1、第一章 阶段复习课 【答案速填答案速填】互异性互异性 描述法描述法 交集交集 解析法解析法 奇偶性奇偶性 类型类型 一一 集合间的关系与运算集合间的关系与运算 1.1.求解集合间的基本关系问题的方法技巧求解集合间的基本关系问题的方法技巧 (1)(1)合理运用韦恩合理运用韦恩(Venn)(Venn)图或数轴帮助分析和求解图或数轴帮助分析和求解. . (2)(2)在解含参数的问题时，一般要对参数进行讨论，分类时要在解含参数的问题时，一般要对参数进行讨论，分类时要 “不重不漏”，然后对每一类情况都要给出问题的解答“不重不漏”，然后对每一类情况都要给出问题的解答. . 2.2.集合运算中的注意事项集合
2、运算中的注意事项 (1)(1)注重数形结合注重数形结合( (数轴或韦恩数轴或韦恩(Venn)(Venn)图图) )在集合运算中的应用在集合运算中的应用. . (2)(2)集合的包含关系集合的包含关系(A(A B)B)中端点的“中端点的“=”=”取舍规律取舍规律 a+1a+1- -1 1 a+1a+1- -1 1 a+1a+1- -1 1 a+1a+1- -1 1 【典例典例1 1】(1)(1)已知已知M=x|M=x|- -2x52x5，N=x|a+1x2aN=x|a+1x2a- -1.1.若若 M NM N，求实数，求实数a a的取值范围的取值范围. . (2)(2)若集合若集合M=x|x5M
3、=x|x5或或x7x7，N=x|m+1x2mN=x|m+1x2m- -11，且，且MN=RMN=R， 试求试求m m的值的值. . 【解析解析】(1)(1)当当N=N= 时，即时，即a+1a+12a2a- -1 1，有，有 a a2 2； 当当NN 时，则时，则 解得解得2a32a3， 综合得综合得a a的取值范围为的取值范围为a3.a3. (2)M=x|x5(2)M=x|x5或或x7x7， N=x|m+1x2mN=x|m+1x2m- -11，且，且MN=R,MN=R, m=4.m=4. 2a1, 52a1, 2a1a1, m15m4, 2m 17m4 ， 【互动探究互动探究】把题把题(2)(
4、2)的条件“的条件“MN=R”MN=R”变成“变成“N N M”M”，其他，其他 条件不变，则此时条件不变，则此时m m的取值范围如何？的取值范围如何？ 【解析解析】集合集合M=x|x5M=x|x5或或x7x7，N=x|m+1x2mN=x|m+1x2m- -1,1, 且且N N M,M, 当当N=x|m+1x2mN=x|m+1x2m- -1=1= , , 即即m+1m+12m2m- -1 1时，时， 解得：解得：m m2.2. 当当N=x|m+1x2mN=x|m+1x2m- -11 , , 即即m+12mm+12m- -1 1，m2m2时，时， 应有应有2m2m- -1515或或m+17.m+
5、17. 解得：解得：2m32m3或或m6.m6. 综上可知综上可知m3m3或或m6.m6. 类型类型 二二 求函数的定义域求函数的定义域 求函数定义域的类型与方法求函数定义域的类型与方法 (1)(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自 变量的取值集合变量的取值集合. . (2)(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应 考虑使实际问题有意义考虑使实际问题有意义. . (3)(3)复合函数问题：复合函数问题： 若若f(x)f(x)的定义域为的定义域为a,ba,b，f(
6、g(x)f(g(x)的定义域应由的定义域应由 ag(x)bag(x)b解出；解出； 若若f(g(x)f(g(x)的定义域为的定义域为a,ba,b，则，则f(x)f(x)的定义域为的定义域为g(x)g(x)在在 a,ba,b上的值域上的值域. . 注意：注意：f(x)f(x)中的中的x x与与f(g(x)f(g(x)中的中的g(x)g(x)地位相同；地位相同； 定义域所指永远是定义域所指永远是x x的范围的范围. . 【典例典例2 2】(1)(1)函数函数f(x)= +(3xf(x)= +(3x- -1)1)0 0的定义域是的定义域是( )( ) A.(A.(- -, ) B.( 1), ) B
7、.( 1) C.( ) D.(C.( ) D.(- -, )( 1), )( 1) (2)(2)已知函数已知函数y=f(x+1)y=f(x+1)定义域是定义域是- -2 2，3 3，则，则y=f(2xy=f(2x- -1)1)的定的定 义域是义域是( )( ) A.A.0 0， B.B.- -1 1，4 4 C.C.- -5 5，5 5 D.D.- -3 3，7 7 2 3x 1x 1 3 1 3 1 , 3 1 , 3 1 1 , 3 3 5 2 【解析解析】(1)(1)选选D.D.由题意得，由题意得， 解得解得x x1 1且且xx (2)(2)选选A.A.- -2x32x3，则，则- -1
