1、第2课时 函数概念的综合应用 函数相等函数相等 1.1.条件：条件：_相同；相同；_完全一致完全一致. . 2.2.结论结论: :两个函数相等两个函数相等. . 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，错误的打“”)”) (1)(1)对应关系相同的两个函数一定是相等函数对应关系相同的两个函数一定是相等函数.( ).( ) (2)(2)函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定函数的定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定 了了.( ).( ) 定义域定义域 对应关系对应关系 (3)(3)两个函数的定义域和值域相同，则两个函数的对应关系也两个函数的定义域和值域相同，则两个
2、函数的对应关系也 相同相同.( ).( ) 提示：提示：(1)(1)错误错误. .当两函数的定义域不同时，则不是相等函数，当两函数的定义域不同时，则不是相等函数， 故不正确故不正确. . (2)(2)正确正确. .值域值域f(x)|xAf(x)|xA是由定义域是由定义域A A和对应关系和对应关系f f确定的确定的. . (3)(3)错误错误. .两个函数的定义域和值域相同，函数的对应关系不两个函数的定义域和值域相同，函数的对应关系不 一定相同一定相同. . 答案：答案：(1)(1) (2) (3)(2) (3) 【知识点拨知识点拨】 对函数相等的三点说明对函数相等的三点说明 (1)(1)函数值
3、域是由定义域和对应关系决定的函数值域是由定义域和对应关系决定的. .因此判断两个函数因此判断两个函数 是否相等，只看定义域和对应关系即可是否相等，只看定义域和对应关系即可. . (2)(2)当两函数的对应关系和值域分别相等时，两函数不一定相当两函数的对应关系和值域分别相等时，两函数不一定相 等等. . (3)(3)若两个函数只是自变量用的字母不同，则这两个函数相等若两个函数只是自变量用的字母不同，则这两个函数相等. . 例如例如, ,函数函数f(x)=xf(x)=x2 2,x,xR R与函数与函数f(t)=tf(t)=t2 2,t,tR R是相等函数是相等函数. . 类型类型 一一 函数相等的
4、判断函数相等的判断 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013衢州高一检测衢州高一检测) )下列各组函数表示相等函数的下列各组函数表示相等函数的 是是( )( ) A.f(x)=xA.f(x)=x- -2,g(x)=2,g(x)= B.f(x)= ,g(x)=1B.f(x)= ,g(x)=1 C.f(x)=xC.f(x)=x2 2- -2x2x- -1,g(t)=t1,g(t)=t2 2- -2t2t- -1 1 D.f(x)= ,g(x)=D.f(x)= ,g(x)= 2 x4 x2 x x 1 2 0 x1 2 2 2判断下列各组中的函数是否相等，并说明理由判断下列各组中的函数是否
5、相等，并说明理由. . (1)y= ,y= .(1)y= ,y= . (2)y= ,y= .(2)y= ,y= . 【解题探究解题探究】1.1.在所给四组函数中，定义域和对应关系分别在所给四组函数中，定义域和对应关系分别 有什么关系？有什么关系？ 2.2.两个函数相等的条件是什么？两个函数相等的条件是什么？ x 1x 1 2 x1 1 x1 x 2 1x 探究提示：探究提示： 1.A.1.A.定义域不同，对应关系相同；定义域不同，对应关系相同； B.B.定义域和对应关系都不同；定义域和对应关系都不同； C.C.定义域和对应关系都相同；定义域和对应关系都相同； D.D.定义域不同，对应关系相同定
6、义域不同，对应关系相同. . 2.2.两个函数相等的条件是定义域与对应关系均相同两个函数相等的条件是定义域与对应关系均相同. . 【解析解析】1.1.选选C.C.选项选项A A中中f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R，g(x)g(x)的定义域为的定义域为 x|xx|x- -22，故定义域不同，因此不是相等函数；选项，故定义域不同，因此不是相等函数；选项B B中中f(x)f(x) 的定义域为的定义域为x|x0 x|x0，g(x)g(x)的定义域为的定义域为R R，故定义域不同，因，故定义域不同，因 此不是相等函数；选项此不是相等函数；选项D D中中f(x)f(x)的定义域为的定义域为R R
