1、数学试题（第 1 页共 4 页） 准考证号 姓名 . （在此卷上答题无效）（在此卷上答题无效） 2019201920202020 学年度福州市高一第二学期期末质量检测学年度福州市高一第二学期期末质量检测 数 学 试 题 （完卷时间 120 分钟；满分 150 分） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页 注意注意事项事项： 1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名考 生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、 姓名” 与考生本人准考证号、 姓名是否一致 2. 第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对
2、应题目的答案标号涂黑如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用0.5毫米黑色签字笔 在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第 卷第 卷 一、一、单项单项选择题：本大题共选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，分，共共 4040 分分在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 1. 设集合0,1,2,3,4,5A =，集合2,3,4B =，则 AB = A0,1 B1,5 C0,1,5 D0,1,2,3,4,5 2. 函数()lg 2+yxx=的定义域为
3、A(0,2) B)0,2 C0,2 D)0,+ 3. 设, x y满足约束条件 1, 0, 1, y xy xy + 则2zxy=的最小值为 A2 B1 C 1 2 D5 4. 已知 0.5 log3a =， 0.5 3b =， 0.5 0.5c =，则 Aabc Bbac Cacb Dcab 5. 任意三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这个结论首先是由瑞士数学家欧拉 （Euler，1707-1783）发现，因此，这条直线被称为三角形的欧拉线已知ABC的 顶点()5,0B，()0,1C，且ABAC=，则ABC的欧拉线方程为 A5 120 xy= B5240 xy= C5120 xy+=
4、D50 xy= 数学试题（第 2 页共 4 页） 6. 下列函数中，既是偶函数，又在区间()0,1上单调递增的是 A 1 ( )f xx x =+ B 2 ( )logf xx= C 1 2 ( )logf xx= D( )ee xx f x =+ 7. 已知数列 n a满足123 n an= +，则 122 020 111 aaa += A 2 020 2 021 B 2 019 1010 C 2 019 2 020 D 4 040 2 021 8. 若平面内两定点,A B 之间的距离为 2，动点P满足2PBPA=，则tanABP的最大 值为 A 2 2 B1 C2 D3 二二、多项选择题：
5、本题共多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的四个选项中，分在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求有多项符合题目要求全部选对的得全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分 9. 在ABC中，,4ABAC BC=，D为BC的中点，则以下结论正确的是 ABDADAB= B () 1 2 ADABAC=+ C8BA BC= DABACABAC+= 10. 已知函数( )sin 3 f xx =+ ，则以下判断正确的是 A2是( )f x的最小正周期 B,0 3 2 是
6、( )f x图象的一个对称中心 C 3 x = 是( )f x图象的一条对称轴 D 7 , 66 是( )f x的一个单调递减区间 11. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某三棱锥的三视图，则下列判 断正确的是 A该三棱锥的体积为 4 3 B该三棱锥的表面积为65+ C该三棱锥的各个面都是直角三角形 D该三棱锥的各条棱中，最长的棱的长度为21 12. 已知( )f x是定义域为(), +的奇函数，满足( )(2)f xfx=若(1)1f=，则下列 判断正确的是 A( )31f= B4 是( )f x的一个周期 C(2018)(2019)(2020)1fff+= D( )f x
7、必存在最大值 数学试题（第 3 页共 4 页） 第卷第卷 注意事项：注意事项： 用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效 三三、填空题：、填空题：本大题共本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分分，共，共 2020 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点( 4,3)，则 cos= 14. 在等比数列 n a中， 2 214 aa a=，则 n a的公比为 15. 某企业开发一种产品，生产这种产品的年固定成本为 3600 万元，每生产x千件，需投 入成本( )c x万元， 2 (
8、 )=10c xxx+若该产品每千件定价a万元，为保证生产该产品不 亏损，则a的最小值为 16. 在三棱锥ABCD中，1ABCD=，2ADBC=，90ABC=，则该三棱锥的外 接球的表面积为 ，该三棱锥的体积的最大值为 四四、解答题：、解答题：本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤 17. （本小题满分 10 分） 已知函数 2 ( )(12 )2f xaxa x=+， （1）若2a =，求不等式( )0f x 的解集为 1 , 3 b ，求ab+的值. 18. （本小题满分 12 分） 已知函数()
9、( )sin 2 4 f xxm m =+ R. （1）求( )f x的单调递增区间； （2）试给出m的一个值，使得( )f x在 0, 2 上有两个零点，并说明理由. 19. （本小题满分 12 分） 已知 n a是公比为q的无穷等比数列，其前n项和为 n S，满足 5 96a =，_.该数 列是否满足对于任意的正整数n，都有3072 n S ？若是，请给予证明；否则，请说明 理由. 从 2q = ， 1 2 q =，2q = 这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 数学试题（第 4 页共 4 页） 20. （本小题满分 12 分） 已知
10、ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，且33 cossin .abCcB=+ （1）求B； （2）设2b =，求sinsinAC的最大值. 21. （本小题满分 12 分） 在直三棱柱 111 ABCABC中，,D E分别为 1 AC， 1 BC的中点. （1）证明：DE平面 111 ABC； （2） 若 1111 2 2,2,ABBCAAAC=证明： 1 C E 平面 1 ACB. 22. （本小题满分 12 分） 已知, ,A B C为圆 22 1xy+=上的 3 个不同的动点，且坐标原点O在ABC的内部. （1）若 6 ACB =，则是否存在以O为圆心且与动直线AB恒
