1、 - 1 - A B C D O H V h 上学期高二数学 1 月月考试题 07 满分 150分。用时 120分钟 第一部分 选择题 (共 40分 ) 一、选择题 ： 本大题共 8小题 ， 每小题 5分 ， 共 40分 . 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 . 1设全集 ? ?1, 2 , 3, 4 , 5, 6 , 7 , 8U ? ，集合 1,2,3,5A? ， 2,4,6B? ，则图中的阴影部分表示的集合为 （ ） A ?2 B ? ?4,6 C ? ?1,3,5 D ? ?4,6,7,8 2 a b a b?若 、 是 任 意 实 数 ， 且,则下列不等式成立的
2、是 （ ） A 22 ba ? B 1?ab C 0)lg( ?ba D ba )31()31( ? 3. 一批灯泡 400只，其中 20 W、 40 W、 60 W的数目之比为 4 3 1，现用分层抽样的方法产生一个容量为 40 的样本，三种灯泡依次抽取的个数为（ ） A 20 ,10 , 10 B.15 , 20 , 5 C .20, 5, 15 D.20, 15, 5 4. 已知等比数列 na 的公比为正数，且 39aa = 252a ， 2a =1，则 1a = （ ） A.12 B. 22 C. 2 D.2 5.如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为 1，那么几何
3、体的体积为 （ ） A 31 B 21 C 1 D 61 6、向高为 H的水瓶中注水 ,注满为止 ,如果注水量 V与水深 h的函数关系如下图 所示 ,那么水瓶的形状是 ( ) 正视图 侧视图 俯视图 - 2 - 7把函数 5 sin(2 )6yx?的图象向左平移 6? 个单位，再把所得函数图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2倍（纵坐标不变），得到图象的解析式为 （ ） A 5sinyx? B 5sin( )6yx? C 5sin( )12yx? D 5 sin(4 )12yx? 8已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点为 F，若过点 F且倾斜角为 60 的直线与双曲线的右
4、支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （ ） A 1,2 B (1,2) C 2， ) D (2， ) 第二部分 非选择题 (共 110分 ) 二、填空题 ： 本大题共 6小题 ， 每小题 5分 ， 共 30分 . 9 已知程序框图如右，则输出的 i = 10 命题 “ 00 , 2 0R xx? ? ? ” 的否定是 11. 曲线 13 ? xxy 在点 )3,1( 处的 切 线 方 程是 12 向面积为 S 的三角形 ABC 内任投一点 P ，则 PBC 的面积小于 3S 的概率是 13函数 24( ) 2 xxfx ? 的单调增区间为 14 已知抛物线 2:8C y x? 的
5、焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为 K ，点 A 在 C 上且2AK AF? ，则 AFK? 的面积为 三、解答题 ： 本大题共 6小题 ， 共 80 分 . 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 . 15（本小题满分 12分） ABC的三个内角 A、 B、 C所对边长分别为 a、 b、 c，已知 c=3， C=60。 （ 1）若 A=75 ，求 b的值；（ 2）若 a=2 b, 求 b的值 。 16.（本题满分 12 分） 在某次测验中，有 6 位同学的平均成绩为 75 分用 xn表示编号为 n(n 1,2， ? ， 6)的同学所得成绩，且前 5位同学的成绩如下： 编号 n 1 2
6、3 4 5 成绩 xn 70 76 72 70 72 (1)求第 6位同学的成绩 x6，及这 6位同学成绩的标准差 s； (2)从前 5位同学中，随机地选 2位同学，求恰有 1位同学成绩在区间 (68,75)中的概率 开 始1S?结 束3i?100?S?i输 出2ii?*S S i?是否- 3 - 17.（本小题满分 14分）已知函数 ( ) 3 ( 2 ) ( 2 )f x x x? ? ? ?的定义域为 A ， ( ) l g ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )g x x a a x a? ? ? ? ?的定义域为 B . （ 1）求 A . (2)记 :,p x A? :q x B? ，
7、若 p 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围。 18（本小题共 14分） 如图，在四棱锥 P ABCD? 中，底面 ABCD 为 直 角 梯 形 ， 且 /AD BC ，90ABC PAD? ? ? ? ?， 侧 面 PAD? 底面 ABCD . 若12PA AB BC AD? ? ?. （）求证： CD? 平面 PAC ； （）侧棱 PA 上是否存在点 E ，使得 /BE 平面 PCD ？若存在，指出点 E 的位置并证明，若不存在，请说明理由； （）求二面角 A PD C?的余弦值 . 19、 （本小题满分 14分） 在 平面 直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点 (0 3)?