7、，g(x)g(x)的定义域的定义域 为为x|x1x|x1，定义域不同，因此不是相等函数；而，定义域不同，因此不是相等函数；而C C只是表示只是表示 变量的字母不一样，表示的函数是相等的变量的字母不一样，表示的函数是相等的. . 2 2(1)(1)对于函数对于函数y= y= ， 由由 得得x1x1，所以定义域为，所以定义域为x|x1.x|x1. 对于函数对于函数y= y= ，由，由 0 0，得，得x1x1或或xx- -1 1，所以定，所以定 义域为义域为x|x1x|x1或或xx- -1.1.所以两函数的定义域不同，故不是所以两函数的定义域不同，故不是 相等函数相等函数. . x 1x 1 x10
8、 x10 ， ， 2 x1 2 x1 (2)(2)对于函数对于函数y= y= ， 由由 得得- -1x11x1，故定义域为，故定义域为x|x|- -1x1.1x1. 对于函数对于函数y= y= ，由，由 0 0，得，得- -1x11x1， 故定义域为故定义域为x|x|- -1x1.1x1. 所以两函数定义域相同，又对应关系相同，故是相等函数所以两函数定义域相同，又对应关系相同，故是相等函数. . 1 x1 x 1x0, 1x0, 2 1x 2 1x 【拓展提升拓展提升】判断函数相等的三个步骤和两个注意点判断函数相等的三个步骤和两个注意点 (1)(1)判断函数是否相等的三个步骤判断函数是否相等的
9、三个步骤 (2)(2)两个注意点两个注意点 在化简解析式时，必须是等价变形；在化简解析式时，必须是等价变形； 与用哪个字母表示无关与用哪个字母表示无关. . 【变式训练变式训练】下列各组函数表示相等函数的个数是下列各组函数表示相等函数的个数是( )( ) y= y= 与与y=x+3(x3)y=x+3(x3) y= y= 与与y=xy=x- -1 1 y=2x+1,xZy=2x+1,xZ与与y=2xy=2x- -1,xZ1,xZ A.0A.0个个 B.1B.1个个 C.2C.2个个 D.3D.3个个 【解析解析】选选A.A.对应关系都不同，故都不是相等函数对应关系都不同，故都不是相等函数. .故
10、故 选选A.A. 2 x3 x3 2 x1 类型类型 二二 求函数值域问题求函数值域问题 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013日照高一检测日照高一检测) )函数函数f(x)= (xR)f(x)= (xR)的值域为的值域为 ( )( ) A.(0,1) B.(0,1A.(0,1) B.(0,1 C.C.0,1) D.0,1) D.0,10,1 2.2.求下列函数的值域求下列函数的值域. . (1)y=3(1)y=3- -4x,x(4x,x(- -1,31,3. . (2)y=x(2)y=x2 2- -4x+6,x4x+6,x1,5).1,5). (3)y= .(3)y= . 2 1
11、 1x 3x1 x1 【解题探究解题探究】1.1.函数函数y=1+xy=1+x2 2(xR)(xR)的值域是什么？当的值域是什么？当x x趋向于趋向于 +时，时，y= y= 的函数值是如何变化的？的函数值是如何变化的？ 2.(1)2.(1)在函数图象中，函数值在函数图象中，函数值f(xf(x0 0) )的几何意义是什么？如何的几何意义是什么？如何 利用函数图象求函数的值域？利用函数图象求函数的值域？ (2)(2)函数函数y= y= 的分子和分母都含有自变量的分子和分母都含有自变量x x，是否可以将其，是否可以将其 变形为只有分母含有自变量变形为只有分母含有自变量x x的形式的形式? ? 3x1
12、 x1 1 x 探究提示：探究提示： 1.1.函数函数y=1+xy=1+x2 2(xR)(xR)的值域是的值域是1,+).1,+).当当x x趋向于趋向于+时，时， y= y= 的函数值趋近于的函数值趋近于0.0. 2.(1)2.(1)函数值函数值f(xf(x0 0) )是函数是函数f(x)f(x)图象中横坐标为图象中横坐标为x x0 0的点的纵坐的点的纵坐 标标. .函数图象上点的纵坐标的取值范围就是函数的值域函数图象上点的纵坐标的取值范围就是函数的值域. . (2)(2)可以利用分离常数的办法进行变形，变形方法如下：可以利用分离常数的办法进行变形，变形方法如下： . . 3 x143x14
13、 y3 x1x1x1 1 x 【解析解析】1.1.选选B.B.因为因为xRxR， 所以所以1+x1+x2 21,+),1,+),所以所以f(x)= (0,1f(x)= (0,1. . 2.(1)2.(1)作出函数作出函数y=3y=3- -4x,x(4x,x(- -1,31,3的图象的图象( (如图所示如图所示).). 由图象可知函数由图象可知函数y=3y=3- -4x,x(4x,x(- -1,31,3的值域是的值域是- -9 9，7).7). 2 1 1x (2)y=x(2)y=x2 2- -4x+6=(x4x+6=(x- -2)2)2 2+2.+2. 作出函数作出函数y=xy=x2 2- -
