1、第2课时 集合的表示 一、列举法表示集合一、列举法表示集合 花括号“”花括号“” 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，错误的打“”)”) (1)(1)任何一个集合都可以用列举法表示任何一个集合都可以用列举法表示.( ).( ) (2)(2)由由1,1,2,31,1,2,3组成的集合可用列举法表示为组成的集合可用列举法表示为1,1,2,3.( )1,1,2,3.( ) (3)0,1(3)0,1和和(0,1)(0,1)是相同的集合是相同的集合.( ).( ) 提示：提示：(1)(1)错误错误. . 并不是所有的集合都可以用列举法表示，如并不是所有的集合都可以用列举法表示，如 不
2、等式不等式x x3 3的解集就不能用列举法表示的解集就不能用列举法表示. . (2)(2)错误错误. .有相同的元素，不符合集合元素的互异性有相同的元素，不符合集合元素的互异性. . (3)(3)错误错误. .两个集合都用列举法表示，但是元素不同，一个是两个集合都用列举法表示，但是元素不同，一个是 数集，一个是点集，因而不是相同的集合数集，一个是点集，因而不是相同的集合. . 答案答案: :( (1)1) (2)(2) (3)(3) 二、描述法表示集合二、描述法表示集合 一般符号一般符号 取值取值( (或变化或变化) )范围范围 竖线竖线 共共 同特征同特征 思考：思考：集合集合A=x|xA=
3、x|x11与与B=t|tB=t|t11是否表示同一个集合？是否表示同一个集合？ 提示：提示：是是. .虽然表示代表元素的字母不同，但都表示由大于虽然表示代表元素的字母不同，但都表示由大于1 1 的所有实数组成的集合，因而表示同一个集合的所有实数组成的集合，因而表示同一个集合. . 【知识点拨知识点拨】 1.1.列举法表示集合的适用范围、注意点及优点列举法表示集合的适用范围、注意点及优点 (1)(1)若集合元素的个数比较少，用列举法表示较为简单若集合元素的个数比较少，用列举法表示较为简单. . (2)(2)若集合中元素个数较多或无限个，但呈现一定的规律性，若集合中元素个数较多或无限个，但呈现一定
4、的规律性， 在不发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他在不发生误解的情况下，也可列出几个元素作为代表，其他 元素用省略号表示元素用省略号表示. . (3)(3)“ ”表示表示“所有所有”，“整体整体”的含义，如实数集的含义，如实数集R R可以可以 写成写成 实数实数 ，但不能写成，但不能写成 实数集实数集 ， 全体实数全体实数 ，RR等等. . (4)(4)列举法的优点是可以直观表示集合中具体元素及元素的个列举法的优点是可以直观表示集合中具体元素及元素的个 数，缺点是不能反映集合元素满足的特征数，缺点是不能反映集合元素满足的特征. . 2.2.对描述法表示集合的理解对描述法表示集合的
5、理解 (1)(1)描述法中竖线左边的任意元素描述法中竖线左边的任意元素x,x,我们可以理解为集合中的我们可以理解为集合中的 代表元素，即集合中元素的一般形式，不一定是数代表元素，即集合中元素的一般形式，不一定是数. . (2)(2)共同特征共同特征P(x)P(x)可以是一个表达式，也可以是一个不等式可以是一个表达式，也可以是一个不等式 ( (组组) )或方程或方程( (组组) )，也可理解为集合的代表元素所满足的限制，也可理解为集合的代表元素所满足的限制 条件条件. . 类型类型 一一 列举法表示集合列举法表示集合 【典型例题典型例题】 1.1.用列举法表示下列集合：用列举法表示下列集合： (
6、1)(1)乘坐“神舟九号”的航天员组成的集合为乘坐“神舟九号”的航天员组成的集合为_._. (2)(2)我国的直辖市组成的集合为我国的直辖市组成的集合为_._. (3)(3)联合国五大常任理事国组成的集合为联合国五大常任理事国组成的集合为_._. (4)(4)不大于不大于4 4的自然数组成的集合为的自然数组成的集合为_._. 2.2.用列举法表示下列集合用列举法表示下列集合. . (1)(1)方程方程x x2 2+2x+1=0+2x+1=0的解集的解集. . (2)(2)正整数集正整数集. . (3)(3)方程组方程组 的解集的解集. . 【解题探究解题探究】1.1.用列举法表示集合的关键是什
