1、第第2课时课时 方向角和坡角问题方向角和坡角问题R九年级下册九年级下册前面我们学习了仰角和俯角，那么你们知前面我们学习了仰角和俯角，那么你们知道方位角的概念吗？道方位角的概念吗？从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角。提问今天我们要学习的内容就与方位角有关今天我们要学习的内容就与方位角有关.学习目标：学习目标：1.能根据方向角画出相应的图形，会用解直能根据方向角画出相应的图形，会用解直 角三角形的知识解决方位问题角三角形的知识解决方位问题.2.知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三知道坡度与坡角的含义，能利用解直角三 角形的知识解决与坡度有关的实际问题角形的知识解决与坡度有
2、关的实际问题.学习重、难点：学习重、难点：重点：重点：会用解直角三角形的知识解决方向角、坡会用解直角三角形的知识解决方向角、坡度的相关问题度的相关问题.难点：难点：将实际问题转化为数学问题将实际问题转化为数学问题(即数学建模即数学建模).例1 一艘海轮位于灯塔一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东的北偏东 65方向，方向，距离灯塔距离灯塔 80 n mile 的的 A 处，它沿正南方向航处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东的南偏东 34方向上的方向上的 B 处，这时，处，这时，B 处距距离灯塔处距距离灯塔 P 有多远（结果取整数）？有多远（结果取整数）？
3、知识点1思考：根据题意，你能画出示意图吗？提问结合题目的条件，你能确定结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？图中哪些线段和角？PA=80，A=65，B=34.要求的问题是什么？你能写要求的问题是什么？你能写出解答过程吗？出解答过程吗？PB之间的距离之间的距离.解：解：如图在如图在 RtAPC 中，中，PC=PAcos（90-65）=80cos 25 72.505在在 RtBPC 中，中，B=34，sin B=，PB=130（n mile）sinPCB72 505sin34.PCPBa.a.将实际问题抽象为数学问题；将实际问题抽象为数学问题；b.b.根根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数据
4、问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；等解直角三角形；c.c.得到数学问题的答案；得到数学问题的答案；d.d.得到实际问题的答案得到实际问题的答案.你能小结出利用解直角三角形的知识解你能小结出利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般思路吗？决实际问题的一般思路吗？问练习1.海中有一个小岛海中有一个小岛A，它周围，它周围8n mile内有暗礁内有暗礁.渔船跟踪鱼群由西向东航行，在渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛点测得小岛A在北偏东在北偏东60方向上，航行方向上，航行12n mile到达到达D点，点，这时测得小岛这时测得小岛A在北偏东在北偏东30方向上，如果渔方向上，如果渔船不
5、改变航线继续向东航行，有没有触礁的危船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？险？北南西东B6030DAE解：解：过过A点作点作AEBD于于E点点.易证易证A=ABD=30，AD=BD=12 n mile.AE=ADsin603=6 3n mile.2=126 38，没有触礁危险没有触礁危险.知识点2Lh问题：我们经常说某某山的坡度很陡，那么坡我们经常说某某山的坡度很陡，那么坡度究竟是指什么呢？度究竟是指什么呢？提问你能根据图示给出坡度的定义吗？坡面的垂直高度坡面的垂直高度h和水平宽度和水平宽度L的比叫坡度的比叫坡度（或叫坡比）用字母表示为（或叫坡比）用字母表示为 .hiL 坡面与水平面的夹
6、角记作坡面与水平面的夹角记作（叫坡角）则（叫坡角）则tan=.hiL 12练习2.如图，拦水坝的横断面为梯形如图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，斜面，斜面坡度坡度 i=1:1.5 是指坡面的铅直高度是指坡面的铅直高度 AF 与水平宽与水平宽度度 BF 的比，斜面坡度的比，斜面坡度 i=1:3 是指是指DE 与与CE 的的比，根据图中数据，求：比，根据图中数据，求：（1）坡角）坡角 和和 的度数；的度数；（2）斜坡）斜坡 AB 的长的长(结果保留小数点后一位结果保留小数点后一位)解解：（1）tan1:1.5，tan1:3，利用计算器可求得利用计算器可求得33.7，18.4；（2）tan1:1.