14、4x+64x+6，xx1,5)1,5)的图象的图象( (如图所示如图所示).). 由图观察得函数的值域为由图观察得函数的值域为y|2y11.y|2y11. (3)(3)方法一：方法一： 显然显然 可取可取0 0以外的一切实数，以外的一切实数， 即所求函数的值域为即所求函数的值域为y|y3.y|y3. 方法二：把方法二：把y= y= 看成关于看成关于x x的方程，的方程， 变形得变形得(y(y3)x3)x(y(y1)1)0 0，该方程在原函数定义域，该方程在原函数定义域x|xx|x 11内有解的条件是内有解的条件是 解得解得y3y3， 即所求函数的值域为即所求函数的值域为y|y3.y|y3. 3
15、 x144 y3, x1x1 4 x1 y30 y 1 1 y3 ， ， 3x1 x1 【互动探究互动探究】题题2(2)2(2)中函数的定义域改为中函数的定义域改为 - -1 1，0 0，1 1，2 2，33， 如何求其值域？如何求其值域？ 【解析解析】函数的定义域为函数的定义域为 - -1 1，0 0，1 1，2 2，33，f(f(- -1)= 111)= 11， f(0)=6f(0)=6，f(1)=3f(1)=3，f(2)=2f(2)=2，f(3)=3f(3)=3， 所以值域为所以值域为22，3 3，6 6，11.11. 【拓展提升拓展提升】求函数值域的原则及常用方法求函数值域的原则及常用
16、方法 (1)(1)原则：先确定相应的定义域原则：先确定相应的定义域; ;再根据函数的具体形式再根据函数的具体形式 及运算确定其值域及运算确定其值域. . (2)(2)常用方法：常用方法： 观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法 得到得到. . 配方法：是求配方法：是求“二次函数二次函数”类值域的基本方法类值域的基本方法. . 换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函 数，从而求得原函数的值域数，从而求得原函数的值域. .对于对于f(x)=ax+b+ (f(x)=ax+b+
17、(其中其中 a,b,c,da,b,c,d为常数，且为常数，且a0)a0)型的函数常用换元法型的函数常用换元法. . 分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式 转化为转化为“反比例函数类反比例函数类”的形式，便于求值域的形式，便于求值域. . cxd 【变式训练变式训练】(2013(2013武汉高一检测武汉高一检测) )已知集合已知集合 A=1,2,3,B=4,5,6,f:ABA=1,2,3,B=4,5,6,f:AB是从集合是从集合A A到集合到集合B B的一个函数，的一个函数， 那么该函数的值域那么该函数的值域C C的不同情况有的不同
18、情况有( )( ) A.6A.6种种 B.7B.7种种 C.8C.8种种 D.9D.9种种 【解题指南解题指南】依据函数的定义来判断函数个数，进而求值域依据函数的定义来判断函数个数，进而求值域. . 【解析解析】选选B.B.结合函数定义，可知能构成结合函数定义，可知能构成7 7个函数，其值域有个函数，其值域有7 7 种不同情况种不同情况. . 即值域为即值域为4,5,6,4,5,4,6,5,6,4,5,6.4,5,6,4,5,4,6,5,6,4,5,6. 类型类型 三三 求形如求形如f(g(x)f(g(x)的的函数的定义域函数的定义域 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013呼伦贝尔
19、高一检测呼伦贝尔高一检测) )已知函数已知函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是 0,20,2，则函数，则函数g(x)=f(x+ )+f(xg(x)=f(x+ )+f(x- - ) )的定义域是的定义域是( )( ) A.A.0,20,2 B.B.- - , , C.C. , , D.D. , , 2.2.已知已知y=f(2x+1)y=f(2x+1)的定义域为的定义域为1,21,2. . (1)(1)求求f(x)f(x)的定义域的定义域. . (2)(2)求求f(2xf(2x- -1)1)的定义域的定义域. . 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 1 2 5 2 3 2 【解题探究解题探
