1、 上海市嘉定区 2019-2020 学年第二学期封浜高级中学 高二年级数学期末质量调研 （满分（满分 150 分，时间分，时间 120 分钟）分钟） 一一.填空题（本大题满分填空题（本大题满分 54 分）本大题共有分）本大题共有 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分考生应在答分考生应在答 题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1抛物线 2 4yx的焦点坐标为 . 2平面直角坐标系中点)2 , 1 (到直线012 yx的距离为 3若复数z满足(1 i)4z（i是虚数
2、单位） ，则z的虚部是 . 4世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有 种不同的 组合 5侧棱长为3,底面面积为8的正四棱柱的体对角线的长为 . 6双曲线 22 1 33 xy 的两条渐近线的夹角大小为 . 7底面半径和高均为3的圆柱的表面积为 8双曲线 2 2 1 y x m 的虚轴长是实轴长的2倍，则m 9已知空间直角坐标系中，某二面角-l-的大小为，0 2 ，半平面和的一 个法向量分别为 1 (1,3,0)n ， 2 (0,2,4)n ，则 (结果用反三角函数 值表示) 10 二项式 3 1 (2)x x 的展开式中各项系数的和是 11有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是
3、5 厘米，高是 10 厘米，容器内放着 49 个半径为 1 厘米的玻璃球，在向容器倒满水 后，再把玻璃球全部取出，则此时容器内水面的高度 为 厘米 12已知定点(0,2)P，点Q在抛物线 2 4xy上运动，若复数 12 zz、在复平面内分别对应 点PQ、的位置，且 12 zzz，则z的最小值为 二二.选择题（本大题满分选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答 题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分
4、. 13空间内，异面直线所成角的取值范围是（ ） (A) (0,) 2 (B) (0, 2 (C) 0,) 2 (D) 0, 2 14.“ 1 4 a ”是“直线(1)310axay 与直线(1)(1)30axay相互垂直” 的 （ ）. （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 15曲线 22 :21xxyy的图像( ) (A)关于轴对称 (B)关于原点对称，但不关于直线对称 (C)关于轴对称 (D)关于直线对称，也关于直线对称 16下列命题中，正确的命题是( ) (A) 若 1 z、 2 z C， 12 0zz，则 12 zz (B) 若z
5、R，则 2 |z zz不成立 (C) 12 zz C、， 12 0zz，则 1 0z 或 2 0z (D) 12 zz C、， 22 12 0zz，则 1 0z 且 2 0z 三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 76 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤. 17. （本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，个小题，第第 1 小题满分小题满分 7 分，第分，第 2 小题满分小题满分 7 分分 已知复数2 i ，im，mR. （1）若2，求实数m
6、的取值范围； （2）若是关于x的方程 2 100 ()xnxnR的一个根，求实数m与n的值. xyx yyxyx 18.(本题满分本题满分 14 分）分）本题共本题共 2 小题，小题，第（第（1）小题）小题 7 分，第（分，第（2）小题）小题 7 分分. 如图，长方体 1111 BABCACDD中，2ABBC，直线 1 AC与平面ABCD所成的角的 大小为 4 （1）求三棱锥 1 AABD的体积； （2）求异面直线 1 A B与 1 B C所成角的大小 19.（本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，个小题，第第 1 小题满分小题满分 8 分，第分，第 2 小题满分小题
7、满分 6 分分 已知 4 1 () 2 n x x 的二项展开式中，第三项的系数为7 （1）求证：前三项系数成等差数列； （2）求出展开式中所有有理项（即x的指数为整数的项） 20.(本题满分本题满分 16 分）本题共分）本题共 3 小题，第小题，第（1）小题小题 4 分，第分，第（2）小题小题 6 分，第分，第（3）小题小题 6 分分. 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ：的左右顶点分别是( 2,0)(2,0)AB，点 1 ( 3,) 2 在椭圆上过该椭圆上任意一点P作PQx轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且 QPPC （1）求椭圆的方程； （2）求动点C的轨迹E的方程；
8、 （3） 设直线AC（C点不同于A B、） 与直线2x交 于R，D为线段RB的中点， 证明： 直线CD与曲线E 相切 21. (本题满分本题满分 18 分分)本题共有本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3 小题满小题满 分分 8 分分 在平面直角坐标系中，O为坐标原点已知曲线C上任意一点( ,)P x y（其中0 x） 到定点(1,0)F的距离比它到y轴的距离大 1. （1）求曲线C的轨迹方程； （2）若过点(1,0)F的直线l与曲线C相交于不同的, A B两点，求OA OB的值； （3）若曲线C上不同的两点M、N