7、么？用列举法表示集合的关键是什么？ 2.2.数集和点集中的元素有什么不同？数集和点集中的元素有什么不同？ 探究提示：探究提示： 1.1.用列举法表示集合的关键是搞清构成集合的具体元素用列举法表示集合的关键是搞清构成集合的具体元素. . 2.2.数集中元素是数，而点集中元素是用坐标表示的点数集中元素是数，而点集中元素是用坐标表示的点. . xy3 2xy3 【解析解析】1.1.将集合中的元素一一列举出来将集合中的元素一一列举出来. . (1)(1)景海鹏，刘旺，刘洋景海鹏，刘旺，刘洋. (2)(2)北京，上海，天津，重庆北京，上海，天津，重庆. (3)(3)中国，美国，俄罗斯，法国，英国中国，美
8、国，俄罗斯，法国，英国. (4)0,1,2,3,4.(4)0,1,2,3,4. 答案：答案：(1)(1)景海鹏，刘旺，刘洋景海鹏，刘旺，刘洋 (2) (2)北京，上海，天津，北京，上海，天津， 重庆重庆 (3) (3)中国，美国，俄罗斯，法国，英国中国，美国，俄罗斯，法国，英国 (4)0 (4)0， 1 1，2 2，3 3，44 2.(1)2.(1)方程方程x x2 2+2x+1=0+2x+1=0的解为的解为x=x=- -1 1，其解集为，其解集为 - -1.1. (2)(2)正整数集用列举法表示为正整数集用列举法表示为1,2,3,4,1,2,3,4,. (3)(3)方程组方程组 的解为的解为
9、 故解集为故解集为(2(2，- -1).1). xy3 2xy3 ，x2 y1 ， ， 【拓展提升拓展提升】用列举法表示集合的三个注意点用列举法表示集合的三个注意点 (1)(1)用列举法表示集合时首先要注意元素是数、点，还是其他用列举法表示集合时首先要注意元素是数、点，还是其他 的对象，即先定性的对象，即先定性. . (2)(2)元素之间用元素之间用“，”隔开而非隔开而非“；”. . (3)(3)元素不能重复且无遗漏元素不能重复且无遗漏. . 【变式训练变式训练】用列举法表示下列集合：用列举法表示下列集合： (1)(1)方程方程(x(x- -2)2)2 2+|y+1|=0+|y+1|=0的解集
10、的解集. . (2)(2)正偶数组成的集合正偶数组成的集合. . 【解析解析】(1)(1)由方程由方程(x(x- -2)2)2 2+|y+1|=0+|y+1|=0可知，可知， 即即 从而方程的解集为从而方程的解集为(2(2，- -1).1). (2)(2)正偶数集合为正偶数集合为2,4,6,8,2,4,6,8,. x20 y10 ， ， x2 y1 ， ， 类型类型 二二 描述法表示集合描述法表示集合 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013南昌高一检测南昌高一检测) )已知集合已知集合M=y|y=xM=y|y=x2 2 ，用自然语言，用自然语言 描述描述M M应为应为( )( )
11、A.A.函数函数y=xy=x2 2的函数值组成的集合的函数值组成的集合 B.B.函数函数y=xy=x2 2的自变量的值组成的集合的自变量的值组成的集合 C.C.函数函数y=xy=x2 2的图象上的点组成的集合的图象上的点组成的集合 D.D.以上说法都不对以上说法都不对 2.2.用描述法表示下列集合：用描述法表示下列集合： (1)(1)被被3 3除余除余1 1的正整数组成的集合的正整数组成的集合. . (2)(2)坐标平面内第一象限的点组成的集合坐标平面内第一象限的点组成的集合. . (3)(3)大于大于4 4的所有偶数组成的集合的所有偶数组成的集合. . 【解题探究解题探究】1.1.怎样判断一
12、个集合是数集还是其他集合？怎样判断一个集合是数集还是其他集合？ 2.2.用描述法表示一个集合的步骤是什么？用描述法表示一个集合的步骤是什么？ 探究提示：探究提示： 1.1.判断一个集合是数集还是其他集合，先看其代表元素，以判断一个集合是数集还是其他集合，先看其代表元素，以 此来判断集合的属性此来判断集合的属性. . 2.2.用描述法表示集合时，首先应找出其代表元素，再探究元用描述法表示集合时，首先应找出其代表元素，再探究元 素的公共特征，最后表示出该集合素的公共特征，最后表示出该集合. . 【解析解析】1.1.选选A.A.从描述法表示的集合来看，代表元素是函数从描述法表示的集合来看，代表元素是
