1、 北京市东城区 2019-2020 学年 高二下学期期末统一检测试题 本试卷共 4 页，共 100 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试 卷上作答无试效。考结束后，将答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 (1) 6 1 (3)x x 展开式中各项系数之和为 66 ( )2( )3AB 6 D)1() 4C（ （2）已知函数 yf（x）在 0 xx处的导数为 1，则 00 0 ()() lim 2 x f xxf x x 2 1 (A) 0 (B) (
2、C) 1(D) 2 （3）若变量 x，y 之间是线性相关关系，则由以下数据表得到的回归直线必过定点 （A) (2，6) (B) (3，8) (C) (4，9) （D）（5，10） （4）3 位老师和 4 名学生站成一排，要求任意两位老师都不相邻，则不同的排法种数为 7434343 7434315 (A) (B) (C) (D) AAAA AA A （5）已知随机变量 X 服从二项分布，即 XB（n，p），且 E（X）2，D（X）16， 则二项分布的参数 n，p 的值为 11 (A) 4, (B) 6, 2 11 (C) 8, (D) 10 5 3 , 4 npnp npnp （6）设两个正态分
3、布 2 111 (,)(0)N 和 2 222 (,)(0)N 的密度曲线如图所示，则有 12121212 12121212 ( ),( ), ( ),( ), AB CD （7）某小组有 5 名男生、3 名女生，从中任选 3 名同学参加活动，若 X 表示选出女生的人 数，则(2)P X 1152 (A) (B) (C) 7567 5 (D) 7 （8）若从 1，2，3， 9 这 9 个整数中同时取 3 个不同的数，其和为奇数，则不同的取 法共有 （A）36 种 （B）40 种 （C）44 种 （D） 48 种 (9)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为( )fx ，且函数(1)( )y
4、x fx 的图象如图所示， 则下列结论中一定成立的是 (A)f(x)有极大值 f(2) （B） f（x）有极小值 f（2） (C)f(x)有极大值 f(1) (D)f(x)有极小值 f(1) （10）某企业拟建造一个容器（不计厚度，长度单位：米），该容器的底部为圆柱形，高为 1，底面半径为 r，上部为半径为 r 的半球形，按照设计要求容器的体积为 28 3 立方米假 设该容器的建造费用仅与其表面积有关， 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 万元， 半球 形部分每平方米建造费用为 4 万元，则该容器的建造费用最小时，半径 r 的值为 3 3 )2 (A) 1 (B) 2 (C) 4D（ 第二部
5、分（非选择题共 60 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分。 （11）在 5 2 () 2 x x 的展开式中， 3 x的系数为_（用数字作答） （12）给出下列三个结论： 若yx，则 1 2 y x 若 x ye，则 x ye ； 若cosyx，则sinyx 其中正确结论的序号是_ （13）盒子中有 4 个白球和 3 个红球，现从盒子中依次不放回地抽取 2 个球，那么在第一次 抽出白球的条件下，第二次抽出红球的概率是_ （14）某年级举办线上小型音乐会，由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排 在前两位， 节目丙必须排在节目乙的下一个， 则该小型音乐会节目演
6、出顺序的编排方案共有 _种 （用数字作答） （15）已知函数 3 1 ( ), ( )ln 22 x x f xeg x ，若 f（m）g（n）成立，则 nm 的最小值 为_ 三、解答题共 5 小题，共 40 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16） （本小题 8 分） 已知函数 2 1 ( )23ln 2 f xxxx ()求曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程； ()求 f(x)的单调区间 (17) （本小题 8 分） 为了迎接冬奥会，某中学推广冰上运动，从全校学生中随机抽取了 100 人，统计是否爱 好冰上运动，得到如下的列表： 参考附表： 参考公式： 2 2 (
7、) ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中 nabcd (I) 补全 2x2 联表； （）能否在犯错误的概率不超过 005 的前提下认为“爱好冰上运动与性别有关？ 请说明理由 (18)(本小题 8 分) 2020 年 5 月 1 日起，北京市垃圾分类管理条例正式实施，某社区随机对 200 种垃 圾辨识度进行了随机调查，经分类整理得到下表： 辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数的比值 （）从社区调查的 200 种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾辨识度高的概率； （）从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记 X 为其中辨识度高的垃圾种数，求 X 的分布列
8、和数学期望 （19） （本小题 8 分） 已知函数 2 ( ) x f xxe ()求 f(x)的极值； （）若函数( )yf xax在定义域内有三个零点，求实数 a 的取值范围 (20)(本小题 8 分) 设集合 ,1,21 n Sn nn，若 X 是 n S的子集，把 X 中所有数的和称为 X 的“容 量”（规定空集的容量为 0），若 X 的容量为奇（偶）数，则称 X 为 n S的奇（偶）子集 （）当 n3 时，写出 n S的所有奇子集； （）求证：当 n3 时， n S的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和； （）当 n3 时，求 n S的所有奇子集的容量之和 参考答案 一、选择