8、x+141x+14，故，故- -12x12x- -1414，解得，解得 0 x0 x 1x0 3x10 ， ， 1 . 3 5 . 2 类型类型 三三 函数解析式的求法函数解析式的求法 求函数解析式的题型与方法求函数解析式的题型与方法 (1)(1)已知形如已知形如f(g(x)f(g(x)的表达式，求的表达式，求f(x)f(x)的表达式的表达式换元法换元法 或配凑法或配凑法. . (2)(2)已知函数的类型已知函数的类型( (往往是一次或二次函数往往是一次或二次函数) )待定系数法待定系数法. . (3)(3)含含f(x)f(x)与与f(f(- -x)x)，f(x)f(x)与与f( )f( )解
9、方程组法解方程组法. . (4)(4)已知一个区间的表达式，求另一个区间的表达式已知一个区间的表达式，求另一个区间的表达式奇偶奇偶 性转移法性转移法. . 1 x 【典例典例3 3】(1)(1)已知已知f(2x+1)=xf(2x+1)=x2 2- -x,x,则则f(x)=_.f(x)=_. (2)(2)已知已知f(x)+2f(f(x)+2f(- -x)=3xx)=3x- -2 2，求，求f(x)f(x)的解析式的解析式. . 【解析解析】(1)(1)设设2x+1=t2x+1=t，则，则 所以所以 答案：答案： (2)(2)因为因为f(x)+2f(f(x)+2f(- -x)=3xx)=3x- -
10、2 2，以，以- -x x代代x x得得f(f(- -x)+2f(x)=x)+2f(x)=- -3x3x- -2 2， 两式联立解得两式联立解得f(x)=f(x)=- -3x3x- - t1 x 2 ， 2 2 t1t1t3 f t()t 2244 ， 2 x3 f xx. 44 2 x3 x 44 2 . 3 类型类型 四四 函数的图象及应用函数的图象及应用 作函数图象的方法作函数图象的方法 方法一：描点法方法一：描点法求定义域；化简；列表、描点、连光滑求定义域；化简；列表、描点、连光滑 曲线曲线. . 注意：注意：要利用单调性、周期性、奇偶性、对称性简化作图要利用单调性、周期性、奇偶性、对
11、称性简化作图. . 方法二：变换法方法二：变换法熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、 翻转翻转. . (1)(1)平移平移 y=f(x) y=f(xy=f(x) y=f(xh)h)； y=f(x) y=f(x)y=f(x) y=f(x)k.k. (2)(2)对称对称 y=f(x) y=f(y=f(x) y=f(- -x)x)； y=f(x) y=y=f(x) y=- -f(x);f(x); y=f(x) y=y=f(x) y=- -f(f(- -x).x). 左加右减左加右减 上加下减上加下减 关于关于y y轴对称轴对称 关于关于x x轴对称轴对称 关于原点对称
12、关于原点对称 (3)(3)翻折翻折 图示：图示：y=f(x)y=f(|x|)y=f(x)y=f(|x|)； 图示：图示：y=f(x)y=|f(x)|.y=f(x)y=|f(x)|. 【典例典例4 4】作出函数作出函数f(x)=|xf(x)=|x2 2- -4x|4x|的图象，由图象写出函数的的图象，由图象写出函数的 单调增区间，求其在单调增区间，求其在1,31,3上的值域上的值域. . 【解析解析】f(x)=|xf(x)=|x2 2- -4x|4x|的图象如下：的图象如下： 由图象知，单调增区间为由图象知，单调增区间为0 0，2 2，4 4，+)+)，所以，所以 f(x)=|xf(x)=|x2
13、 2- -4x|4x|在在1 1，2 2上单调递增，上单调递增，2 2，3 3上单调递减，上单调递减， 而而f(1)=f(3)=3f(1)=f(3)=3，f(2)=4f(2)=4，故其在，故其在1,31,3上的值域为上的值域为3 3，4 4. . 类型类型 五五 函数的奇偶性与单调性函数的奇偶性与单调性 应用函数单调性与奇偶性的三大类型应用函数单调性与奇偶性的三大类型 (1)(1)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间利用函数的单调性和奇偶性求单调区间. . (2)(2)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式. . (3)(3)利用函数的单调性和奇偶性
14、求参数的取值范围利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围. . 【典例典例5 5】已知函数已知函数 是定义在是定义在( (- -1 1，1)1)上的奇函上的奇函 数，且数，且 (1)(1)确定函数确定函数f(x)f(x)的解析式的解析式. . (2)(2)当当x(x(- -1 1，1)1)时判断函数时判断函数f(x)f(x)的单调性，并证明的单调性，并证明. . (3)(3)解不等式解不等式f(2xf(2x- -1)+f(x)1)+f(x)0.0. 2 axb f x x1 12 f( ). 25 【解析解析】(1)(1)由题意可知由题意可知f(f(- -x)=x)=- -f(x),f(x),