13、函数 值，即集合值，即集合M M表示函数表示函数y=xy=x2 2的函数值组成的集合的函数值组成的集合. . 2.(1)2.(1)根据被除数根据被除数= =商商除数除数+ +余数，可知此集合表示为余数，可知此集合表示为 x|x=3n+1x|x=3n+1，nN.nN. (2)(2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示第一象限内的点的横、纵坐标均大于零，故此集合可表示 为为(x,y)|x(x,y)|x0 0，y y0.0. (3)(3)偶数可表示为偶数可表示为2n2n，nZnZ，又因为大于，又因为大于4 4，故，故n3n3，从而用，从而用 描述法表示此集合为描述法表示此集合为x|x=
14、2nx|x=2n，n3n3，nZ.nZ. 【互动探究互动探究】若将题若将题2(2)2(2)改为“坐标平面内坐标轴上的点组改为“坐标平面内坐标轴上的点组 成的集合”成的集合”, ,结果如何？结果如何？ 【解析解析】对对x x轴：纵坐标为轴：纵坐标为0 0，横坐标为任意实数；对，横坐标为任意实数；对y y轴：横轴：横 坐标为坐标为0 0，纵坐标为任意实数，纵坐标为任意实数. .故坐标轴上的点满足故坐标轴上的点满足xy=0.xy=0.用集用集 合表示为合表示为(x,y)|xy=0.(x,y)|xy=0. 【拓展提升拓展提升】用描述法表示集合的三个注意点用描述法表示集合的三个注意点 (1)(1)先定性
15、，即弄清集合是数集、点集还是其他类型先定性，即弄清集合是数集、点集还是其他类型. .一般地，一般地， 数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对来表示数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实数对来表示. . (2)(2)竖线后要说明该集合中元素具有的共同特征，如方程、不竖线后要说明该集合中元素具有的共同特征，如方程、不 等式、函数或几何图形等等式、函数或几何图形等. . (3)(3)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明 其含义并指出其取值范围其含义并指出其取值范围. . 【变式训练变式训练】集合集合33， ， ， ，用描述法
16、可表示为用描述法可表示为( )( ) A.x|xA.x|x ，nNnN* * B.x|xB.x|x ，nNnN* * C.x|xC.x|x ，nNnN* * D.x|xD.x|x ，nNnN* * 【解析解析】选选D. D. 由由3 3， ， ， ，即，即 ， ， ， 从中发现规律，从中发现规律， x= ,nNx= ,nN* *, ,故可用描述法表示为故可用描述法表示为x|x= ,nNx|x= ,nN* * 5 2 7 3 9 4 n 2n1 2 2n3 n 2n1 n 2n1 n 5 2 7 3 9 4 3 1 5 2 7 3 9 4 2n1 n 2n1 n 类型类型 三三 列举法和描述法的
17、综合运用列举法和描述法的综合运用 【典型例题典型例题】 1.1.若集合若集合A A1,2,3,41,2,3,4，集合，集合B By|yy|yx x- -1 1，xAxA，将集合，将集合 B B用列举法表示为用列举法表示为_._. 2.2.用适当的方法表示图中阴影部分点用适当的方法表示图中阴影部分点( (含边界含边界) )的坐标的集合的坐标的集合 ( (不含虚线不含虚线).). 【解题探究解题探究】1.1.题题1 1中集合中集合B B的元素有什么特征？的元素有什么特征？ 2.2.如何根据集合中元素的特点选用适当方法表示集合？如何根据集合中元素的特点选用适当方法表示集合？ 探究提示：探究提示： 1
18、.1.集合集合B B中的元素中的元素y=xy=x- -1,1,而而xA,xA,可根据可根据x x的取值情况确定的取值情况确定y y的的 值值. . 2.2.一般地，当集合元素个数较少时选用列举法，当集合元素一般地，当集合元素个数较少时选用列举法，当集合元素 无限时选用描述法无限时选用描述法. . 【解析解析】1.x1.x1 1时，时，y y0 0；x x2 2时，时，y y1 1；x x3 3时，时，y y2 2； x x4 4时，时，y y3.3.故故B=0,1,2,3.B=0,1,2,3. 答案：答案：0,1,2,30,1,2,3 2.2.首先此集合为点集，且有无穷个点，适宜用描述法表示首
