1、一、二次根式的概念(0).a a 代数式叫做二次根式2.被开方数被开方数a可为整式或分式可为整式或分式.1.二次根式的两个特征：二次根式的两个特征：（1）根指数为）根指数为 2（2）被开方数大于等于）被开方数大于等于0形形质质如如222212,1,4(4),(2)32abac bacxx等，都是二次根式等，都是二次根式练习练习1：x取何值时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?(1)21(2)3xx12x 0 x12x 21(3)(4)121xx21(5)1xxx取一切实数112xx且求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数大于等于零；被开
2、方数大于等于零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。多个条件组合时，应用不等式组求解多个条件组合时，应用不等式组求解练习练习2：（1）已知：）已知：，求：求：的平方根的平方根.442yxx=-+-+yx（2）已知：）已知：，求：求：的值的值.43aaa-+-=aaaa 3.二次根式的双重非负性二次根式的双重非负性经常作为隐含条件，是解题的关键经常作为隐含条件，是解题的关键例例 已知，求已知，求xy的值的值130 xy-+=解：解：，1x-3y+130 xy-+=，1x-3y+x，yxy初中阶段的三个非负数：初中阶段的三个非负数：a|a2a(a)200,0|00,
3、0|00,0.abababababab+=+=+=二、二次根式的性质21 aa a0、（）（）22 a|a|、（）-a(a-a(a0)0)a (a0)a (a0)=0 (a=0)0 (a=0)=(a0,b0aabb4、）=a0,b0abab3、（）2.从取值范围来看,2a2a a0a0a a取任何实数取任何实数1:从运算顺序来看,2a2a先开方先开方,后平方后平方先平方先平方,后开方后开方区别:22()aa与3.3.从运算结果来看从运算结果来看:=a=aa (aa (a 0)0)2a2a-a (a-a (a0)0)=a a(1)若若 ，则，则 的取值范围是（的取值范围是（）?(2)已知：已知：
4、化简：化简：22)2xx（-=-x21+1 2+y-20 xx244yyx(3)若若 则则 的取值范围是的取值范围是 （）3322xxxx-=-三、最简二次根式和同类二次根式化简后满足条件：化简后满足条件：1.被开方数中各因式的指数都为被开方数中各因式的指数都为1；2.被开方数不含分母被开方数不含分母 的二次根式叫做的二次根式叫做最简二次根式最简二次根式。化简后被开方数相同的几个二次根化简后被开方数相同的几个二次根式叫做式叫做同类二次根式同类二次根式。练习练习41.下列二次根式中，属于最简二次根式的下列二次根式中，属于最简二次根式的是（是（）1.8.2.22xDxCBxAD2.在二次根式：在二
5、次根式：中与中与 是同类二次根式的是（是同类二次根式的是（）123232273A.和和 B.和和 C.和和 D.和和C322236333.如果最简根式如果最简根式 与与 是同类是同类根式，那么使根式，那么使 有意义的有意义的 的取值的取值范围是（范围是（）4.已知已知 与与 是最简同类根式，是最简同类根式，求求 的值的值2xyyxab22yxab38a172a42axxxy四、分母有理化1.把分母中的根号化去叫做把分母中的根号化去叫做分母有理化分母有理化。2.两个含有二次根式的非零代数式相两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，乘，如果它们的积不含有二次根式，则这两个二次
6、根式互为则这两个二次根式互为有理化因式有理化因式。练习练习5(1)二次根式二次根式 的有理化因式是（的有理化因式是（）(2)二次根式二次根式 的有理化因式是（的有理化因式是（）(3)二次根式二次根式 的有理化因式是（的有理化因式是（）(4)分母有理化：分母有理化：和和+ab+a b+ba451()mnmnmn(5)计算：计算：11112+1324310099五、二次根式的运算乘除法：乘除法：加减法：加减法：一般把根式化为最简二次根一般把根式化为最简二次根式，再把被开方数相同的根式即同类式，再把被开方数相同的根式即同类二次根式合并。二次根式合并。=a0,b0abab（）=(a0,b0aabb）练
7、习练习6 计算：计算：(1)(2)(3)(4)110.52(75)3811366224xxxx22312223yxxxyy214(73)3732二次根式的性质二次根式的性质二次根式的运算二次根式的运算二次根式二次根式2 2(a a)=a a(a a0 0)ab=ab(a0,b0)aa=(a0,b 0)bb二次根式的乘除二次根式的乘除二次根式的加减二次根式的加减二次根式的二次根式的混合运算混合运算a a0 0(a a0 0)2a(a0)a=a=-a(a 0)30、每一发奋努力的背后，必有加倍的赏赐。1.忘掉失败，不过要牢记失败中的教训。2.选择了自由，就得忍受孤寂。11.远大的目标非常重要，一定
8、要有成功的企图心，而且越大越好。7.没有哪种教育能及得上逆境。3.空想会想出很多绝妙的主意，但却办不成任何事情。5.积极者相信只有推动自己才能推动世界，只要推动自己就能推动世界。5.爱是一盏灯，黑暗中照亮前行的远方;爱是一首诗，冰冷中温暖渴求的心房;爱是夏日的风，是冬日的阳，是春日的雨，是秋日的果。2.成功与不成功之间有时距离很短只要后者再向前几步。4.成功就是简单的事情不断地重复做。11.我们可以失望，但不能盲目。8.你人的善良，你的决心，你的项目都可以，但是把这些看得太大，走的越大，想的越大，掉得越快。13.相信就是强大，怀疑只会抑制能力，而信仰就是力量。13.宁愿辛苦一阵子，不要辛苦一辈
9、子。16.在真实的生命里，每桩伟业都由信心开始，并由信心跨出第一步。6.人的痛苦只能在生活和劳动中慢慢消磨掉，但朋友，没有什么灵丹妙药比得上劳动更能医治人的精神创伤。8.世上最重要的事，不在于我们在何处，而在于我们朝着什么方向走。2.少年自有少年狂，藐昆仑，笑吕梁;磨剑数年，今将试锋芒。自命不凡不可取，妄自菲薄更不宜。6、时间，是靠自己去挤的。在你这一秒空闲的时候，时间又像脚底抹了油似的溜走了，只有去抓住它，它似乎才会停下脚步这时，你就可以做自己想做的事情。11.我们可以失望，但不能盲目。2.不是境况造就人，而是人造就境况。14、一个能从别人的观念来看事情，能了解别人心灵活动的人，永远不必为自己的前途担心。3.成熟的麦子低垂着头，那是在教我们谦逊;一群蚂蚁能抬走大骨头，那是在教我们团结;温柔的水滴穿岩石，那是在教我们坚韧;蜜蜂在花丛中忙碌，那是在教我们勤劳。18.我的人生格言是：走别人的路，让别人无路可走。6、时间，是靠自己去挤的。在你这一秒空闲的时候，时间又像脚底抹了油似的溜走了，只有去抓住它，它似乎才会停下脚步这时，你就可以做自己想做的事情。14.他依稀听见一支用口哨吹出的充满活力的歌在若耳边回想。这是赞美青春和生命的歌。3.别人永远对，我永远错，这样子比较没烦恼。