15、 b=0, b=0, 又又 a=1,a=1, 22 axbaxb , 1x1x 2 ax f x. 1x 12 f( ), 25 2 x f x. 1x (2)(2)当当x(x(- -1 1，1)1)时，函数时，函数f(x)f(x)是单调递增的是单调递增的. . 证明如下：设证明如下：设- -1 1x x1 1x x2 21 1， 则则 - -1 1x x1 1x x2 21 1，x x1 1- -x x2 20,10,1- -x x1 1x x2 20.0. 又又1+ 1+ 0 0，1+ 1+ 0,0, 0,0, 即即f(xf(x1 1) )- -f(xf(x2 2) )0 0，函数函数f(
16、x)f(x)为增函数为增函数. . 12 12 22 12 22 1212 112221 2222 1212 xx f xf x 1x1x xx(1x x )xx xxx x . 1x1x1x1x 2 1 x 2 2 x 1212 22 12 xx(1x x ) 1x1x (3)f(2x(3)f(2x- -1)+f(x)1)+f(x)0 0，f(2xf(2x- -1)1)- -f(x).f(x). 又又f(x)f(x)是定义在是定义在( (- -1 1，1)1)上的奇函数，上的奇函数， f(2xf(2x- -1)1)f(f(- -x)x)， 0 0 x x 不等式不等式f(2xf(2x- -1
17、)+f(x)1)+f(x)0 0的解集为的解集为(0, ).(0, ). 1 2x1 1, 1x 1, 2x1x, 1 , 3 1 3 【跟踪训练跟踪训练】 1.1.设集合设集合A=3A=3，5 5，6 6，88，集合，集合B=4B=4，5 5，7 7，88，则，则ABAB等等 于于( )( ) A.3A.3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 B.38 B.3，66 C.4C.4，7 D.57 D.5，88 【解析解析】选选D.D.集合集合A A与集合与集合B B的公共元素为的公共元素为5 5，8.8. 2.2.函数函数f(x)= +(xf(x)= +(x- -1)1)0 0的定义域为的定义
18、域为( )( ) A.A.1 1，+) B.(1+) B.(1，+)+) C.C.1 1，2)(22)(2，+) D.(1+) D.(1，2)(22)(2，+)+) 【解析解析】选选D.D.由题意由题意 解得解得x(1,2)(2,+).x(1,2)(2,+). x1 x2 x10, x20, x10, 3.(20123.(2012新课标全国高考新课标全国高考) )已知集合已知集合A=1,2,3,4,5A=1,2,3,4,5， B=(x,y)|xA,yA,xB=(x,y)|xA,yA,x- -yA,yA,则则B B中所含元素的个数为中所含元素的个数为( )( ) A.3 B.6 C.8 D.10
19、A.3 B.6 C.8 D.10 【解析解析】选选D.B=(x,y)|xA,yA,xD.B=(x,y)|xA,yA,x- -yA.yA. A=1,2,3,4,5,x=2,y=1;A=1,2,3,4,5,x=2,y=1; x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3;x=3,y=1,2;x=4,y=1,2,3; x=5,y=1,2,3,4.x=5,y=1,2,3,4. B=(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),B=(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2), (5,3),(5,4)(5,3
20、),(5,4)， B B中所含元素的个数为中所含元素的个数为10.10. 4.4.设设f(x)f(x)是是R R上的奇函数上的奇函数, ,且满足且满足f(x+2)=f(x+2)=- -f(x),f(x),当当0 x10 x1时时, , f(x)=x,f(x)=x,则则f(3.5)=_.f(3.5)=_. 【解析解析】由由f(x+2)=f(x+2)=- -f(x)f(x)， f(3.5)=f(3.5)=- -f(1.5)=f(f(1.5)=f(- -0.5)0.5)， 又又f(x)f(x)是是R R上的奇函数上的奇函数, ,故故f(f(- -x)=x)=- -f(x),f(x),且当且当0 x1