19、先此集合为点集，且有无穷个点，适宜用描述法表示. .另另 外阴影部分中点横、纵坐标都有限制条件，可表示为外阴影部分中点横、纵坐标都有限制条件，可表示为 (x(x，y)|y)|1x21x2， y1y1，且，且xy0.xy0. 1 2 【拓展提升拓展提升】用列举法和描述法表示集合的三点要求用列举法和描述法表示集合的三点要求 【变式训练变式训练】用适当方法表示下列集合：用适当方法表示下列集合： (1)(1)从从1,2,31,2,3这三个数字中抽出一部分或全部所组成的没有重这三个数字中抽出一部分或全部所组成的没有重 复数字的数的集合复数字的数的集合. . (2)(2)大于大于1010的整数组成的集合的
20、整数组成的集合. . 【解题指南解题指南】(1)(1)可用列举法表示可用列举法表示.(2).(2)列举法或描述法皆可列举法或描述法皆可. . 【解析解析】(1)(1)列举法：列举法：1,2,3,12,21,13,31,23,32,1,2,3,12,21,13,31,23,32, 123,132,213,231,321,312.123,132,213,231,321,312. (2)(2)列举法：列举法：11,12,13,14,15,11,12,13,14,15,. 描述法：描述法：x|xx|x是大于是大于1010的整数的整数. 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013昆明高一检测昆明
21、高一检测) )定义集合定义集合A A，B B的一种运算的一种运算 A*B=x|x=xA*B=x|x=x1 1+x+x2 2, ,其中其中x x1 1A,xA,x2 2BB，若，若A=1,2,3,B=1,2A=1,2,3,B=1,2， 则则A*BA*B中的所有元素数字之和为中的所有元素数字之和为( )( ) A.9 B.14 C.18 D.21A.9 B.14 C.18 D.21 2.2.对于一个集合对于一个集合S S，若，若aSaS时，有时，有 S S，则称这样的数集为，则称这样的数集为 “可倒数集”，试写出一个“可倒数集”：“可倒数集”，试写出一个“可倒数集”：_._. 与集合有关的创新问题
22、与集合有关的创新问题 1 a 【解析解析】1.1.选选B.x=xB.x=x1 1+x+x2 2，且，且x x1 1A,xA,x2 2B,B, A*BA*B中的元素有：中的元素有：1+1=2,1+2=3,2+2=4,3+2=5.1+1=2,1+2=3,2+2=4,3+2=5. 所有元素数字之和为所有元素数字之和为2+3+4+5=14.2+3+4+5=14. 2.2.本题是一道开放题本题是一道开放题. .由由“可倒数集可倒数集”的定义可知，满足题设的定义可知，满足题设 的集合有无数个，因此答案不唯一，如的集合有无数个，因此答案不唯一，如1,2, .1,2, . 答案：答案：1,2, (1,2, (
23、不唯一不唯一) ) 1 2 1 2 【拓展提升拓展提升】集合创新题的解题技巧集合创新题的解题技巧 解答集合创新题的关键是认真阅读题目，准确理解题目中的解答集合创新题的关键是认真阅读题目，准确理解题目中的 新定义，依照新定义中某些限定条件，并联系所学过的知识新定义，依照新定义中某些限定条件，并联系所学过的知识 找出解题的突破口找出解题的突破口. . 【易错误区易错误区】对描述法表示集合理解不到位致误对描述法表示集合理解不到位致误 【典例典例】集合集合A=0,1A=0,1，集合，集合B=(x,y)|xA,yAB=(x,y)|xA,yA，用列举，用列举 法表示集合法表示集合B B为为_._. 【解析
24、解析】A=0,1A=0,1，集合，集合B B中元素为中元素为(x,y)(x,y)， 且且xA,yAxA,yA， x=0,1,y=0,1,x=0,1,y=0,1, 当当x=0 x=0时，时，y=0y=0或或1 1， 此时点是此时点是(0(0，0)0) ， ，(0(0，1)1)， 当当x=1x=1时，时，y=0y=0或或1 1， 此时点是此时点是(1(1，0)0)，(1,1)(1,1) . . 故故B=(0,0)B=(0,0)，(1,1)(1,1)，(0,1)(0,1)，(1,0).(1,0). 答案：答案：(0,0)(0,0)，(1,1)(1,1)，(0,1)(0,1)，(1,0)(1,0) 【