9、题（共一、选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） （1）A （2）B （3）B （4）D （5）D （6）C （7）C （8）B （9）A （10）C 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分）分） （11） 5 8 （12） （13） 1 2 （14）42 （15）1 ln2 注： （注： （12）题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得）题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得4分，不选或错选得分，不选或错选得0分，分， 其他得其他得2分。分。 三、解答题（共三、解答题（共 5 小题，共小题，共
10、 40 分）分） （16） （共 8 分） 解：由题意可知函数( )f x的定义域为(0,) （）因为 2 1 ( )23ln 2 f xxxx， 所以 3 ( )2fxx x ， 1 分 (1)4f 2 分 因为 3 (1) 2 f ， 3 分 所以曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为8250 xy4 分 （） ( )f x的定义域为(0,) 5 分 因为 2 323(1)(3) ( )2 xxxx fxx xxx ， 由( )0fx ，得 1 1x ， 2 3x 6 分 因为函数( )f x的定义域为(0,)， 当x变化时，( )fx，( )f x的变化情况如下表： x (0
11、,3) 3 (3,) ( )fx 0 ( )f x 单调递减 极小值 单调递增 7 分 所以，( )f x的单调递增区间为(3,)， ( )f x的单调递减区间为(0,3) 8 分 （17） （共 8 分） 解： （） 爱好 不爱好 共计 男生 10 20 30 女生 40 30 70 共计 50 50 100 共需要填 6 个空，对 2 个空 1 分 对 4 个空 2 分 全对 4 分 （）由题可知， 2 2 () = ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，经过计算，4.762k ，7 分 参照附表，所以在犯错误的概率不超过的前提下， 可以认为“爱好冰上运动与性别有关
12、” 8 分 （18） （共 8 分） 解： （）由题意可知，样本中垃圾种类一共200种， 辨识度高的垃圾种数是：70 0.9 60 0.6 30 0.9 40 0.6 150+=1 分 所求概率为 150 0.75 200 3 分 （）X的可能取值为0,1,2,3 4 分 依题意可知，(3,0.6)XB 03 3 (0)(1 0.6)0.064P XC=， 12 3 (1)0.6(1 0.6)0.288P XC=， 22 3 (2)0.6 (1 0.6) 0.432P XC=， 33 3 (3)0.60.216P XC= 6 分 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.064 0.288
13、 0.432 0.216 7 分 ()3 0.61.8E X 8 分 0.05 （19） （共 8 分） 解：由题意可知函数的定义域为 （）因为， 所以 1 分 由，得， 2 分 当变化时，的变化情况如下表： 单调递增 单调递减 单调递增 3 分 因此，当时，有极大值，并且极大值为； 当时，有极小值，并且极小值为 4分 （全对给1分） （）因为， 所以 所以为一个零点 所以“函数在定义域内有三个零点”可以转化为 “方程有两个非零实根” 5 分 令，则， 所以，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增 当时，有最小值 6 分 若方程有两个非零实根，则a，即 1 e a 又0a，(, 1)x ，e
14、0 x xa恒成立，不存在零点，7 分 所以0a 综上， ( )f xR 2 ( )exf xx 22 ( )2eee(2 )e(2) xxxx fxxxxxxx ( )0fx 1 2x 2 0 x x( )fx( )f x x(, 2) 2 ( 2,0) 0 (0,) ( )fx 00 ( )f x 2 4 e 0 2x( )f x 2 4 ( 2) e f 0 x( )f x(0)0f ( )yf xax 2 ()ee xx axyxxxa 0 x 2ex xayx exax ( )exh xx( )ee(1) e xxx hxxx 1x( )0h x ( )h x(, 1) 1x( )0
15、h x ( )h x( 1,) 1x( )h x 1 ( 1) e h exax 1 ( 1) e h 1 0 e a 所以当时，函数在定义域内有三个零点 8 分 （20） （共 8 分） （）解：当3n时，3,4,5 n S n S的所有奇子集为35 3,4 4,5， ， 3 分（少写或写错扣 1 分） （）证明：首先证明 n S的奇子集与偶子集个数相等 设奇数 n kS，对于 n S的每个奇子集A， 当kA时，取 |Bx xA且xk 当kA时，取 BAk，则B为 n S的偶子集 反之，亦然 所以， n S的奇子集与偶子集是一一对应的 所以， n S的奇子集与偶子集个数相等 对于 n iS ，1i，含i的 n S的子集共有 1 2 n 个， 4 分 其中必有一半是奇子集，一半是偶子集，从而对于每个数i，在奇子集的和与 偶子集的和中，i所占的个数是一样的 所以 n S的所有奇子集的容量的和与所有偶子集的容量的和相等 6 分 （）解：由于每个元素在奇子集中都出现 2 2 n 次，故奇子集的容量和为 23 (121) 2(31) 2 nn nnnn n L 8 分 1 (,0) e a ( )yf xax