21、0 x1时时, , f(x)=xf(x)=x，所以，所以f(f(- -0.5)=0.5)=- -f(0.5)=f(0.5)=- -0.5,0.5,即即f(3.5)=f(3.5)=- -0.5.0.5. 答案：答案：- -0.50.5 5.5.已知已知 则则f(x+1)f(x+1)的表达式为的表达式为_._. 【解析解析】设设x x- - =t=t，则，则 =t=t2 2+2+2，所以，所以f(t)=tf(t)=t2 2+2+2， f(x+1)=(x+1)f(x+1)=(x+1)2 2+2.+2. 答案：答案：f(x+1)=(x+1)f(x+1)=(x+1)2 2+2+2 2 2 11 f(x)
22、x xx ， 1 x 2 2 1 x x 6.6.函数函数f(x)=f(x)=- -x x2 2+2ax+1+2ax+1- -a a在区间在区间0 0，1 1上有最大值上有最大值2 2，则实，则实 数数a a的值为的值为_._. 【解析解析】f(x)f(x)的对称轴为的对称轴为x=ax=a，当，当a a0 0时时, ,0 0，1 1是是f(x)f(x)的递的递 减区间，减区间，f(x)f(x)max max=f(0)=1 =f(0)=1- -a=2a=2a=a=- -1 1； 当当a a1 1时时, ,0 0，1 1是是f(x)f(x)的递增区间，的递增区间， f(x)f(x)max max=
23、f(1)=a=2 =f(1)=a=2a=2a=2；当；当0a10a1时时,f(x),f(x)max max=f(a)= =f(a)= a a2 2- -a+1=2a+1=2， 与与0a10a1矛盾，所以矛盾，所以a=a=- -1 1或或2.2. 答案：答案：- -1 1或或2 2 15 a, 2 7.7.已知函数已知函数f(x)= f(x)= 且且f(1)=2.f(1)=2. (1)(1)判断函数判断函数f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性. . (2)(2)判断函数判断函数f(x)f(x)在在(1(1，+)+)上是增函数，并用定义证明你的上是增函数，并用定义证明你的 结论结论. . (3)(3)
24、若若f(a)f(a)2 2，求实数，求实数a a的取值范围的取值范围. . m x x ， 【解析解析】由由f(1)=2f(1)=2得得1+m=21+m=2，所以，所以m=1,m=1, 所以所以f(x)=f(x)= (1)f(x)= (1)f(x)= 的定义域为的定义域为( (- -，0)(00)(0，+)+)， 所以所以f(x)f(x)为奇函数为奇函数. . 1 x. x 1 x x 11 fxx(x)f x xx ， (2)f(x)= (2)f(x)= 在在(1(1，+)+)上是增函数上是增函数. . 证明：设任意的证明：设任意的x x1 1,x,x2 2(1(1，+)+)，且，且x x1
25、 1x x2 2, ,则则 f(xf(x1 1) )- -f(xf(x2 2)=(x)=(x1 1- -x x2 2) )- - =(x=(x1 1- -x x2 2) ) 因为因为1 1x x1 1x x2 2，所以，所以x x1 1- -x x2 20 0，x x1 1x x2 21 1，x x1 1x x2 2- -1 10 0， 所以所以f(xf(x1 1) )- -f(xf(x2 2) )0 0，即，即f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )， 所以所以f(x)f(x)在在(1(1，+)+)上是增函数上是增函数. . 1 x x 12 12 xx x x 12 12 x x1
26、 x x ， (3)(3)设任意的设任意的x x1 1,x,x2 2(0(0，1)1)，且，且x x1 1x x2 2，由，由(2)(2)知知 f(xf(x1 1) )- -f(xf(x2 2)=)= 由由x x1 1- -x x2 20 0，0 0 x x1 1x x2 21 1， 所以所以f(xf(x1 1) )- -f(xf(x2 2) )0 0，即，即f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2).). 所以所以f(x)f(x)在在(0(0，1)1)上是减少的上是减少的. . 由由f(x)f(x)在在(1(1，+)+)上是增加的，上是增加的， 在在(0(0，1)1)上是减少的，且上是减少的，且f(1)=2f(1)=2知，知， 1212 12 xxx x1 x x ， 当当a(0a(0，1)1)时，时，f(a)f(a)2=f(1)2=f(1)成立；成立； 当当a(1a(1，+)+)时，时，f(a)f(a)2=f(1)2=f(1)成立；成立； 而当而当a a0 0时，时，f(a)f(a)0 0，不满足题设，不满足题设. . 综上可知，实数综上可知，实数a a的取值范围为的取值范围为(0(0，1)(11)(1，+).+).
