1、3.2.2 函数模型的应用实例 第1课时 一次函数、二次函数、 幂函数模型的应用举例 三种常见的函数模型三种常见的函数模型 1.1.一次函数模型一次函数模型 (1)(1)解析式：解析式：_._. (2)(2)成立条件：成立条件：_._. y=kx+by=kx+b k0k0 2.2.二次函数模型二次函数模型 一般式一般式 y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0) 顶点式顶点式 两根式两根式 y=a(xy=a(x- -x x1 1)(x)(x- -x x2 2)(a0)(a0) 2 2 b4acb ya(x)(a0) 2a4a 3.3.幂函数模型幂函数模型 (1)(1)解析式：解
2、析式：_，其中，其中a,b,a,b, 为常数，为常数，a0a0， 1.1. (2)(2)单调性：其增长情况随单调性：其增长情况随a a和和 的取值而定的取值而定. . y=axy=ax+b+b 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，错误的打“”)”) (1)(1)在一次函数模型中，斜率在一次函数模型中，斜率k k 的取值会影响函数的性质的取值会影响函数的性质.( ).( ) (2)(2)对于利用二次函数模型对于利用二次函数模型y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)解决的实际应用解决的实际应用 题，只有当自变量题，只有当自变量 时，函数值才能取得最大值时，函
3、数值才能取得最大值.( ).( ) (3)(3)在幂函数模型的解析式中在幂函数模型的解析式中, , 的正负会影响函数的单调的正负会影响函数的单调 性性.( ).( ) b x 2a 提示：提示：(1)(1)正确正确.k.k0 0时时y y随随x x的增大而增大；的增大而增大；k k0 0时时y y随随x x的增的增 大而减小大而减小. . (2)(2)错误错误. .自变量的取值必须与实际结合，使得函数有意义才自变量的取值必须与实际结合，使得函数有意义才 可以可以. . (3)(3)正确正确. .当当a a0,0,0 0时时, ,函数的图象在第一象限内是上升的函数的图象在第一象限内是上升的, ,
4、 在在(0,+)(0,+)上为增函数；当上为增函数；当a a0,0,0 0时时, ,函数的图象在第一函数的图象在第一 象限内是下降的象限内是下降的, ,在在(0,+)(0,+)上为减函数上为减函数. . 答案：答案：(1) (2)(1) (2) (3)(3) 【知识点拨知识点拨】 1.1.函数模型的分类及其建立函数模型的分类及其建立 (1)(1)第一类是确定的函数模型第一类是确定的函数模型. .这类应用题提供的变量关系是这类应用题提供的变量关系是 确定的，是以现实生活为原型设计的确定的，是以现实生活为原型设计的. .求解时一般按照以下几求解时一般按照以下几 步进行：步进行： 第一步，阅读理解，
5、认真审题第一步，阅读理解，认真审题. . 第二步，引进数学符号，建立函数模型第二步，引进数学符号，建立函数模型. . 第三步，利用函数知识，如单调性，最值等求解第三步，利用函数知识，如单调性，最值等求解. . 转译成具体问题作答转译成具体问题作答. . (2)(2)第二类是近似函数模型，或拟合函数模型第二类是近似函数模型，或拟合函数模型. .这类应用题提这类应用题提 供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应供的变量关系是不确定的，只是给出了两个变量的几组对应 值值. .求解此种函数模型的一般步骤为：画图求解此种函数模型的一般步骤为：画图选择函数模型选择函数模型 用待定系数法求函数模
6、型用待定系数法求函数模型检验，若符合实际，可用此函数，检验，若符合实际，可用此函数， 若不符合，则继续选择函数模型，重复操作过程若不符合，则继续选择函数模型，重复操作过程. . 2.2.二次函数模型二次函数模型 (1)(1)二次函数常设成二次函数常设成y=axy=ax2 2+bx+c(a,b,c+bx+c(a,b,c为常数，为常数，a0)a0)的形的形 式，其图象是抛物线，顶点坐标是式，其图象是抛物线，顶点坐标是( )( )，当，当 a(45x4时时 ， ， y=4y=41.80+3x1.80+3x1.80+31.80+3(5x(5x- -4)=20.4x4)=20.4x- -4.8( ).4
7、.8( ). 当甲、乙的用水量都超过当甲、乙的用水量都超过4t,4t,即即3x43x4时时 ， ，y=24xy=24x- -9.6(x9.6(x ),), 4 5 44 x 53 4 3 答案：答案： 4 14.4x,0 x 5 44 y20.4x4.8,x 53 4 24x9.6,x. 3 ， ， 4 14.4x,0 x 5 44 y20.4x4.8,x 53 4 24x9.6,x 3 ， ， 【类题试解类题试解】某车站有快慢两种列车某车站有快慢两种列车, ,始发站距终点站始发站距终点站7.2km,7.2km, 慢车到达终点站需慢车到达终点站需16min,16min,快车比慢车晚发车快车比慢
8、车晚发车3min,3min,且匀速行驶且匀速行驶 10min10min后到达终点站后到达终点站, ,则快车所行驶路程则快车所行驶路程y y关于慢车行驶时间关于慢车行驶时间x x的的 函数解析式为函数解析式为_._. 【解析解析】x x的取值范围为的取值范围为0,160,16, ,当当0 x30 x3时时, ,快车还未发车快车还未发车; ; 当当3 3x13x13时时, ,快车的速度为快车的速度为0.72km/min, y=0.72(x0.72km/min, y=0.72(x- -3);3);当当 1313x16x16时时, ,快车已到达终点站快车已到达终点站, y, y始终不变始终不变, ,为
