1、1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 第1课时 函数的概念 一、函数的有关概念一、函数的有关概念 1.1.定义定义 非空数集非空数集 唯一确唯一确 定定 从集合从集合A A到集合到集合B B 2.2.相关名称相关名称 (1)(1)自变量是自变量是_._. (2)(2)函数的定义域是函数的定义域是_._. (3)(3)函数的值域是集合函数的值域是集合_ 3.3.函数的记法函数的记法 集合集合A A上的函数可记作：上的函数可记作：_或或_._. 思考：思考：任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？任何两个集合之间都可以建立函数关系吗？ 提示：提示：不能，只有非空数集之间才能建立函数关系不能，
2、只有非空数集之间才能建立函数关系. . x x 集合集合A A f(x)|xA.f(x)|xA. f f：ABAB y=f(x)y=f(x)，xAxA 二、区间及有关概念二、区间及有关概念 1.1.区间的定义区间的定义 条件：条件： _(a,b_(a,b为实数为实数).). 结论：结论： a ab b 区间区间 闭区间闭区间 开区间开区间 左闭右开区间左闭右开区间 左开右闭区间左开右闭区间 符号符号 a,ba,b _ _ _ (a,b)(a,b) a,b)a,b) (a,b(a,b 2.2.特殊区间的表示特殊区间的表示 定义定义 R R x|xax|xa x|xax|xa x|xax|xa x
3、|xax|xa 符号符号 _ a,+)a,+) _ _ ( (- -,a),a) ( (- -,+),+) (a,+)(a,+) ( (- -,a ,a 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，错误的打“”)”) (1)(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示区间表示数集，数集一定能用区间表示. ( ). ( ) (2)(2)数集数集x|x2x|x2可用区间表示为可用区间表示为2 2，+. ( ). ( ) (3)(3)若若a,2aa,2a表示一个区间，则表示一个区间，则aR.( )aR.( ) 提示：提示：(1)(1)不一定不一定. . 只有当数集是连续的，才能用区间表示只有
4、当数集是连续的，才能用区间表示. . (2)(2)不正确不正确. . 当用当用表示区间端点时，应用开区间表示表示区间端点时，应用开区间表示. . (3)(3)不正确不正确. . 若若a,2aa,2a表示一个区间，则必有表示一个区间，则必有2a2aa a，即，即 a a0.0. 答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3) 【知识点拨知识点拨】 1.1.对函数概念的理解对函数概念的理解 (1)(1)对集合对集合A A、B B的要求：集合的要求：集合A,BA,B为非空数集为非空数集. . (2)(2)函数三要素：对应关系函数三要素：对应关系“f:ABf:AB”表示表示A A到到B B的一个函数
5、，的一个函数， 它有三要素：定义域、对应关系和值域，三者缺一不可它有三要素：定义域、对应关系和值域，三者缺一不可. . (3)(3)任意性和唯一性：集合任意性和唯一性：集合A A中的数具有任意性，集合中的数具有任意性，集合B B中对应中对应 的数具有唯一性的数具有唯一性. . (4)(4)符号符号y=f(x)y=f(x)是是“y y是是x x的函数的函数”的数学表示的数学表示, ,应理解为应理解为:x:x是是 自变量，它是对应关系所施加的对象；自变量，它是对应关系所施加的对象；f f是对应关系，它既可是对应关系，它既可 以是解析式，也可以是图象、表格或文字描述等以是解析式，也可以是图象、表格或
6、文字描述等.y=f(x).y=f(x)仅仅仅仅 是函数符号，不能认为是函数符号，不能认为“y y等于等于f f与与x x的乘积的乘积”. . (5)(5)一个区别：一个区别：f(a)f(a)表示函数表示函数f(x)f(x)当自变量当自变量x x取取a a时的一个函数时的一个函数 值值. . 2.2.对区间的几点认识对区间的几点认识 (1)(1)区间是集合，是数集，区间的左端点必须小于右端点区间是集合，是数集，区间的左端点必须小于右端点. . (2)(2)用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点， 用空心点表示不包括在区间内的端点用空心点
