为一个确定的常数，则下列各个和中也是确定的常数的是 C - 2 - A. 8S B. 10S C. 15S . D. 17S10. 已知圆 22 4 9 0x y x? ? ? ?与 y 轴的两个交点 ,AB都在某双曲线上，且 ,AB两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为 B A 2219 36yx? B 2219 72yx? C 22116 81yx? D 2214 64yx?11 已知 O 为 平面上的一 个 定点， A、 B、 C 是 该 平 面上不共线的三个动点，点 P 满足 条件2OB OCOP ? ( ) ,
4、 ( 0 , )| | c o s | | c o sA B A CA B B A C C? ? ? ? ?，则动点 P 的轨迹一定通过ABC? 的（ ） A重心 B垂心 C外心 D内心 解析： 设线段 BC 的中点为 D，则 2OB OC OD? ? ， 2OB OCOP ? ()| | c o s | | c o sA B A CA B B A C C?()| | c o s | | c o sA B A COD A B B A C C? ? ?， ()| | c o s | | c o sA B A CO P O D D PA B B A C C? ? ? ?， ( ) ( )| | c
5、 o s | | c o s | | c o s | | c o sA B A C A B B C A C B CD P B C B CA B B A C C A B B A C C? ? ? ? ? ? ?| | | c o s ( ) | | | c o s( ) ( | | | |) 0| | c o s | | c o sA B B C B A C B C C B C B CA B B A C C? ? ? ? ? ?， DP BC? ， 即 点 P 一定在线段 BC 的垂直平分线上， 即 动点 P 的轨迹一定通过 ABC? 的外心，选 C 答案： C 12如图，已知椭圆 22 1(
6、0)xy abab? ? ? ?的左、右准线分别为 1l 、 2l ，且分别交 x 轴于 C 、 D 两点，从 1l 上一点 A 发出一条光线经过椭圆的左焦点 F 被x 轴反射后与 2l 交于点 B ，若 AF BF? ，且 75ABD? ? ? ，则椭圆 的离心率等于 A 624? B 31? C 622? D 312? C 提示：由光学知识易知 ACF、 BDF均为等腰直角三角形， 30ABF? ? ? ， 3 , 3BF AF DF CF? ? ?， - 3 - 223( )aacccc? ? ? ?，即 22ac? 223( )ac?， 22(1 3) ( 3 1)ca? ? ? ?，
7、 222 3 1 4 2 3231ce a ? ? ? ?， 24 2 3 ( 3 1 ) 6 22 2 2e ? ? ? ? ? ?故选 C 二、填空题： 本大题共 4小题，每题 5分，共 20分 13.双曲线 2 2 14y x?的渐近线方程是 xy 2? 14 t a n 3 , 0 , c o s s i n _ _ _ _a a a a已 知 则p= - = 132- 15 设 ,xy R? 且 191xy?,则 xy? 的最小值为 _.16 16 过抛物线 2 2yx? 的焦点 F 作直线交抛物线于 ,AB两点，若 25 ,12AB AF BF?则AF = . 【答案】 65 【解
8、析】抛物线 2 2yx? 的焦点坐 标为 )0,21( ，准线方程为 21?x ，设 A,B 的坐标分别为的),(),( 2211 yxyx ，则 414221 ? pxx ，设 nBFmAF ? , ，则 21,21 21 ? nxmx ，所以有?122541)21)(21(nmnm，解得 65?m 或 45?n ，所以 65?AF . 三 .解答题：本大题共 6 个小题，共 70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. （本小题满分 10 分） 求证 : 1 31a a? .( 1)a? 证明： 1 1 11 1 2 ( 1 ) 1 2 1 31 1 1a a aa a a?
9、 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?当且仅当 11 1a a? 即 a=2时 ,等号成立 . - 4 - 18. （本小题满分 12 分） 双曲线与椭圆 22136 27xy?有相同焦点，且经过点 (4, 15) ，求双曲线的方程 解：由题意知 双曲线焦点 为 12( 3,0), (3,0)FF? ， 可设双曲线方程为 2219xyaa? 点 (4, 15) 在双曲线上，代入得 224 36( )aa?或 舍 ?双曲线的方程 为 22145xy? 19. （本小题满分 12 分） 设函数 231( ) s i n c o s 2 s i n , 0 , 2 2 2xf x x
10、x x ? ? ? ? （ I）求 ()fx的值域 ； （ II）记 ABC? 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c，若 ( ) 1, 1, 3f B b c? ? ?，求 a的值。 解：（ 1） 23 1 3 1( ) s i n c o s 2 s i n s i n c o s 1 c o s2 2 2 2 2xf x x x x x x? ? ? ? ? ? ? 31s in c o s 1 s in ( ) 1 .2 2 6x x x ? ? ? ? ? ? ? 2分 50 , , , 6 6 6xx ? ? ? ? ? ? ? 4分 1( ) ,22fx? ? 6分
11、 （ II）由 ( ) 1 , s in ( ) 0 ,66f B B B? ? ? ?得 故 ? 8分 解法一：由余弦定理 2 2 2 2 cosb a c a B? ? ? ，? 9分 得 2 3 2 0 , 1a a a? ? ? ?解 得 或 2 ? 12 分 解法二：由正弦定理 ,sin sinbcBC? 得 32sin ,2 3 3CC ? 或 ? 8分 - 5 - 当 22, , 232C A a b c? ? ? ? ?时 从 而 ? 10分 当 2 , , , 13 6 6C A B a b? ? ? ? ? ? ?时 又 从 而 故 a 的值为 1或 2? 12 分 20.