25、类题试解类题试解】(2013(2013连州高一检测连州高一检测) )若若A=A=- -2,2,3,42,2,3,4， B=x|x=tB=x|x=t2 2,tA,tA，用列举法表示，用列举法表示B=_.B=_. 【解析解析】两集合中的元素有联系，即两集合中的元素有联系，即t=t=- -2 2，2 2，3 3，4 4时，时，x=4x=4， 4,94,9，1616，即集合，即集合B=4,9,16.B=4,9,16. 答案：答案：4,9,164,9,16 【误区警示误区警示】 【防范措施防范措施】 1.1.深刻理解描述法表示集合的含义深刻理解描述法表示集合的含义 描述法是抽象出元素共性，以此来表示集合
26、的方法，它适用描述法是抽象出元素共性，以此来表示集合的方法，它适用 于元素有共同特征的情况，像本例中于元素有共同特征的情况，像本例中B=(x,y)|xA,yA.B=(x,y)|xA,yA. 2.2.对符号对符号“ ”的认识的认识 本身就是本身就是“全部全部”或或“都都”的意思，若用列举法或描述法的意思，若用列举法或描述法 表示集合时，要注意把集合的全部元素都表示出来表示集合时，要注意把集合的全部元素都表示出来. .如本例答如本例答 案为案为(0,0),(1,1),(0,1),(1,0)(0,0),(1,1),(0,1),(1,0)，务必要列全，务必要列全. . 1.1.集合集合x|x|- -3
27、x33x3，xNxN用列举法表示应是用列举法表示应是( )( ) A.1,2,3 B.0,1,2,3A.1,2,3 B.0,1,2,3 C.C.- -2,2,- -1,0,1,2 D.1,0,1,2 D.3,3,2,2,1,0,1,2,31,0,1,2,3 【解析解析】选选B. x|B. x|3x33x3，xNxN表示表示3 3到到3 3的所有自然的所有自然 数组成的集合，所以用列举法表示应是数组成的集合，所以用列举法表示应是0,1,2,3.0,1,2,3. 2.2.若若P P(2(2，1)1)，(1,2)(1,2)，则集合，则集合P P中元素的个数是中元素的个数是( )( ) A.1 B.2
28、 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4 【解析解析】选选B.(2B.(2，1)1)，(1,2)(1,2)为两个不同元素，共为两个不同元素，共2 2个个. . 3.3.已知集合已知集合M=3,m+1M=3,m+1，4M4M，则实数，则实数m m的值为的值为( )( ) A.4 B.3 C.2 D.1A.4 B.3 C.2 D.1 【解析解析】选选B.4MB.4M，而，而M=3,m+1M=3,m+1， m+1=4m+1=4，即，即m=3.m=3. 4.4.已知集合已知集合M Mx|xx|x7n7n2 2，nNnN，则，则2 011_M2 011_M， 2 012_M(2 012_M(填填或
29、或 ) ) 【解析解析】2 0112 0117 72872872,2 0122,2 0127 72872873 3， 2 011M,2 0122 011M,2 012 M.M. 答案：答案： 5.5.当当a,0,a,0,- -1=41=4，b b，00时，时，a=_,b=_.a=_,b=_. 【解析解析】a,0,a,0,- -1=41=4，b b，00，b=b=- -1,a=4.1,a=4. 答案：答案：4 4 - -1 1 6.6.用适当的方法表示下列集合：用适当的方法表示下列集合： (1)(1)大于大于1 1且不大于且不大于1010的素数组成的集合的素数组成的集合. . (2)(2)- -1,1,3,51,1,3,5组成的集合组成的集合. . 【解析解析】(1)(1)由题意可知满足条件的素数是由题意可知满足条件的素数是2,3,5,7,2,3,5,7, 故表示为故表示为2,3,5,7.2,3,5,7. (2)(2)- -1,1,3,51,1,3,5或或x|x=2kx|x=2k- -1,kZ1,kZ且且0k3.0k3.