7、5，又，又AF6m，BF9m，由勾股定理得，由勾股定理得 AB10.8m.1.已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆已知外婆家在小明家的正东方，学校在外婆家的北偏西家的北偏西40，外婆家到学校与小明家到学，外婆家到学校与小明家到学校的距离相等，则学校在小明家的（校的距离相等，则学校在小明家的（）A.南偏东南偏东50B.南偏东南偏东40C.北偏东北偏东50D.北偏东北偏东40D基础巩固基础巩固2.如图，某村准备在坡度为如图，某村准备在坡度为i=1:1.5的斜坡上栽树，要求的斜坡上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离相邻两棵树之间的水平距离为为5 m，则这两棵树在坡面，则这两棵树在坡面上的距离上的距
8、离AB为为 m.（结果保留根号）（结果保留根号）5 1333.为方便行人横过马路，打算修建一座高为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m的过街天桥的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计，计算斜坡算斜坡AB的长度的长度(结果取整数结果取整数).解：解：，AC=5，BC=1.55=7.5.11 5ACiBC.2281 259(m).ABACBC.综合应用综合应用4.某型号飞机的机翼形状如图所示某型号飞机的机翼形状如图所示.根据图中数据根据图中数据计算计算AC,BD和和AB的长度的长度(结果保留小数点后两位结果保留小数点后两位).解：如图所示，在解：如图所示，在RtBDE
9、中，中，BE=5.00，DBE=30,DE=BEtan30=,5331035 77 mcos303BEBD.（）在在RtACF中，中，CF=BE=5.00，FCA=45，AF=CF=5.00，AC=CF=5 7.07(m).22AB=BF-AF=DE+CD-AF =+3.40-5.001.29(m).533方向角坡度从某点的指北方向线起，依顺时针方向从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的到目标方向线之间的水平夹角水平夹角.hiL 坡面的垂直高度坡面的垂直高度h和水平宽度和水平宽度L的比叫坡的比叫坡度（或叫坡比）用字母表示为度（或叫坡比）用字母表示为 .拓展延伸海中有一小岛海中有一
10、小岛P，在以，在以P为圆心、半径为为圆心、半径为16 n mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，它在它在A处时测得小岛处时测得小岛P位于北偏东位于北偏东60方向上，且方向上，且A，P之间的距离为之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险行，轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明请通过计算加以说明.若有若有危险，轮船自危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向处开始至少沿东偏南多少度的方向航行，才能安全通过这一海域航行，才能安全通过这一海域?2解：如图，解：如图，PAB=30，AP=32.PB
11、=AP=16（n mile）.12PB16 n mile，轮船有触礁危险轮船有触礁危险.2又又AP=32，PC=16 ，PAC=45,=15.假设轮船沿东偏南假设轮船沿东偏南恰好能安全通过，此时航线恰好能安全通过，此时航线AC与与P相切，即相切，即PCAC.2轮船自轮船自A处开始至少沿东偏处开始至少沿东偏南南15度方向航行度方向航行,才能安全通才能安全通过这一海域过这一海域.1.从课后习题中选取；从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。完成练习册本课时的习题。本课时应先认知本课时应先认知“方向角方向角”“”“坡度坡度”及其所代表的实际意义，添作适当的辅及其所代表的实际意义，添作适当的辅助
12、线，构建直角三角形助线，构建直角三角形.然后结合解直角然后结合解直角三角形的有关知识加以解答，层层展开，三角形的有关知识加以解答，层层展开，步步深入步步深入.复习巩固复习巩固1.在在RtABC中，中，C90，根据下列条件，根据下列条件解直角三角形；解直角三角形；（1）c=8，；（2）b=7，;（3）a=5，b=12.30A 15A 6044 3Bab，751 887 25Ba.c.，1322 37 1267 22 48cAB.，2.如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为跨度为10m，B36，求中柱，求中柱AD（D为底为底边中点）和上弦边中点）和上弦AB的
13、长？（结果保留小数点的长？（结果保留小数点后两位）后两位）解：解：AB=AC，D为为BC的中点，的中点，ADBC，tan5ADADBBD，AD=5tan36 3.6(m).5cos6 2 mcoscos36BDBDBAB.ABB Q，=（=（）.3.如图，某飞机于空中如图，某飞机于空中A处探测到目标处探测到目标C，此，此时飞行高度时飞行高度AC1200m，从飞机上看地平面，从飞机上看地平面指挥台指挥台B的俯角的俯角1631。求飞机。求飞机A到指挥台到指挥台B的距离？（结果保留整数）的距离？（结果保留整数）解：由题意可知，在解：由题意可知，在RtABC中，中，sin16 31ACBBAB，120