12、 （本小题满分 12 分）在等差数列 ?na 中， 31?a ，其前 n 项和为 nS ，等比数列 ?nb 的各项均为正数， 11?b ，公比为 q ，且 1222 ?Sb ， 22bSq? （） 求 na 与 nb ； （）设数列 ?nc 满足nn Sc1? ，求证： ?nc 的前 n 项和 23nT? 解： （）设 ?na 的公差为 d ， 因为? ? ? , ,122222bSq Sb 所以 ? ? ? ，qdq dq 6 126 解得 3?q 或 4?q （舍）， 3?d 故 3 3( 1) 3na n n? ? ? ? ， 13? nnb ? 8分 （） 因为 2 )33( nnSn
13、 ?， 所以 nc ? )111(32)33( 21 ? nnnnS n ? 11分 故 ?nT 2 1 1 1 1 1 2 1 2 (1 ) ( ) ( ) (1 )3 2 2 3 1 3 1 3n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12分 21. （本小题满分 12 分） 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物， 0.06kg的蛋白质， 0.06kg的脂肪， 1kg食物 A含有 0.105kg碳水化合物， 0.07kg蛋白质， 0.14kg 脂肪，花费 28 元；而 1kg 食物 B 含有 0.105kg 碳水化合物， 0.14kg 蛋白质，
14、0.07kg脂肪，花费 21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物 A和食物 B 多少 kg？ 解：设每天食用 ，那么，总成本为食物食物 zy k gAx k g B, ?0,006.007.014.006.014.007.0075.0105.005.10yxyxyxyx（ 1），目标函数为 yxz 2128 ? - 6 - 二元一次不等式组（ 1）等价于?0,067146147577yxyxyxyx（ 2） 做出二元一次不等式组（ 2）所表示的平面区域，即可行域 由图可见，当直线 z=28x+21y 经过可行域上的点 M时，截距 21z 最小，即 z最小 .
15、 解方程组 ? ? ? 6714 577 yx yx得点 M(71 , 74 )，因此，当 71?x , 74?y 时， z=28x+21y取最小值，最小值为 16. 由此可知每天食用食物 A约 143克，食物 B约 571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为 16元 . 22.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22: 1( 0 )xyC a bab? ? ? ?的离心率为 13 ，椭圆上的点到右焦点 F的最近距离为 2，若椭圆 C与 x轴交于 A、 B两点， M是椭圆 C上异于 A、 B的任意一点，直线 MA 交直线 :9lx? 于 G点，直线 MB 交直线 l 于 H点。
16、（ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）试探求以 GH 为直径的圆是否恒经过 x 轴上的定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由。 解（ ）由题意得 1,32caac? ? ?1,3ca? ? 82 ?b . 椭圆 C 的方程为： 221.98xy?4 分 （ ）记直线 MA 、 MB 的斜率分别为 1k 、 2k ，设 ,MAB 的坐标分别为00( , )Mx y , )0,3(?A , )0,3(B ， ,3001 ? x yk 020 ,3yk x? ? 2012 20 9ykk x? . P? 在椭圆上，所以 )91(8189 20202020 xyyx ? ， 1k 2k? 9
17、8? ， 设 ),9( 1yG ),9( 2yH ，则 1211 ykk AM ?， 622 ykk MB ?. 722121 yykk ? ，又 1k 2k? 98? . 12 128 647 2 9yy yy? ? ? ? ? ?.?8 分 - 7 - 因为 GH 的中点为 )2,9( 21 yyQ ? ， 12GH y y?,所以，以 GH 为直径的圆的方程为：4 )()2()9( 2212212 yyyyyx ? . 令 0?y ，得 64)9( 212 ? yyx ， 17,1 ? xx ，将两点 )0,1(),0,17( 代入检验恒成立 . 所以，以 GH 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 (17,0),(1,0). ?12 分 -温馨提示： - 【 精品 教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