9、满足0,OM MN求ON的取值范围 参考答案 （满分（满分 150 分，时间分，时间 120 分钟）分钟） 考生注意：考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚 2请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、请按照题号在答题纸各题答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、 试题卷上答题无效试题卷上答题无效 3本试卷共有本试卷共有 21 道试题，可以使用规定型号计算器道试题，可以使用规定型号计算器 一一.填空题（本大题满分填空题（本大题满分 54 分）本大题
10、共有分）本大题共有 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分考生应在答分考生应在答 题纸相应题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1抛物线 2 4yx的焦点坐标为 . (1,0) 2平面直角坐标系中点)2 , 1 (到直线012 yx的距离为 5 3若复数z满足(1 i)4z（i是虚数单位） ，则z的虚部是 . 2 4世界杯小组赛，从四支队伍中出线两支队伍，则出线队伍共有 种不同的 组合 2 4 6C 5侧棱长为3,底面面积为8的正四棱柱的体对角线的长为 . 5 6双曲线 2
11、2 1 33 xy 的两条渐近线的夹角大小为 . 2 7底面半径和高均为3的圆柱的表面积为 36 8双曲线 2 2 1 y x m 的虚轴长是实轴长的2倍，则m 4 9已知空间直角坐标系中，某二面角-l-的大小为，0 2 ，半平面和的一 个法向量分别为 1 (1,3,0)n ， 2 (0,2,4)n ，则 (结果用反三角函数 值表示) 3 2 arccos 10 10二项式 3 1 (2)x x 的展开式中各项系数的和是 27 11有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是 5 厘米，高是 10 厘米，容器内放着 49 个半径 为 1 厘米的玻璃球，在向容器倒满水后，再把玻璃球全部取出，则此时容 器
12、内水面的高度为 厘米6 12已知定点(0,2)P，点Q在抛物线 2 4xy上运动，若复数 12 zz、在复平 面内分别对应点PQ、的位置，且 12 zzz，则z的最小值为 2 二二.选择题（本大题满分选择题（本大题满分 20 分）本大题共有分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答 题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分分，否则一律得零分. 13空间内，异面直线所成角的取值范围是（ B ） (A) (0,) 2 (B) (0, 2 (C) 0,) 2 (D
13、) 0, 2 14.“ 1 4 a ”是“直线(1)310axay 与直线(1)(1)30axay相互垂直” 的 （ A ）. （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 15曲线 22 :21xxyy的图像( D ) (A)关于轴对称 (B)关于原点对称，但不关于直线对称 (C)关于轴对称 (D)关于直线对称，也关于直线对称 16下列命题中，正确的命题是( C ) (A) 若 1 z、 2 z C， 12 0zz，则 12 zz (B) 若zR，则 2 |z zz不成立 (C) 12 zz C、， 12 0zz，则 1 0z 或 2 0z (D
14、) 12 zz C、， 22 12 0zz，则 1 0z 且 2 0z 三解答题（本大题满分三解答题（本大题满分 76 分）本大题共有分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤规定区域内写出必要的步骤. 17. （本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，个小题，第第 1 小题满分小题满分 7 分，第分，第 2 小题满分小题满分 7 分分 已知复数2 i ，im，mR. xyx yyxyx （1）若2，求实数m的取值范围； （2）若是关于x的方程 2 100 ()xnxnR的一个根，求实数m与
15、n的值. 解: （1）5 2 分 于是 2 22224im imim 4 分 又2 ，所以 2 242 5m，解得：62m . 6 分 所以实数m的取值范围为(6, 2 ). 7 分 （2）因为mi（mR）是方程 2 100 ()xnxnR的一个根， mi（mR）也是此方程的一个根，9 分 于是 10 mimin mimi 11 分 解得 3 6 m n 或 3 6 m n ，且满足 2 ()4 130,n 13 分 所以 3 6 m n 或 3 6 m n 14 分 18.(本题满分本题满分 14 分）分）本题共本题共 2 小题，小题，第（第（1）小题）小题 7 分，第（分，第（2）小题）小
16、题 7 分分. 如图，长方体 1111 BABCACDD中，2ABBC，直线 1 AC与平面ABCD所成的角的 大小为 4 （1）求三棱锥 1 AABD的体积； （2）求异面直线 1 A B与 1 B C所成角的大小 解： （1）联结AC， 因为 1 AAABCD平面， 所以 1 ACA就是直线 1 AC与平面ABCD所成的角，2 分 所以 1 4 ACA ，所以 1 2 2AA 4 分 所以 11 1 14 2 33 A BDABDABDAA VVSA A 7 分 （2）联结 1 AD，BD 因为 11/ / ABCD，所以 11 / /ADBC 所以 1 BAD就是异面直线 1 A B与
