1、 年高考年模拟 版（教师用书） 直线与圆锥曲线的位置关系 对应学生用书起始页码 考 点直线与圆锥曲线的位置关系 高频考点 直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法 （）代数法：将问题转化为研究直线方程 与圆 锥曲线方程 （，） 组成方程组的解的个数问题，进而转化为 对一元二次（或一次）方程解的情况的研究，具体如下： 联立 ， （，） ， 消去 ，得 若 ，则当 时（），直线与圆锥曲线相交 于两点；当 时，直线与圆锥曲线相切；当 时，直线与圆 锥曲线相离 若 ，则直线与圆锥曲线只有一个公共点，但并不相 切，所以该圆锥曲线不会是椭圆当圆锥曲线为双曲线时，直线与 双曲线的渐近线平行；当圆锥曲线为抛物线时，
2、直线与抛物线的 对称轴平行或重合 （）几何法：也称为数形结合法，在作图时一定要细心准确 特别是在解决有关直线与双曲线的位置关系问题时，灵活运用 直线和渐近线的位置关系可以快速解题 圆锥曲线中的弦长公式 （）当弦的两端点坐标易求时，可求出两端点坐标，再用两 点间距离公式直接求解 （）若斜率为 的直线与圆锥曲线相交于 （，），（， ） 两 个 不 同 的 点， 则 弦 长 （ ） （ ） （ ） 或 () () （ ） （） （）当直线过抛物线的焦点时，可利用抛物线的焦点弦长公 式求解弦长 圆锥曲线中的弦中点的有关结论 设 为圆锥曲线的弦，点 为弦 的中点： 标准方程结论 （） （） （，） （，
3、） （） （为中点 的纵坐标） （） （为中点 的横坐标） 第十章 圆锥曲线 对应学生用书起始页码 一、圆锥曲线中弦长的求法 弦长问题的求解方法有：（）求出两交点坐标，用两点间距 离公式求解；（）用弦长公式： 或 （）求解，其中 为直线 的斜率，（， ），（，） 注意两种特殊情况：（）直线与圆锥曲线的对称轴平行或垂 直；（）直线过圆锥曲线的焦点 （ 黄山一模，）已知椭圆 （）的 左、右焦点分别为 ，离心率 ，点 是椭圆上的一个动 点，面积的最大值是 （）求椭圆的方程； （）若 ， 是椭圆上不重合的四点， 与 相交于 点 ， ，且 ，求此时直线 的方程 解析（）由题意知，当点 是椭圆上（或下）顶
4、点时， 的面积取得最大值 此时， ，又 ， ， （ 分） 解得 ， ，故所求椭圆的方程为 （ 分） （）由（）知 （，），由 得 当直线 与 中有一条直线的斜率不存在时， ，不合题意 当直线 的斜率存在且为 （ 不为 ）时， 其方程为 （） 由 （）， 消去 得（） （ 分） 设 （，），（，），则 ， 所以 （） （ 分） 直线 的方程为 （），同理可得 （） （ 分） 由 （） （）（） ， 解得 ，则 故所求直线 的方程为 （）（ 分） （ 皖北名校 月联考，）斜率为 的直线 与椭 圆 相交于 ， 两点，则的最大值为 （ ） 答案 解析 设 ， 两点的坐标分别为（，），（，），直线 的方
5、程为 ，由 ， ， 消去 得 （） ，则 ， （ ） （ ） () （ ） ， 当 时，取得最大值 ，故选 （ 课标， 分）已知 为抛物线 ： 的焦点，过 作两条互相垂直的直线 ，直线 与 交于 ， 两点，直线 与 交于 ， 两点，则的最小值为 （ ） 答案 解析 解法一：由抛物线的方程可知焦点 的坐标为（， ），设（，），（，），（，），（，），过点 的直线 的方程为 （），由 ， 得 ，所 以 ， ，所以 （ ） ，所以 （ ）；同理可得 ，因此 （） ， 当且仅当 时，等号成立所以 的最小值为 ， 故选 解法二：由题意知焦点 的坐标为（，），直线 ，的斜率 不存在时，不合题意 设 （，）
6、，（，），（，），（，），过 的直线 的方程为 （），直线 的方程为 （），则 ，联立直线 的方程与抛物线方程，得 ， （）， 消去 ， 得 ，所以 同理，直线 与抛物线的交点满足 由抛物线定义可知 ，当且仅当 或时，取得等号所以的最小值为 ，故选 解法三：不妨设 在第一象限，如图所示，设直线 的倾斜 角为 ，过 ， 分别作准线的垂线，垂足为 ， 年高考年模拟 版（教师用书） 则 ， ，过点 向 引垂线 ，得 ， 则 ，同理， ， 则 ，即 ， 因 与 垂直，故直线 的倾斜角为 或 ， 则 ，则 () ， 则易知的最小值为 故选 （ 河南郑州一模，）过抛物线 的焦点 作一条倾斜角为 的直线交抛
7、物线于 ， 两点，则 答案 解析 易知抛物线 的焦点坐标是 （，），直线 的方程为 ，即 （）由 ， （） 消去 ， 得 （） ，即 ，设 （ ，），（，），则 ，利用抛物线定义可知 （）（ ） 二、圆锥曲线中弦中点问题的解法 点差法：设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并 将两式相减，式中含有 ， ， 三个未知量，这样就直 接联系了中点坐标和直线的斜率，借用中点坐标公式即可求得 斜率 根与系数的关系：联立直线与圆锥曲线的方程，将其转化 为一元二次方程后，由根与系数的关系求解 已知 （，）为椭圆 内一定点，经过 引一 条弦，使此弦被 点平分，则此弦所在的直线方程为 解题导引 解法一：设直线
8、方程与椭圆方程联立 利用根与系数关系和 中点坐标公式列方程 解方程得斜率 的值 直线方程 解法二： 设出弦的两端点坐标 代入椭圆方程，两式作差 求出直线的斜率 写出直线方程 解析 解法一：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其 方程为 （），弦的两端点为 ，（，），（，） 由 （）， 消去 得，（）（）（ ） ， （） ， 又 ， （） ，解得 故此弦所在的直线方程为 （），即 解法二：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为 设弦的两端点为 ，（，），（，），则 ， ， 得（ ）（ ） （ ）（ ） ， ， ， ， 此弦所在的直线方程为 （），即 答案 （ 福建福州 月质检，）抛物线 的顶点在
9、原 点，焦点在 轴上，直线 与抛物线 交于 、 两点，若 （，）为线段 的中点，则抛物线 的方程为（ ） 答案 解析 设 （，），（，），抛物线方程为 （ ），则有 ， ， 两式相减可得 （），又 （，）为弦 的中点，所以 由 得直线 的 斜率 ，所以 （ ） ， ， 抛物线 的方程为 ，故选 （ 广东五校调研，）若椭圆的中心在原点，一个 焦点为（，），直线 与椭圆相交所得弦的中点的纵坐标 为 ，则这个椭圆的方程为（ ） 答案 解析 椭圆的中心在原点，一个焦点为（，）， 设椭圆方程为 （）， 由 ， 消去 ， 得（）（）， 设直线 与椭圆相交所得弦的端点分别为 （， ），（，）， 由题意知 ， （ ） ，解得
