1、第2课时 指数幂及运算 一、分数指数幂的意义一、分数指数幂的意义 分分 数数 指指 数数 幂幂 正分数指正分数指 数幂数幂 规定：规定： =_=_ (a0,m,nN(a0,m,nN* *, ,且且n1)n1) 负分数指负分数指 数幂数幂 规定：规定： =_=_=_=_ (a0,m,nN(a0,m,nN* *, ,且且n1)n1) 0 0的分数指的分数指 数幂数幂 0 0的正分数指数幂等于的正分数指数幂等于_,0_,0的负分数指数幂的负分数指数幂 _ m n a mn a m n a m n 1 a mn 1 a 0 0 没有意义没有意义 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，
2、错误的打“”)”) (1)(1)只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式只要根式有意义，都能化成分数指数幂的形式.( ).( ) (2)(2)分数指数幂分数指数幂 可以理解为可以理解为 个个a a相乘相乘.( ).( ) (3)0(3)0的任何指数幂都等于的任何指数幂都等于0.( )0.( ) m n a m n 提示：提示：(1)(1)正确正确. .引入分数指数幂之后引入分数指数幂之后, ,任何有意义的根式都能任何有意义的根式都能 化成分数指数幂的形式化成分数指数幂的形式, , 即即 (2)(2)错误错误. .分数指数幂分数指数幂 不可以理解为不可以理解为 个个a a相乘相乘. .事实上，它
3、事实上，它 是根式的一种新写法是根式的一种新写法. . (3)(3)错误错误. .因为因为0 0的负指数幂无意义，所以此说法是错误的的负指数幂无意义，所以此说法是错误的. . 答案：答案：(1) (2)(1) (2) (3)(3) m mn n aa . m n a m n 二、有理数指数幂的运算性质二、有理数指数幂的运算性质 (1)a(1)ar ra as s=_(a=_(a0,r,sQ).0,r,sQ). (2)(a(2)(ar r) )s s=_(a=_(a0,r,sQ).0,r,sQ). (3)(ab)(3)(ab)r r=_(a=_(a0,b0,b0,rQ).0,rQ). a ar+
4、s r+s a ars rs a ar rb br r 思考：思考：在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定在有理数指数幂的运算性质中，为什么要规定a a0?0? 提示：提示：(1)(1)若若a=0a=0，0 0的负数指数幂无意义的负数指数幂无意义, , (ab)(ab)r r=a=ar rb br r，当，当r r0 0时不成立，时不成立，a0.a0. (2)(2)若若a a0 0，(a(ar r) )s s=a=ars rs也不一定成立 也不一定成立, ,如如 a a0 0时不成立时不成立. .因此规定因此规定a a0.0. 11 2 42 4( 4) , 三、无理数指数幂三、无理数指数幂
5、 无理数指数幂无理数指数幂a a(a(a0,0, 是无理数是无理数) )是一个确定的是一个确定的_,_,有理有理 数指数幂的运算性质对于无理数指数幂数指数幂的运算性质对于无理数指数幂_._. 思考：思考：为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数为什么在规定无理数指数幂的意义时，必须规定底数 是正数？是正数？ 提示：提示：底数大于零是必要的，否则会造成混乱，如底数大于零是必要的，否则会造成混乱，如a=a=- -1,1,则则 ( (- -1)1) 是 是1 1还是还是- -1 1就无法确定了，规定后就清楚了就无法确定了，规定后就清楚了. . 实数实数 同样适用同样适用 【知识点拨知识点拨】
6、1.1.“三角度三角度”理解分数指数幂理解分数指数幂 (1)(1)角度一：与根式的关系角度一：与根式的关系. . 分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相分数指数幂是根式的另一种写法，根式与分数指数幂可以相 互转化互转化. . (2)(2)角度二：底数的取值范围角度二：底数的取值范围. . 由分数指数幂的定义知由分数指数幂的定义知a0a0， 可能会有意义可能会有意义. .当当 有意义有意义 时可借助定义将底数化为正数，再进行运算时可借助定义将底数化为正数，再进行运算. . m n a m n a (3)(3)角度三：运算性质角度三：运算性质. . 分数指数幂的运算性质形式上与整数指
7、数幂的运算性质完全分数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全 一样一样. .记忆有理数指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相记忆有理数指数幂的运算性质的口诀是：乘相加，除相 减，幂相乘减，幂相乘. . 2.2.关于指数运算性质的四点说明关于指数运算性质的四点说明 (1)(1)无理数指数幂的运算性质是有理数指数幂运算性质的推广无理数指数幂的运算性质是有理数指数幂运算性质的推广. . (2)(2)运算性质的形式要掌握，它是化简的基础运算性质的形式要掌握，它是化简的基础. . (3)(3)运算性质可以逆用运算性质可以逆用. .如如a amn mn=(a =(am m) )n n=(a=(a