8、， ， (03)， 的距离之和等于 4，设点 P 的轨迹为 C （ ）写出 C 的方程； （ ） 设 直线 1y kx?与 C 交于 AB， 两 点 k 为何 值 时 OA ? OB ？此时 AB 的值 是多少？ 20 （本小题满分 14分） 2*11 1 2 , 2 ( 1 ) ( )n n na a a a n Nn? ? ? ?已 知 数 列 满 足 : （ 1）求证： 2nan?数 列是等比数列，并求出 ? ?na数 列 的通项公式； （ 2） ? ?,n n nnnc T ca?设 是 数 列， ? ?nnTc是 数 列 的 前 n项 的 和， 724nT ?求 证 :A B P C
9、 D - 4 - 答案 一、选择题 ： 1 2 3 4 5 6 7 8 B D D C A C B C 二、填空题 ： 本大题共 6小题 ， 每小题 5分 ， 共 30分 9 9 1 0 . , 2 0xx? ? ?R 1 1 . 4 1 0xy? ? ? 512. 9 1 3 . 0 , 2 ( 区 间 开 闭 都 可 以 ） 14.8三、解答题 ： 本大题共 6小题 ， 共 80 分 . 解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 . 15解：（ 1）由 075A? ，得 001 8 0 ( ) 4 5? ? ? ?B A C ? 2分 由正弦定理知 sin sinbcBC? ，? ? 3
10、分 00s i n 3 s i n 4 5 6s i n s i n 6 0? ? ? ?cBb C? 6分 （ 2）由余弦定理知 2 2 2 -2 c o sc a b ab C? ， ? 8分 2ab?将 代入上式得 2 2 0 29 ( 2 ) 2 2 c o s 6 0 3b b b b b? ? ? ? ? ? 10 分 ? ? ? ?3, 0bb 3b? ? 12 分 16.解 (1) 这 6 位同学的平均成绩为 75 分， 16(70 76 72 70 72 x6) 75，解得 x6 90， ? .3分 这 6位同学成绩的方差 s2 16(70 75)2 (76 75)2 (72
11、 75)2 (70 75)2 (72 75)2 (90 75)2 49， 标准差 s 7. ? .6分 (2)从前 5位同学中，随机地选出 2位同学的成绩有： (70,76)， (70,72)， (70,70)， (70,72)，(76,72) ， (76,70) ， (76,72) ， (72,70) ， (72,72) ， (70,72) ，共 10种， ? . 9分 恰有 1位同学成绩在区间 (68,75)中的有： (70,76)， (76,72)， (76,70)， (76,72)，共 4种，所 求 的 概 率 为 410 0.4， ? 11分 即恰有 1位同学成绩在区间 (68,75
12、)中的概率为 0.4. ? 12 分 - 5 - 17. 解：（ 1）要使 ()fx有意义，则 3 ( 2)(2 ) 0xx? ? ? ?， 2分 化简整理得 ( 1)( 1) 0xx? ? ? ，解得 11xx? ?或 5分 ? ? ?| 1 1A x x x? ? ? ?或 6分 (2)要使 ()gx有意义，则 ( 1)(2 ) 0x a a x? ? ? ? 即 ( 1)( 2 ) 0x a x a? ? ? ? 又 1a? 12aa? ? ? ? ?| 2 1B x a x a? ? ? ? ? 8分 p 是 q 的必要不充分条件， B? 是 A 的真子集， . 10 分 2 1 1