7、表示不包括在区间内的端点. . (3)(3)在用区间表示集合时，开和闭不能混淆在用区间表示集合时，开和闭不能混淆. . (4)(4)“”是一个符号，不是一个数，它表示数的变化趋势是一个符号，不是一个数，它表示数的变化趋势. . 3.3.区间和数集的联系和区别区间和数集的联系和区别 类型类型 一一 函数的概念函数的概念 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013长沙高一检测长沙高一检测) )设设M=x|M=x|- -2x22x2，N=y|0y2N=y|0y2， 函数函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为M M，值域为，值域为N N，对于下列四个图象，不，对于下列四个图象，不 可
8、作为函数可作为函数y=f(x)y=f(x)的图象的是的图象的是( )( ) 2.2.下列对应是否是函数下列对应是否是函数. . (1)x (1)x ，x0 x0，xR.xR. (2)xy(2)xy，其中，其中y y2 2=x=x，xRxR，yR.yR. 【解题探究解题探究】1.1.当已知的对应关系用图象表示时，怎样判断当已知的对应关系用图象表示时，怎样判断 其是否为函数关系？其是否为函数关系？ 2.2.一般依据什么来说明一个对应关系是不是函数关系？一般依据什么来说明一个对应关系是不是函数关系？ 1 x 探究提示：探究提示： 1.1.可用垂直于可用垂直于x x轴的直线与已知图象的交点个数来判断，
9、若交轴的直线与已知图象的交点个数来判断，若交 点多于一个，则不是函数关系点多于一个，则不是函数关系. . 2.2.要判断一个对应是函数关系，应根据函数定义来判断要判断一个对应是函数关系，应根据函数定义来判断. . 【解析解析】1.1.选选C.C.由函数定义可知，任意作一条直线由函数定义可知，任意作一条直线x=ax=a，则与，则与 函数的图象至多有一个交点，结合选项可知函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C C中图象不表示中图象不表示y y 是是x x的函数的函数. . 2.(1)2.(1)是函数是函数. . 因为任取一个非零实数因为任取一个非零实数x x，都有唯一确定的，都有唯一确定的 与之
10、对应，符合函数定义与之对应，符合函数定义. . (2)(2)不是函数不是函数. .当当x=1x=1时，时，y=y=1 1，即一个非零自然数，即一个非零自然数x x，对应两，对应两 个个y y的值，不符合函数的概念的值，不符合函数的概念. . 1 x 【互动探究互动探究】题题2(2)2(2)中，若中，若x x2 2=y=y，其他不变，能否构成函数，其他不变，能否构成函数 关系？关系？ 【解析解析】能构成能构成. .对于任意一个对于任意一个x x值，都有唯一确定的值，都有唯一确定的y y值与之值与之 对应，由函数定义可知构成函数对应，由函数定义可知构成函数. . 【拓展提升拓展提升】判断一个关于判
11、断一个关于x,yx,y的等式是否能表示函数的方法的等式是否能表示函数的方法 (1)(1)判断依据是函数的定义，先看定义域和对应关系是否给出，判断依据是函数的定义，先看定义域和对应关系是否给出， 再根据给出的对应关系，判断定义域中的每一个值是否能在再根据给出的对应关系，判断定义域中的每一个值是否能在 值域中确定唯一的值值域中确定唯一的值. . (2)(2)要记住函数关系式中定义域有时可以省略，这时就约定这要记住函数关系式中定义域有时可以省略，这时就约定这 个函数的定义域是使得这个关系式有意义的所有实数构成的个函数的定义域是使得这个关系式有意义的所有实数构成的 集合，而并不表示这个函数的定义域不存
12、在集合，而并不表示这个函数的定义域不存在. . 【变式训练变式训练】如果函数如果函数f f：ABAB，其中，其中A=A=- -3,3,- -2,2,- -1,1,2,3,41,1,2,3,4， 对任意对任意aAaA，在，在B B中都有唯一确定的中都有唯一确定的|a|a|和它对应，则函数的值和它对应，则函数的值 域为域为 . . 【解析解析】由题意知，对由题意知，对aAaA，|a|B|a|B，故函数的值域为，故函数的值域为 1,2,3,4.1,2,3,4. 答案：答案：1,2,3,41,2,3,4 类型类型 二二 用区间表示数集用区间表示数集 【典型例题典型例题】 1.1.用区间表示数集用区间表
13、示数集x|x2x|x2或或x x33为为_._. 2.2.已知全集已知全集U=RU=R，A=x|1A=x|1x5x5，则，则 用区间表示为用区间表示为_._. 【解题探究解题探究】1.1.数集中的数集中的“且且”“”“或或”转为区间时应怎样表示？转为区间时应怎样表示？ 2.2.用区间表示的数集和用集合表示的数集时在进行运算时相同用区间表示的数集和用集合表示的数集时在进行运算时相同 吗？吗？ 探究提示：探究提示： 1.1.用区间表示数集时，用区间表示数集时，“且且”转化为转化为“”，“或或”转化为转化为 “”. . 2.2.用区间表示的数集和用集合表示数集时在进行运算时是相用区间表示的数集和用集