8、n n) )m m(a0).(a0). (4)(4)要会用文字语言来叙述运算性质要会用文字语言来叙述运算性质. . 3.3.对无理数指数幂的理解对无理数指数幂的理解 (1)(1)无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数无理数可以作为指数，并且它的结果是一个实数. . (2)(2)无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算，无理数指数幂是一个确定的实数，所以能进行指数的运算， 也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用也能进行幂的运算，有理数指数幂的运算性质，同样也适用 于无理数指数幂于无理数指数幂. .类比有理数指数幂的运算性质可以得到无理类比有理数指数幂的运算性质可以得到
9、无理 数指数幂的运算性质数指数幂的运算性质. .对任意的实数对任意的实数r,s,r,s,均有下面的运算性质：均有下面的运算性质： a ar ra as s=a=ar+s r+s(a0,r,sR). (a0,r,sR). (a(ar r) )s s=a=ars rs(a0,r,sR). (a0,r,sR). (ab)(ab)r r=a=ar rb br r(a0,b0,r(a0,b0,rR).R). 类型类型 一一 根式与分数指数幂的互化根式与分数指数幂的互化 【典型例题典型例题】 1.1.下列互化中正确的是下列互化中正确的是( )( ) A. (x0)A. (x0) B. (y0)B. (y0
10、) C. (x,y0)C. (x,y0) D.D. 2.2.将将 化为分数指数幂的形式是化为分数指数幂的形式是_._. 1 2 xx 1 2 63 yy 3 3 4 4 xy ( )( ) yx 1 3 3 xx a a a 【解题探究解题探究】1.1.分数指数幂的底数分数指数幂的底数a0a0时成立吗？如何处理？时成立吗？如何处理？ 2.2.根式中的根指数和被开方数根式中的根指数和被开方数( (式式) )的指数与分数指数幂有怎样的指数与分数指数幂有怎样 的对应关系？的对应关系？ 探究提示：探究提示： 1.1.由分数指数幂的定义知由分数指数幂的定义知a0a0， 可能会有意义，当可能会有意义，当
11、有意有意 义时可借助定义将底数化为正数义时可借助定义将底数化为正数, ,再进行运算，如再进行运算，如 等等. . 2.2.根指数根指数 分数指数的分母，被开方数分数指数的分母，被开方数( (式式) )的指数的指数 分数指分数指 数的分子数的分子. . m n a m n a 33 3 555 ( 5)55 【解析解析】1.1.选选C. C. 故选项故选项A A不正确；选项不正确；选项B B中，中，y0y1x1，则，则x x2 2- -x x- -2 2的值为的值为( )( ) A.2A.2或或- -2 B.2 B.- -2 C. D.22 C. D.2 2.2.已知已知x+y=12x+y=12
12、，xy=9xxy=9x，且，且xyx1x1，所以，所以x x2 2xx- -2 2，x x2 2- -x x- -2 200， 故故x x2 2- -x x- -2 2= = 2.2.由由x+y=12x+y=12及及xy=9xxy=9x得得x(12x(12- -x)=9xx)=9x， 所以所以 或或 当当 时，时， 当当 时，时， 2 2 2 22 xx4842. x0 y12 ，x3 y9 ， ， x0 y12 ， 11 22 11 22 xy 1 xy ， x3 y9 ， 1111 2222 1111 2222 xy3933 32. 33 xy39 【拓展提升拓展提升】条件等式求值的原则和
13、方法技巧条件等式求值的原则和方法技巧 (1)(1)原则：对于条件等式的求值问题，可以把所要求的式子原则：对于条件等式的求值问题，可以把所要求的式子 先进行变形，找出与条件等式的联系，然后求值先进行变形，找出与条件等式的联系，然后求值. . 也可以先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更也可以先对条件加以变形，使它与所要求的式子的联系更 加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值加明显，从整体上把握代数式的结构特点，然后求值. . (2)(2)方法技巧：乘法公式在分数指数幂当中的应用及方法技巧：乘法公式在分数指数幂当中的应用及“整体代整体代 换换”的技巧、换元思想的技巧、换元思想. .