17、1 B C所成的角或其补角10 分 在 1 BAD中， 222 1 (2 3)(2 3)(2 2)2 cos 32 2 32 3 BAD 所以 1 2 arccos 3 BAD13 分 所以异面直线 1 A B与 1 B C所成角的大小是 2 arccos 3 14 分 19.（本题满分（本题满分 14 分）本题共有分）本题共有 2 个小题，个小题，第第 1 小题满分小题满分 8 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分分 已知 4 1 () 2 n x x 的二项展开式中，第三项的系数为7 （1）求证：前三项系数成等差数列； （2）求出展开式中所有有理项（即x的指数为整数的项） 解： （1
18、） 3 2222 2 3 4 11 ()() 42 n- n nn TCxC x x 2 分 22 1 7288 4 nn CCn，4 分 所以前三项分别为 0804 18 4 1 () () 2 TCxx x ， 13 171 4 28 4 1 () ()4 2 TCxx x ， 5 262 2 38 4 1 () ()7 2 TCxx x 7 分 所以前三项系数分别为1,4,7，即前三项系数成等差数列8 分 （2） 3 4 8 4 188 4 11 ()(),0,1,2,7,8 22 r rrrr r r TCxC xr x 10 分 0,4,8r 时，展开式中x的指数为整数， 所 以 展
19、 开 式 中 所 有 有 理 项 为 ： 0804 18 4 1 () () 2 TCxx x 、 3 48 1 7 8 TC xx、 82 88 2 11 256256 TC x x 14 分 20.(本题满分本题满分 16 分）本题共分）本题共 3 小题，第小题，第（1）小题小题 4 分，第分，第（2）小题小题 6 分，第分，第（3）小题小题 6 分分. 已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab ：的左右顶点分别是( 2,0)(2,0)AB，点 1 ( 3,) 2 在椭 圆上过该椭圆上任意一点P作PQx轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且 QPPC （1）求椭圆的方程； （2）求
20、动点C的轨迹E的方程； （3） 设直线AC（C点不同于A B、） 与直线2x交 于R，D为线段RB的中点， 证明： 直线CD与曲线E 相切 解： （1）由题意可知 2 4a 且 2 2 31 11 44 b b ，2 分 所以椭圆方程为1 4 2 2 y x 4 分 （2）设( , )C x y，则由QPPC可得 1 ( ,) 2 P xy， 6 分 又 1 ( ,) 2 P xy在椭圆1 4 2 2 y x 上，可知 22 4xy，9 分 所以动点C的轨迹E的方程是 22 4xy10 分 （3）设( , )C m n，(2, )Rt，由题意可知A CR、 、三点共线，所以ACAR， 因为(2
21、, )ACmn，(4, )ARt，则 4 4(2) 2 n nt mt m ，即 4 (2,) 2 n R m ， 12 分 2 (2,) 2 n D m ，从而 2 2 2 24 CD n n mn m k mm ，又 22 4mn， 故 22 4 CD mnmnm k mnn :()40 CD m lynxmmxny n 14 分 则圆心到直线CD的距离 22 4 2dr mn 15 分 所以直线CD与曲线E相切 16 分 21. (本题满分本题满分 18 分分)本题共有本题共有 3 个小题，第个小题，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 6 分，第分，第 3
22、小题满小题满 分分 8 分分 在平面直角坐标系中，O为坐标原点已知曲线C上任意一点( ,)P x y（其中0 x） 到定点(1, 0)F的距离比它到y轴的距离大 1. （1）求曲线C的轨迹方程； （2）若过点(1, 0)F的直线l与曲线C相交于不同的, A B两点，求OA OB的值； （3）若曲线C上不同的两点M、N满足0,OM MN求ON的取值范围 解： （1）依题意知，动点P到定点F(1, 0)的距离等于P到直线1x的距离，曲线C是 以原点为顶点，F(1, 0)为焦点的抛物线2 分 1 2 p 2p 曲线C方程是 2 4yx4 分 （2）当l平行于y轴时，其方程为1x ，由 2 1 4 x
23、 yx 解得(1,2)A、(1, 2)B 此时=14=3OA OB6 分 当l不平行于y轴时，设其斜率为k， 则由 2 (1) 4 yk x yx 得 2222 (24)0k xkxk 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy则有 12 1x x ， 2 12 2 24 + k xx k 8 分 12121212 =(1) (1)OA OB x xy yx xk xk x 222 1212 (1)()kx xkxxk 2 222 2 24 =1+1 43 k kkk k 10 分 （3）设 22 12 12 (,),(,) 44 yy MyNy 222 121 121 (,),(,) 44 yyy OMyMNyy 12 分 0OM MN 0)( 16 )( 121 2 1 2 2 2 1 yyy yyy 0, 121 yyy，化简得) 16 ( 1 12 y yy14 分 6432256232 256 2 1 2 1 2 2 y yy14 分 当且仅当 4,16, 256 1 2 1 2 1 2 1 yy y y时等号成立16 分 2 22222 2 222 1 |()(8)6464 44 y ONyyy，又 当 2 22min 64,8 |8 5|yyONON，故的取值范围是),5818 分