14、合表示数集时在进行运算时是相 同的，没有本质区别同的，没有本质区别. . 【解析解析】1.x|x21.x|x2或或x x33用区间表示为用区间表示为( (- -,2,2(3,+).(3,+). 答案：答案：( (- -,2,2(3,+)(3,+) 2.2.由题意知，由题意知， =x|x1=x|x1或或x x5,5,用区间表示为用区间表示为 ( (- -,1,1(5,+).(5,+). 答案：答案：( (- -,1,1(5,+)(5,+) 【拓展提升拓展提升】用区间表示数集的两个注意点用区间表示数集的两个注意点 (1)(1)弄清区间的含义，掌握一般区间形式所对应的数集弄清区间的含义，掌握一般区间
15、形式所对应的数集. . (2)(2)注意数集中的符号注意数集中的符号“”“”“”“”“”及及“”与区间中与区间中 的符号的符号“”“”“”“”“( (”“”“) )”的对应关系的对应关系. . 【变式训练变式训练】用区间表示数集用区间表示数集x|x|- -6x6x- -2 2或或2x12.2x12. 【解析解析】数集数集x|x|- -6x6x- -2 2或或2x122x12用区间表示为用区间表示为( (- -6 6，- -2 2 (2,12(2,12. . 类型类型 三三 简单的函数定义域及函数求值问题简单的函数定义域及函数求值问题 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013揭阳高一检
16、测揭阳高一检测) )函数函数y= y= 的定义域是的定义域是_._. 2.2.已知矩形的周长为已知矩形的周长为1,1,它的面积它的面积S S与矩形的一条边长与矩形的一条边长x x之间的函之间的函 数关系式为数关系式为_，其定义域为，其定义域为_._. 3.3.已知函数已知函数f(x)f(x) (xR(xR且且xx1)1)，函数，函数g(x)g(x)x x2 22 2 (xR)(xR) (1)(1)求求f(2)f(2)，g(2)g(2)的值的值. . (2)(2)求求f(g(2)f(g(2)的值的值 2 x2 x4 1 1x 【解题探究解题探究】1.1.函数的定义域指的是什么？函数的定义域指的是
17、什么？ 2.2.根据题根据题2 2的实际意义，求函数解析式的关键是什么？自变量的实际意义，求函数解析式的关键是什么？自变量 要满足哪些条件？要满足哪些条件？ 3.3.如何求形如如何求形如f(g(x)f(g(x)的函数值？的函数值？ 探究提示：探究提示： 1.1.函数的定义域就是指使函数解析式有意义的自变量的取值函数的定义域就是指使函数解析式有意义的自变量的取值 的集合的集合. . 2.2.求该函数解析式的关键是用求该函数解析式的关键是用x x表示出矩形的另外一条边长表示出矩形的另外一条边长. . 可以由矩形的两条边长都大于零列出自变量所满足的条件可以由矩形的两条边长都大于零列出自变量所满足的条
18、件. . 3.3.求形如求形如f(g(x)f(g(x)的函数值时，可先求的函数值时，可先求g(x)g(x)的值，再求的值，再求f(g(x)f(g(x) 的值，即由内到外的值，即由内到外. . 【解析解析】1.1.要使函数解析式有意义，需满足要使函数解析式有意义，需满足x x2 2- -4040， 即即xx2,2, 故定义域为故定义域为( (- -,- -2)(2)(- -2,2)(2,+).2,2)(2,+). 答案：答案：( (- -,- -2)(2)(- -2,2)(2,+)2,2)(2,+) 2.2.由题意得，矩形的另外一条边长为由题意得，矩形的另外一条边长为 - -x,x, 于是于是S
19、=( S=( - -x)x= xx)x= x- -x x2 2, , 其中其中x x需满足需满足 所以所以0 0 x x , , 所以所以S S与与x x之间的函数关系中的定义域为之间的函数关系中的定义域为(0, ).(0, ). 答案：答案：S= xS= x- -x x2 2 (0, ) (0, ) 1 2 1 2 1 2 1 x0, 2 x0, 1 2 1 2 1 2 1 2 3.(1)f(x)3.(1)f(x) ，f(2)f(2) ， 又又g(x)g(x)x x2 22 2，g(2)g(2)2 22 22 26.6. (2)(2)由由(1)(1)知知g(2)g(2)6 6，f(g(2)f