20、究】1.1.题题1 1中由函数中由函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是0,20,2，如何，如何 确定确定f(x+ )f(x+ )和和f(xf(x- - ) )中中x+ x+ 和和x x- - 的取值范围？的取值范围？ 2.2.题题2 2中中y=f(2x+1)y=f(2x+1)的定义域为的定义域为1,21,2，它的含义是，它的含义是xx 1,21,2还是还是2x+12x+11,21,2? f(x)? f(x)，f(2x+1)f(2x+1)和和f(2xf(2x- -1)1)中的中的 x x，2x+12x+1和和2x2x- -1 1的取值范围有何关系？的取值范围有何关系？ 1 2 1 2 1 2
21、 1 2 探究提示：探究提示： 1.x+ 1.x+ 0,20,2，x x- - 0,20,2. . 2.2.定义域就是自变量的取值范围定义域就是自变量的取值范围.y=f(2x+1).y=f(2x+1)的定义域为的定义域为 1,21,2，它的含义是，它的含义是xx1,21,2.f(x).f(x)，f(2x+1)f(2x+1)和和f(2xf(2x- -1)1) 中的中的x x，2x+12x+1和和2x2x- -1 1的取值范围相同的取值范围相同. . 1 2 1 2 【解析解析】1.1.选选D.D.因为函数因为函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是0,20,2， 所以函数所以函数g(x)=f(x
22、+ )+f(xg(x)=f(x+ )+f(x- - ) )中的自变量中的自变量x x需要满需要满 足足 解得解得 所以所以 x .x .所以函数所以函数g(x)g(x)的定义域是的定义域是 , , . . 1 2 1 2 1 0 x2, 2 1 0 x2, 2 13 x, 22 15 x. 22 1 2 3 2 1 2 3 2 2.(1)2.(1)由于由于y=f(2x+1)y=f(2x+1)的定义域为的定义域为1,21,2， 所以所以1x21x2，所以，所以32x+15,32x+15, 所以函数所以函数f(x)f(x)的定义域为的定义域为3,53,5. . (2)(2)由由(1)(1)可知，可
23、知，32x32x- -1515，所以，所以2x32x3， 所以函数所以函数f(2xf(2x- -1)1)的定义域为的定义域为2,32,3. . 【拓展提升拓展提升】求形如求形如f(g(x)f(g(x)的函数的定义域的方法的函数的定义域的方法 (1)(1)已知已知f(x)f(x)的定义域为的定义域为D D，求，求f(g(x)f(g(x)的定义域的定义域 由由g(x)D,g(x)D,求出求出x x的范围的范围, , 即得到即得到f(g(x)f(g(x)的定义域的定义域. . (2)(2)已知已知f(g(x)f(g(x)的定义域为的定义域为D D，求，求f(x)f(x)的定义域的定义域 由由xD,
24、xD, 求出求出g(x)g(x)的范围，即得到的范围，即得到f(x)f(x)的定义域的定义域. . 【变式训练变式训练】若函数若函数y yf(x)f(x)的定义域是的定义域是0,20,2，则函数，则函数g(x)g(x) 的定义域是的定义域是( )( ) A.A.0,10,1 B.B.0,1)0,1) C.C.0,1)(1,40,1)(1,4 D.(0,1)D.(0,1) 【解析解析】选选B.B.因为因为f(x)f(x)的定义域为的定义域为0,20,2，所以对于函数，所以对于函数 g(x)g(x)满足满足0 02x2x2 2，且，且x x1 1，故，故x x0,1).0,1). f 2x x1
25、【易错误区易错误区】判断两个函数是否相等时忽视定义域致误判断两个函数是否相等时忽视定义域致误 【典例典例】下列各组函数中是相等函数的是下列各组函数中是相等函数的是( )( ) A. yA. yx x1 1与与y y B. yB. yx x2 21 1与与s st t2 21 1 C. yC. y2x2x与与y y2x(x0)2x(x0) D. yD. y(x+1)(x+1)2 2与与y yx x2 2 2 x1 x1 【解析解析】选选B. B. 对对A A ，前者定义域为 ，前者定义域为R R，后者定义域为，后者定义域为 x|x1x|x1，不是相等函数；对，不是相等函数；对B B，虽然表示变量
26、的字母不同，虽然表示变量的字母不同， 但不改变意义，是相等函数；对但不改变意义，是相等函数；对C C，因为定义域不同，不是相，因为定义域不同，不是相 等函数；对等函数；对D D，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是相等，虽然定义域相同，但对应关系不同，不是相等 函数函数. . 【类题试解类题试解】下列哪组中的两个函数是相等函数下列哪组中的两个函数是相等函数( )( ) A.f(x)= A.f(x)= 和和g(x)=g(x)= B.y= B.y= 与与y=xy=x C.y=xC.y=x0 0和和y=1y=1 D.f(x)= +1D.f(x)= +1和和g(x)= g(x)= 【解析解析】选选A.