11、相切的定圆，若存在， 求出该圆的方程，若不存在，请说明理由； （2）若 3 2 OA OBOB OCOA OC+= ，求ABC的面积. D E A1 A C1C B1B 数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 10 页） 2 201901920202020 学年度福州市高一第二学期期末质量检测学年度福州市高一第二学期期末质量检测 数学参考答案及评分细则 评分评分说明：说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的
12、程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、一、单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分 1C 2B 3B 4C 5A 6D 7D 8B 二二、多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分 9BC 10ABD 11ACD 12BCD 三三、填空题：本大题共、填空题：本大题共 4 4 小题，
13、每小题小题，每小题 5 5 分分，共，共 2020 分分 13 4 5 141 15130 16 2 5 5, 15 四四、解答题：本大题共、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分分 17.（本小题满分 10 分） 【命题意图】本小题以一元二次函数为载体，考查一元二次不等式、一元二次方程的 根等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算 等核心素养，体现基础性、综合性 【解析】解法一： （1）因为2a =， 2 ( )(12 )2f xaxa x=+且( )0f x ， 则 2 2320 xx， 1 分 解得 1 2 2 x的解集为 1 , 3 b
14、 ， 即关于x的不等式 2 (12 )20axa x+的解集为 1 , 3 b ， 数学参考答案及评分细则 第 2 页（共 10 页） 所以0a 的解集为 1 , 3 b ， 即关于x的不等式 2 (12 )20axa x+的解集为 1 , 3 b ， 所以0a 的解集为 1 , 3 b ， 所以关于x的不等式 2 (12 )20axa x+的解集为 1 , 3 b ， 即关于x的不等式()()210 xax+的解集为 1 , 3 b ， 所以0a ，且 1 2x a ， 6 分 数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 10 页） 所以 11 , 3 2, a b = = 8 分 解得 3,
15、2, a b = = 9 分 所以 1ab+= . 10 分 18.（本小题满分 12 分） 【命题意图】本小题以三角函数为载体，考查三角函数的单调性，函数的零点等基础 知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素 养，体现基础性、综合性 【解析】解法一：(1)因为( )sin 2 4 f xxm =+ 令 2 22, 242 kxkk+Z， 3 分 得 3 , 88 kx kk +Z ， 5 分 所以函数( )f x的单调递增区间为 3 , ,() 88 kkk + Z. 6 分 （2）当 2 2 m =时，( )f x在 0, 2 上有两个零点. 7 分 理由
16、如下： 2 ( )sin 2 42 f xx =+ 在 0, 2 上有两个零点， 等价于 2 sin 2 42 x += 在 0, 2 上有两个根， 8 分 因为 0 2 x ，所以 5 2 444 x +， 所以2 44 x +=，或2 44 x 3 +=， 10 分 解得0 x =，或 4 x =. 所以当 2 2 m =时，( )f x在 0, 2 上有两个零点. 12 分 解法二： （1）略，同解法一； 数学参考答案及评分细则 第 4 页（共 10 页） （2）因为函数( )f x在 0, 2 上有两个零点， 所以关于x的方程sin 20 4 xm += 在 0, 2 上有两个不同的实
17、根， 即关于x的方程 sin 2 4 mx =+ 在 0, 2 上有两个不同的实根. 7 分 因为 0 2 x ，所以 5 2 444 x +， 要使直线ym=与函数 sin 2 4 yx =+ 的图象在 0, 2 上有两个交点， 则 3 2 444 x +，且 2 42 x +， 9 分 所以 2 sin 21 24 x + ， 所以 2 1 2 m . 11 分 所以当m在 2 ,1 2 任取一个值，函数( )f x在 0, 2 上有两个零点. 12 分 19.（本小题满分 12 分） 【命题意图】 本小题考查等比数列、 不等式恒成立等基础知识； 考查运算求解能力、 推理论证能力；考查化归
18、转化思想；考查数学运算、逻辑推理等学科素养；体现基 础性、开放性 【解析】解法一：选条件，结论不成立. 2 分 理由如下： 当2q =时，由 5 96a =知， 5 1 44 96 6 2 a a q =， 4 分 所以 1 6 (12 ) =6 (21)3 26 12 n nn n S + = ， 7 分 令 1 3 26 3072 n+ ，得 1 3078 21026 3 n+ =， 9 分 又因为 * nN，所以10n且 * nN. 11 分 因此，当10n时，3072 n S ，结论不成立. 12 分 解法二：选条件，结论成立. 2 分 证明如下： 数学参考答案及评分细则 第 5 页（
19、共 10 页） 当 1 2 q =时，由 5 96a =知， 5 1 44 96 1536 1 2 a a q = ， 4 分 所以 1 1536 (1) 1 2 =3072(1)3072 1 2 1 2 n n n S = 10 分 对于任意的正整数n，3072 n S ，所以3cossinBB=， 4 分 所以tan3B =， 5 分 数学参考答案及评分细则 第 6 页（共 10 页） 又因为0B，所以3cossinBB=， 4 分 所以 2sin0 3 B = ， 5 分 0B ， 2 , 3333 BB=. 6 分 （2）sinsin=sinsin() 3 ACAA + 13 =sin(sincos) 22 AAA+ 2 13 =sinsincos 22 AAA+ 113 =cos2sin2 444 AA+ 数学参考答案及评分细则 第 7 页（共 10 页） 11 =+sin 2 426 A 9 分 因为 2 0 3 A，所以 7 2 666 A， 设O到AB的距离为d，则 22 1 2 14 mm d km = + ， 10 分 所以 2 1 2 13 2 AB = ， 11 分 所以 1 2 OAB SAB d = 113 3. 224 = 又因为点O为ABC的重心， 所以ABC的面积 3 3 3 4 ABCOAB SS= . 12 分