20、(g(2)f(6)f(6) . . 1 1x 1 1 2 1 3 1 1 6 1 7 【拓展提升拓展提升】1.1.已知函数解析式求定义域的类型及求解策略已知函数解析式求定义域的类型及求解策略 (1)(1)整式：若整式：若y=f(x)y=f(x)为整式，则函数的定义域是实数集为整式，则函数的定义域是实数集R.R. (2)(2)分式：若分式：若y=f(x)y=f(x)为分式，则函数的定义域为使分母不为为分式，则函数的定义域为使分母不为0 0的的 实数集实数集. . (3)(3)偶次根式：若偶次根式：若y=f(x)y=f(x)为偶次根式，则函数的定义域为被开为偶次根式，则函数的定义域为被开 方数非负
21、的实数集方数非负的实数集( (特别注意特别注意0 0的的0 0次幂没有意义次幂没有意义).). (4)(4)几部分组成：若几部分组成：若y=f(x)y=f(x)是由几部分数学式子的和、差、积、是由几部分数学式子的和、差、积、 商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集商组成的形式，定义域是使各部分都有意义的集合的交集. . (5)(5)实际问题：若实际问题：若y=f(x)y=f(x)是由实际问题确定的，其定义域要受是由实际问题确定的，其定义域要受 实际问题的约束实际问题的约束. . 2.2.函数求值的两个注意事项函数求值的两个注意事项 (1)(1)求函数值问题，首先要确定函数的对应关系
22、求函数值问题，首先要确定函数的对应关系f f的具体含义，的具体含义， 再代入求值再代入求值. . (2)(2)求类似求类似f(g(2)f(g(2)的值，要注意的值，要注意f,gf,g作用的对象，按作用的对象，按“由内到由内到 外外”的顺序求值的顺序求值. . 【变式训练】【变式训练】1.1.函数函数f(x)= f(x)= 的定义域是的定义域是_._. 【解析解析】由题意知由题意知 即即 所以所以x x0 0，即函数的定义域为，即函数的定义域为( (- -,0).,0). 答案：答案：( (- -,0),0) x10 xx0 ， ， x1 xx ， ， 0 x1 xx 2.2.已知函数已知函数f
23、(x)= f(x)= - - . . (1)(1)求函数的定义域求函数的定义域. . (2)(2)求求f(f(- -1)1)，f(12)f(12)的值的值. . 【解析解析】(1)(1)由题意知，由题意知，x x- -1010且且x+40 x+40， 即即xx- -4 4且且x1.x1.从而函数定义域为从而函数定义域为- -4,1)(14,1)(1，+).+). (2)f(2)f(- -1)= 1)= - - = =- -3 3- - f(12)= f(12)= - - = = - -4=4= 6 x1 x4 6 1 1 1 4 3. 6 12 1 124 6 11 38 . 11 【规范解答
24、规范解答】与函数定义域有关的综合问题与函数定义域有关的综合问题 【典例典例】 【条件分析条件分析】 (1)(1)求集合求集合A.A. (2)(2)若若A A B B，求，求a a的取值范围的取值范围. . (3)(3)若全集若全集U=x|x4U=x|x4，a=a=- -1 1，求，求 及及A( ).A( ). UA UB 【规范解答规范解答】(1)(1)使使 有意义的实数有意义的实数x x的集合是的集合是x|x3x|x3， 使使 有意义的实数有意义的实数x x的集合是的集合是x|xx|x- -22 . . 2 2分分 所以，这个函数的定义域是所以，这个函数的定义域是 x|x3x|xx|x3x|
25、x- -2=x|2=x|- -2 2x3x3 , , 即即A=x|A=x|- -2 2x3.x3.4 4分分 (2)(2)因为因为A=x|A=x|- -2 2x3x3， 3x 1 x2 B=x|xB=x|xaa且且A A B,B, 所以所以a a3 3. . 7 7分分 (3)(3)因为因为U=x|x4U=x|x4， A=x|A=x|- -2 2x3,x3, 所以所以 =(=(- -,- -2 2(3,4(3,4. .9 9分分 因为因为a=a=- -1 1， 所以所以B=x|xB=x|x- -1,1, 所以所以 = =- -1,41,4， 所以所以A =A =- -1,31,3. .1212
26、分分 【失分警示失分警示】 【防范措施防范措施】 1.1.重视求函数定义域的基本原则重视求函数定义域的基本原则 若若y=f(x)y=f(x)是由几部分数学式子组成的是由几部分数学式子组成的, ,则定义域是使各部分都则定义域是使各部分都 有意义的集合的交集有意义的集合的交集, ,如本例如本例(1)(1)中，要注意求中，要注意求 和和 两两 部分都有意义的集合的交集部分都有意义的集合的交集. . 2.2.重视利用数形结合思想处理集合之间的关系和运算问题重视利用数形结合思想处理集合之间的关系和运算问题 集合之间的关系和运算要注意集合之间的关系和运算要注意VennVenn图和数轴的应用图和数轴的应用,
