1、第二章 实数二次根式2.什么是一个数的平方根？如何表示？1.什么叫做一个数的算术平方根？如何表示？一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根(或二次方根).用 (a0)表示.一般地，若一个正数x的平方等于a，即 ，那么这个正数x就叫做a的算术平方根.a的算术平方根是(a0),其中0的算术平方根是0.知识回顾 正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根是0；负数没有平方根.3.平方根的性质是什么？1.16的平方根是什么?算术平方根是什么？2.0的平方根是什么？算术平方根是什么？3.7有没有平方根？有没有算术平方根？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.思考
2、 如图所示，已知正方形的面积为b-3，则正方形的边长是 .b-3表示一些正数的算术平方根;a叫做被开方数.你认为所得的各代数式有哪些共同特点？一般地，形如 （a0)的式子叫做二次根式;2.a可以是数,也可以是式；3.形式上含有二次根号 ；5.既可表示开平方运算,也可表示运算的结果.1.表示a的算术平方根；4.a0,0 (双重非负性)；一般地，形如 （a0)的式子叫做二次根式.核心归纳观察下面的式子，它们都有什么共同特点？被开方数不含分母，也没有能开得尽方的因数想一想：（aa0 0，b b00）注：在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示非负数积的算术平方根等于各个被开方数算术平方根的积.积
3、的算术平方根的性质 一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.核心归纳成立吗？为什么？成立吗？为什么？想一想：非负数 商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除 式的算术平方根式的算术平方根商的算术平方根的性质商的算术平方根的性质核心归纳(m0),(x,y 异号)，例1 说一说下列各式哪些是二次根式.自主探究 (3)(3)(4)(4)，(5)判断下列代数式中哪些是二次根式.，练一练（）例2 求下列二次根式中字母的取值范围：【解析解析】（1 1）由于被开方数是非负数，可）由于被开方数是非负数，可 知知a+1
4、0a+10，即，即a-1.a-1.（2 2）由于被开方数是非负数，且分母不）由于被开方数是非负数，且分母不为零，可知为零，可知1-2a01-2a0，即，即a .a .（3 3）由（）由（a-3a-3）2 200，可知，可知a a可以取任意实数可以取任意实数.自主探究2.已知a，b为实数，且满足 你能求出a及 a+b 的值吗？【解析解析】依题意知：依题意知：2 2b-10-10，1-21-2b 0,0,所以所以b=,=,把把b=代入原式，得代入原式，得a=1,=1,所以所以a+b=1+=1+=1.满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次根式：2.上述化简后的二次根式有什么特点?你会怎么对
5、它们进行分类?几个二次根式化简后被开方数相同为一组；为一组.二次根式的乘除运算还记得吗?（a0，b0），（a0，b0）二次根式的乘法法则和除法法则（a0，b0），（a0，b0）典例精析例1：计算:练一练计算:1.试回顾如何计算3a22a3=.还记得单项式乘以单项式的法则吗？2.如何计算呢？6a5解：归纳总结u二次根式的乘法扩充法则第一步：根号外的系数与系数相乘，积为结果的系数；第二步：根式和根式按公式相乘.利用它可以进行二次根式的化简.想一想（2）x2+2x2+4y=;1.（1）3x2+2x2=;2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：解：3.能不能再进行计算?为什么?答：不能，因为它们都是最
6、简二次根式，被开方数不相同，所以不能合并.5x23x2+4y合作探究二次根式的加减运算典例精析解：(1)原式=例2：计算:(2)原式=(3)原式=(4)原式=典例精析解：(5)原式=例2：计算:(6)原式=北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件归纳总结u二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.要点提醒1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”.2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并.北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件问题引入 如果
7、梯形的上、下底长分别为 cm,cm，高为 cm，那么它的面积是多少？北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件二次根式的混合运算例1：计算：解：（1）（2）北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件解法一：（3）你还有其他解法吗？北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件解法二：原式=北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件解：(4)原式=思考：还可以继续化简吗？为什么？如果算式当中有个别二次根式化简最简二次根式仍不能与其它最简二次根式合并同类项，结果中可保留，不必化为最简式.提醒北师大版
8、八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件 二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算.要点归纳北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件二次根式的化简求值问题：化简 ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？解法一：把a=3，b=2代入代数式中，原式=解法二：原式=把a=3，b=2代入代数式中，原式先代入后化简先化简后代入哪种简便？北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件 解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得方法总结北师大版
9、八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件例2：已知 ，求分析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2+b2=(a+b)2-2ab,最后代入求解.典例精析解：北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件变式训练：已知 的整数部分是a,小数部分是b,求a2+b2的值.解：北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形ABCD的面积.你有哪些方法？二次根式的应用北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件可把梯形ABCD分割成两个三角形和一个梯形，如图所示.方
10、法1：分割法S1S2S3S梯形ABCD=S1+S2+S3北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件通过补图，可把梯形ABCD变成一个大梯形，如图所示.方法2：补图法S1S2S梯形ABCD=S梯形ABEFS1S2EF北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件过点D作AB边的高DE，如图所示.方法3：直接法S梯形ABCDE归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件例3：教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米.如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用.分析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论.北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件解：贺卡的周长为答：李欣的彩带够用.本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式方法总结北师大版八年级上册二次根式精品课件北师大版八年级上册二次根式精品课件