9、为7.2.7.2. 答案：答案： 0,0 x3, y0.72 x3 ,3x13, 7.2,13x16 【误区警示误区警示】 【防范措施防范措施】 1.1.正确提取题目信息正确提取题目信息 一定要看清题意一定要看清题意, ,理解好题中的关键信息理解好题中的关键信息, ,尤其是当含有条件尤其是当含有条件 性的数值时更要弄清各个量之间的因果关系性的数值时更要弄清各个量之间的因果关系. .如本例中如本例中“用水用水 不超过不超过4t4t时时, ,每吨为每吨为1.801.80元元, ,当用水超过当用水超过4t4t时时, ,超过部分每吨超过部分每吨 3.003.00元元”，就应考虑到分情况来解决，就应考虑
10、到分情况来解决. . 2.2.分类讨论思想的运用分类讨论思想的运用 在明确了题意后在明确了题意后, ,应根据题中的条件应根据题中的条件, ,选择恰当的函数解析式选择恰当的函数解析式, ,特特 别要注意在有条件限制的前提下别要注意在有条件限制的前提下, ,如何进行分类讨论解决问题如何进行分类讨论解决问题. .如如 本例中可分为本例中可分为“当甲的用水量不超过当甲的用水量不超过4t4t，乙的用水量也不超过，乙的用水量也不超过4t4t； 当甲的用水量超过当甲的用水量超过4t,4t,乙的用水量不超过乙的用水量不超过4t4t；当甲、乙的用水量；当甲、乙的用水量 都超过都超过4t4t”，此时确定好变量，此
11、时确定好变量x x的范围的范围. . 1.1.一个矩形的周长是一个矩形的周长是4040，则矩形的长，则矩形的长y y关于宽关于宽x x的函数解析式的函数解析式 为为( )( ) A.y=20A.y=20- -x x，0x10 B.y=200x10 B.y=20- -2x2x，0x200x20 C.y=40C.y=40- -x x，0x10 D.y=400x10 D.y=40- -2x2x，0x200x20 【解析解析】选选.矩形的周长是矩形的周长是4040，2x+2y=402x+2y=40， 则则y=20y=20- -x(0x10).x(0x10). 2.2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车
12、投入客运，据市场某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入客运，据市场 分析，每辆客车营运的总利润分析，每辆客车营运的总利润y y万元与营运年数万元与营运年数x(xN)x(xN)的关的关 系为系为y=y=- -x x2 2+12x+12x- -2525，则每辆客车营运多少年可使其营运总利，则每辆客车营运多少年可使其营运总利 润最大润最大( )( ) A.2 B.4 C.5 D.6A.2 B.4 C.5 D.6 【解析解析】选选D.y=D.y=- -x x2 2+12x+12x- -25=25=- -(x(x- -6)6)2 2+11,+11,所以所以x=6x=6时，可使其时，可使其 营运总利润最大
13、营运总利润最大. . 3.3.已知已知A A，B B两地相距两地相距150km150km，某人开汽车以，某人开汽车以60km/h60km/h的速度从的速度从A A地地 到达到达B B地，在地，在B B地停留一小时后再以地停留一小时后再以50km/h50km/h的速度返回的速度返回A A地，把汽地，把汽 车离开车离开A A地的距离地的距离x x表示为时间表示为时间t t的函数，解析式是的函数，解析式是( )( ) A.x=60tA.x=60t B.x=60t+50B.x=60t+50 C.C. D.D. 60t,0t2.5 x 15050t,t2.5 ， 60t,0t2.5 x150,2.5x3
14、.5, 15050 t3.5 ,3.5t6.5 ， 【解析解析】选选D.D.从从A A地到地到B B地的来回时间分别为：地的来回时间分别为： 150150 2.5,3, 6050 60t,0t2.5, x150,2.5x3.5 15050 t3.5 ,3.5t6.5. ， 4.4.一个水池每小时注入水量是全池的一个水池每小时注入水量是全池的 水池还没有注水部水池还没有注水部 分与总量的比分与总量的比y y随时间随时间x(x(小时小时) )变化的解析式为变化的解析式为_._. 【解析解析】 0 x10.0 x10. 答案：答案： 0 x100 x10 1 10， x y1, 10 x y1, 1
15、0 5.5.某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次某公司市场营销部的个人月收入与其每月的销售量成一次 函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，营销 人员没有销售量时的收入是人员没有销售量时的收入是_._. 【解析解析】设函数解析式为设函数解析式为y=kx+b(k0),y=kx+b(k0), 函数图象过函数图象过(1,800),(2,1 300),(1,800),(2,1 300), 则则 解得解得 解析式为解析式为y=500 x+300,y=500 x+300, 当当x=0 x=0时时,y=300.,y=300. 营销人员
16、没有销售量时的收入是营销人员没有销售量时的收入是300300元元. . 答案：答案：300300元元 kb800 2kb1 300, ， k500, b300, 6.6.某工厂生产某产品某工厂生产某产品x x吨所需费用为吨所需费用为P P元，而卖出元，而卖出x x吨的价格为吨的价格为 每吨每吨Q Q元，已知元，已知P=1000+5x+ xP=1000+5x+ x2 2,Q=a+ ,Q=a+ 若生产出的产品能全若生产出的产品能全 部卖掉，且当产量为部卖掉，且当产量为150150吨时利润最大，此时每吨价格为吨时利润最大，此时每吨价格为4040元，元， 求实数求实数a a，b b的值的值. . 1 10 x b ， 【解析解析】设利润为设利润为y y元，则元，则 依题意得依题意得 化简得化简得 解得解得 2 22 x111 yQxPax1 0005xx()xa5 x1 000, b10b10 a5 150, 11 2() b10 150 40a b ， 300 a35, b 150 a40 b ， a45, b30.