27、BA.B，C C中两个函数的定义域不同，中两个函数的定义域不同，D D中两个函数的中两个函数的 定义域和对应关系都不同定义域和对应关系都不同. . 2 x x 2 x x 2 x 1 x 1 x1 【误区警示误区警示】 【防范措施防范措施】 1.1.判断相等函数的两个方面判断相等函数的两个方面 判断两个函数是相等函数，首先应看定义域是否相同，若不判断两个函数是相等函数，首先应看定义域是否相同，若不 相同，则不是相等函数；若相同，还需判断对应关系是否相相同，则不是相等函数；若相同，还需判断对应关系是否相 同，若相同则是，否则不是同，若相同则是，否则不是. . 本例中，对选项本例中，对选项A A的
28、判断，应首的判断，应首 先看定义域是否相同，而不能先将第二个函数化简后看对应先看定义域是否相同，而不能先将第二个函数化简后看对应 关系相同就是相等函数关系相同就是相等函数. . 2.2.判断相等函数的注意点判断相等函数的注意点 判断相等函数时，对较为复杂的函数解析式化简要慎重，要判断相等函数时，对较为复杂的函数解析式化简要慎重，要 注意其等价性注意其等价性. . 本例中在将选项本例中在将选项A A中第二个函数解析式化简时中第二个函数解析式化简时 易把定义域扩大，由解析式相同而误认为是相等函数易把定义域扩大，由解析式相同而误认为是相等函数. . 1.1.函数函数f(x)=3xf(x)=3x- -
29、4 4的定义域是的定义域是1,41,4，则其值域是，则其值域是( )( ) A.A.- -1,8 B.1,8 B.- -1,81,8 C.(C.(- -1,8) D.R1,8) D.R 【解析解析】选选B.1x4B.1x4，33x1233x12，- -13x13x- -4848，即，即 该函数值域是该函数值域是- -1,81,8. . 2.2.已知已知M Mx|y=xx|y=x2 2- -1 1, N=y|y=x, N=y|y=x2 2- -1,MN1,MN等于等于( )( ) A.N B.M C.R D.A.N B.M C.R D. 【解析解析】选选A.A.因为因为M Mx|y=xx|y=x
30、2 2- -1=R1=R， N=y|y=xN=y|y=x2 2- -1=y|y1=y|y- -1,1, 所以所以MN=N.MN=N. 3.3.下列函数：下列函数：(1)y= .(2)y= .(3)y=1(1)y= .(2)y= .(3)y=1(- -1x1x1).1).与函与函 数数y=1y=1相等的函数的个数是相等的函数的个数是( )( ) A.3 B.2 C.1 D.0A.3 B.2 C.1 D.0 【解析解析】选选D.(1)D.(1)要求要求x0 x0，与函数，与函数y=1y=1的定义域不同，两函数的定义域不同，两函数 不相等；不相等；(2)(2)虽然化简后虽然化简后y=1y=1，但要求
31、，但要求tt- -1 1，即定义域不同，即定义域不同， 不是相等函数；不是相等函数；(3)(3)显然定义域不同，故不是相等函数显然定义域不同，故不是相等函数. . x x t1 t1 4.4.已知已知f(x)f(x)由下表表示由下表表示 则函数则函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是 ，值域是，值域是 . . 【解析解析】观察表格可知函数观察表格可知函数f(x)f(x)的定义域是的定义域是1 1，2 2，3 3， 值域是值域是1 1，2 2. . 答案：答案：1 1，2 2，3 3 1 1，2 2 x x 1 1 2 2 3 3 f(x)f(x) 2 2 1 1 1 1 5.5.设函数设函数
32、f(x)=2x+3f(x)=2x+3的值域是的值域是- -1,51,5，则其定义域为，则其定义域为_._. 【解析解析】由由- -12x+35,12x+35,解得解得- -2x1.2x1. 即函数定义域为即函数定义域为- -2,12,1. . 答案：答案：- -2,12,1 6.6.求求y=y=x x2 22x+3(2x+3(5x5x2)2)的值域的值域. . 【解析解析】y=y=x x2 22x+3=2x+3=(x+1)(x+1)2 2+4+4， 又又5x5x2 2，4x+14x+11,1, 1(x+1)1(x+1)2 216,16,124124(x+1)(x+1)2 23,3, 函数的值域为函数的值域为1212，3 3. .