14、04221 msinsin16 31ACABB （）.所所以以因此飞机因此飞机A到指挥台到指挥台B的距离约为的距离约为4221m.4.从高出海平面从高出海平面55m的灯塔处收到一艘帆船的的灯塔处收到一艘帆船的求助信号，从灯塔看帆船的俯角为求助信号，从灯塔看帆船的俯角为21，帆船，帆船距灯塔有多远？（结果保留整数）距灯塔有多远？（结果保留整数）解：如图所示，由题意可得解：如图所示，由题意可得B=21，AC=55m.55sin153 msinsin21ACACBABABB Q，（）.因此帆船距灯塔约因此帆船距灯塔约153m.5.如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两如图，在山坡上种树，要求株距（相邻
15、两树间的水平距离）是树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜，测得斜坡的倾斜角为角为24度，求斜坡上相邻两树间的坡面距离。度，求斜坡上相邻两树间的坡面距离。解：由题意可得：解：由题意可得：5 5cos245 56 0 mcos24.Q，（）.坡坡面面距距离离坡坡面面距距离离答：斜坡上相邻两树间的距离约为答：斜坡上相邻两树间的距离约为6.0m.综合运用综合运用6.在在RtABC中，中，C=90.（1）已知）已知A，c，写出解，写出解RtABC的过程；的过程；（2）已知）已知A，a,写出解写出解RtABC的过程；的过程；（3）已知）已知a，c，写出解，写出解RtABC的过程；的过程；(1)B=1
16、80-90-A=90-A，a=csinA，b=ccosA；(2)90tansinaaBAbcAA，22(3)bca，由由sinA=，求出，求出A，B=90Aac7.如图，已知金字塔的下底面是一个边长为如图，已知金字塔的下底面是一个边长为130m的正方形，且每一个侧面与底面成的正方形，且每一个侧面与底面成65角，这座金字塔原来有多高（结果取整数？）角，这座金字塔原来有多高（结果取整数？）解：设这座金字塔原来高解：设这座金字塔原来高x m，由题意得由题意得tan6511302x ，x=65tan65139.答：这座金字塔原来高约答：这座金字塔原来高约139m.8.如图，一枚运载火箭从底面如图，一枚
17、运载火箭从底面L处发射处发射.当火箭到当火箭到达达A点时，从位于底面点时，从位于底面R处的雷达站测得处的雷达站测得AR的距的距离是离是6Km，仰角为，仰角为43；1 s后火箭到达后火箭到达B点，此点，此时测得仰角为时测得仰角为45.54，这枚火箭从，这枚火箭从A到到B的平均的平均速度是多少（结果取小数点后两位）？速度是多少（结果取小数点后两位）？解：在解：在RtALR中，中，AL=ARsinARL=6sin43 4.092(km),LR=ARcosARL=6cos43 4.388(km).在在RtBRL中，中，BL=RLtanBRL4.388tan45.544.472(km),4 4724 0
18、92=0.38(km/s).11BLAL.v9.为方便行人横过马路，打算修建一座高为方便行人横过马路，打算修建一座高5 m的过街天桥的过街天桥.已知天桥的斜面坡度为已知天桥的斜面坡度为1:1.5，计，计算斜坡算斜坡AB的长度的长度(结果取整数结果取整数).解：解：，AC=5，BC=1.55=7.5.11 5ACiBC.2281 259(m).ABACBC.10.海中有一小岛海中有一小岛P，在以，在以P为圆心、半径为为圆心、半径为16 n mile的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，的圆形海域内有暗礁，一艘船自西向东航行，它在它在A处时测得小岛处时测得小岛P位于北偏东位于北偏东60方向上，且
19、方向上，且A，P之间的距离为之间的距离为32 n mile.若轮船继续向正东方向航若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险行，轮船有无触礁危险?请通过计算加以说明请通过计算加以说明.若有若有危险，轮船自危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度的方向处开始至少沿东偏南多少度的方向航行，能安全通过这一海域航行，能安全通过这一海域?2综合运用综合运用解：如图，解：如图，PAB=30，AP=32.PB=AP=16（n mile）.12PB16 n mile，轮船有触礁危险轮船有触礁危险.2又又AP=32，PC=16 ，PAC=45,=15.假设轮船沿东偏南假设轮船沿东偏南恰好能安全通过，此时航线恰好能
20、安全通过，此时航线AC与与P相切，即相切，即PCAC.2轮船自轮船自A处开始至少沿东偏处开始至少沿东偏南南15度方向航行度方向航行,才能安全通才能安全通过这一海域过这一海域.11.根据图中标出的百慕大三角的位置，根据图中标出的百慕大三角的位置，计算百慕大三角的面积（结果取整数）计算百慕大三角的面积（结果取整数）.解：如图，过解：如图，过B作直线分别垂直作直线分别垂直AD于于D，CE于于E，在，在RtABD中，中，BAD=62，AB=1700km.sincosBDADBADBADABABQ，BD=ABsinBAD=1700sin62，AD=ABcosBAD=1700cos62.在在RtBCE中，中，BCE=54，BC=2720km,sincosBECEBCEBCEBCBCQ，BE=BCsinBCE=2720sin54.CE=BCcosBCE=2720cos54.SABC=S梯形梯形ADEC-SABD-SBCE 111222ADECDBBEAD BDBE CEggg1112720 cos541700222EC BDAD BEgg1sin621700 cos622700 sin54222078012 km（）.