13、1aa? ? ? ? ?或 解得 1 122 aa? ? ? ?或 . 13分 a? 的取值范围为 1( , 2 ,1)2? ? . 14分 18 解法一： （）因为 90PAD? ? ? ，所以 PA AD? . 又因为侧面 PAD? 底面 ABCD ，且侧面 PAD 底面 ABCD AD? ，所以 PA? 底面 ABCD .而 CD? 底面 ABCD ，所以 PA? CD . ? 2分 在底面 ABCD 中，因为 90ABC BAD? ? ? ? ?， 12AB BC AD? ， 所以 22AC CD AD? ， 所以 AC? CD . 又因为 PA AC A? ， 所以 CD? 平面 P
14、AC . ? 4分 （）在 PA 上存在中点 E ，使得 /BE 平面 PCD ， 证明如下：设 PD 的中点是 F ， 连结 BE ， EF ， FC ，则 /EF AD ，且 12EF AD? . 由 已 知90ABC BAD? ? ? ? ?， 所 以 /BC AD . 又12BC AD? ，所以 /BC EF ，且 BC EF? ， 所以四边形 BEFC 为平行四边形，所以 /BE CF . 因为 BE? 平面 PCD ， CF? 平面 PCD ， 所以 /BE 平面 PCD . ? 8分 （）设 G 为 AD 中点，连结 CG ， 则 CG? AD .又因为平面 ABCD? 平面 P
15、AD ， 所以 CG? 平面 PAD .过 G 作 GH PD? 于 H ， G H A B P C D - 6 - 连结 CH ，则 PD CGH?面 ， 所以 CH PD? 所以 GHC? 是二面角 A PD C?的平面角 . 设 2AD? ，则 1P A A B C G D G? ? ? ?, 5DP? .在 PAD? 中，由相似三角形可得：GH DGPA DP? ，所以 15GH? .所以 ta n 5CGGHC GH? ? ?， 6cos 6GHC?.即二面角A PD C?的余弦值为 66 . ? 14 分 解法二：因为 90PAD? ? ? ，所以 PA AD? . 又因为侧面 P
16、AD? 底面 ABCD ， 且侧面 PAD 底面 ABCD AD? ，所以 PA? 底面 ABCD .又因为 90BAD? ? ? ，所以 AB ， AD ， AP 两两垂直 .分别以 AB ， AD ， AP 为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图 .设 2AD? ，则 (0, 0, 0)A ， (1, 0, 0)B ， (1, 1, 0)C ，(0, 2, 0)D ， (0, 0, 1)P . （） (0, 0, 1)AP? ， (1, 1, 0)AC? ， ( 1, 1, 0)CD ? , 可得 0AP CD?， 0AC CD?，所以 AP? CD ， AC? CD .
17、又因为 AP AC A? ， 所以 CD? 平面 PAC . ? 4分 （）设侧棱 PA 的中点是 E ， 则 1(0, 0, )2E ， 1( 1, 0, )2BE ? . 设平面 PCD 的一个法向量是 ( , , )x y z?n ，则 0,0.CDPD? ?nn因为 ( 1, 1, 0)CD ? ， (0, 2, 1)PD ?，所以 0,2 0.xyyz? ? ? ?取 1x? ，则(1, 1, 2)?n . 所以 1(1 , 1 , 2 ) ( 1 , 0 , ) 02BE? ? ? ? ?n ， 所以 BE?n . 因为 BE? 平面 PCD ，所以 /BE 平面 PCD . ? 8分 （）由已知， AB? 平面 PAD ，所以 (1, 0, 0)AB? 为平面 PAD 的一个法向量 . 由（）知， (1, 1, 2)?n 为平面 PCD 的一个法向量 . 设二面角 A PD