14、【变式训练变式训练】已知已知 =0=0，求，求y yx x的值的值. . 【解题指南解题指南】解决本题的关键是根据已知条件，求出解决本题的关键是根据已知条件，求出x,yx,y的值的值. . 【解析解析】由由 =0=0得，得，|x|x- -1|+|y+3|=01|+|y+3|=0，所以，所以 x=1x=1，y=y=- -3 3，y yx x=(=(- -3)3)1 1= =- -3.3. 22 x2x1y6y9 22 x2x1y6y9 根式与分数指数幂的应用根式与分数指数幂的应用 【典型例题典型例题】 1. 1. 从小到大的排列顺序为从小到大的排列顺序为_._. 2 2在在 中最大的数是中最大的
15、数是_._. 36 511 123， ， 11 11 22 11 ()2( )2 22 ， ， 【解析解析】1.1. 121123125121123010 . . 2 4 3 3 4 3 4 1 4 4 1 1a a1 |1a | a1 (a1) a1 a1a1. 【类题试解类题试解】化简化简： =_.=_. 【解析解析】由由 知知, ,- -a0,a0,a0,a0,故故a a- -1 10 0， 所以所以 答案：答案： 1 1 2 2 2 1 aa1a 1 2 a 1 1 2 2 2 11 1 44 1 aa1a 1 a1 aaa. 1 4 a 【误区警示误区警示】 【防范措施防范措施】 1
16、.1.注意隐含条件的挖掘注意隐含条件的挖掘 要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时，要注意是否是要关注条件中有无隐含条件，在出现根式时，要注意是否是 偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中是四次方根，偶次方根，被开方数是否符合要求，如本例中是四次方根， 则必须则必须(a(a- -1)1)3 300，即，即a a- -10.10. 2.2.准确应用公式和性质准确应用公式和性质 对于公式和性质要记住且要记准对于公式和性质要记住且要记准. .如本例根式与分数指数幂的如本例根式与分数指数幂的 互化公式，以及分数指数幂的运算性质互化公式，以及分数指数幂的运算性质. . 1 1若若a0a0，且，且m,n
17、m,n为整数，则下列各式中正确的是为整数，则下列各式中正确的是( )( ) A.aA.am ma an n= B.a= B.am maan n=a=am+n m+n C.(aC.(am m) )n n=a=am+n m+n D.1 D.1- -a an n=a=a0 0- -n n 【解析解析】选选B.B.同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以 a am ma an n=a=am+n m+n正确 正确. . m n a 2. 2. 可化为可化为( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 【解析解析】选选A.A.当根式化分数指数幂时，注意分
18、子与分母，当根式化分数指数幂时，注意分子与分母， 25 a 2 5 a 5 2 a 2 5 a 5 2 a 2 25 5 aa. 3.3.若若1010 x x=3,10=3,10y y=4,=4,则则1010 x x- -y y=_.=_. 【解析解析】 答案：答案： x x y y 103 10. 104 3 4 4. 4. 的值是的值是_._. 【解析解析】 答案：答案： 1 4 81 () 625 1 1 4 41 4 81335 ()( )( ). 625553 5 3 5.5.求值：求值： (1)(1) (2)(2) 1 40 4 515. 2 211 0.50.25 3 322 34 (3 )(5 )0.0080.020.320.0625. 89 【解析解析】(1)(1) (2)(2) 11 400 4 44 5155155 14. 2 211 0.50.25 3 322 221111 332224 34 (3 )(5 )0.0080.020.320.0625 89 27498232625 ()()()()()() 89100010010010000 4724 2 (25)2 931010 164 . 27