27、 ,如本例如本例(2)(2) 中，可借助数轴分析中，可借助数轴分析a a的取值范围的取值范围. . 3x 1 x2 【类题试解类题试解】(2013(2013长春高一检测长春高一检测) )已知全集已知全集U=RU=R，函数，函数y=y= 的定义域为集合的定义域为集合A A，函数，函数y= y= 的定义域为的定义域为 集合集合B.B. (1)(1)求集合求集合A A和集合和集合B.B. (2)(2)求集合求集合( )( ).( )( ). x2x 1 2x4 x3 【解析解析】(1)(1)因为因为 所以所以x2x2，所以，所以A=A=2,+).2,+). 因为因为 所以所以xx- -2 2且且x3
28、x3，所以，所以B=B=- -2,3)(3,+).2,3)(3,+). (2)(2)因为因为A=A=2,+)2,+)，所以，所以 =(=(- -,2).,2). 因为因为B=B=- -2,3)(3,+)2,3)(3,+)，所以，所以 =(=(- -,- -2)3,2)3,所以所以 ( )( )=( )( )=(- -,2)3.,2)3. x20 x10 ， ， 2x40 x3 ， ， 1.1.下列说法正确的是下列说法正确的是( )( ) A.A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应 B.B.函数的定义域和值域可以是空集函数的定义域
29、和值域可以是空集 C.C.函数的定义域和值域一定是数集函数的定义域和值域一定是数集 D.D.函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了函数的定义域和值域确定后，函数的对应关系也就确定了 【解析解析】选选C.C.根据从集合根据从集合A A到集合到集合B B函数的定义可知，强调函数的定义可知，强调A A中中 元素的任意性和元素的任意性和B B中对应元素的唯一性，所以中对应元素的唯一性，所以A A中的多个元素中的多个元素 可以对应可以对应B B中的同一个元素，从而选项中的同一个元素，从而选项A A错误；同样由函数定错误；同样由函数定 义可知，义可知，A,BA,B集合都是非空数集，故选项集合都
30、是非空数集，故选项B B错误；选项错误；选项C C正确；正确； 对于选项对于选项D D，可以举例说明，如定义域、值域均为，可以举例说明，如定义域、值域均为A A0,10,1的的 函数，对应关系可以是函数，对应关系可以是xxxx，xAxA，可以是，可以是x x ，xAxA， 还可以是还可以是xxxx2 2，xA.xA. x 2.2.函数函数f(x)= f(x)= 的定义域为的定义域为( )( ) A.(1,+) B.A.(1,+) B.0,+)0,+) C.(C.(- -,1)(1,+) D.,1)(1,+) D.0,1)(1,+)0,1)(1,+) 【解析解析】选选D.D.因为因为 - -10
31、10，所以，所以 所以所以x0 x0且且x1.x1. 所以函数所以函数f(x)= f(x)= 的定义域为的定义域为0,1)(1,+).0,1)(1,+). x x1 x0 x10 ， ， x x1 x 3.3.已知全集已知全集U=RU=R，A=x|xA=x|x1 1或或xx- -22，则，则 用区间表示为用区间表示为 _._. 【解析解析】由题意知，由题意知， =x|=x|- -2 2x1x1，用区间表示为，用区间表示为 ( (- -2,12,1. . 答案：答案：( (- -2,12,1 4.f(x)=x4.f(x)=x2 2+x+x- -1 1，f(a)=5f(a)=5，则，则a=_.a=
32、_. 【解析解析】由由a a2 2+a+a- -1=51=5，解得，解得a=2a=2或或- -3.3. 答案：答案：2 2或或- -3 3 5.5.若若f(x)=|xf(x)=|x- -1|1|- -|x|x|，则，则f(f(1)=_.f(f(1)=_. 【解析解析】f(1)=|1f(1)=|1- -1|1|- -|1|=|1|=- -1 1， f(f(1)=f(f(f(1)=f(- -1)=|1)=|- -1 1- -1|1|- -| |- -1|=21|=2- -1=1.1=1. 答案：答案：1 1 6.6.已知函数已知函数f(x)= ,g(x)=xf(x)= ,g(x)=x2 2+2,+2,求求f(2)f(2)及及f(g(2)f(g(2)的值的值. . 【解析解析】由由f(x)= f(x)= ，得，得f(2)= f(2)= ， 由由g(x)=xg(x)=x2 2+2,+2,得得g(2)=2g(2)=22 2+2=6,+2=6, f(g(2)=f(6)= .f(g(2)=f(6)= . 1 1x 1 1x 11 123 11 167
