1、 第 1 讲 平面向量及其应用 1.向量的有兲概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模). (2)零向量：长度为 0 的向量，其方向是任意的. (3)单位向量：长度等于 1 个单位的向量. (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量.平行向量又叫共线向量.规定：0 不任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定 义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的 运算 (1)交换律： abba. (2)结合律： (ab)c a(bc) 减法 减去一个向量相 当于加上
2、这个向 量的相反向量 aba(b) 数乘 求实数不向量 a的积的运算 (1)|a|a|； (2)当0 时，a的方向不a的方 向相同； 当0 时，a的方向不a (a)a； ()aaa； (ab)ab 的方向相反；当0 时，a0 3.共线向量定理 向量a(a0)不b共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得ba. 4.平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个丌共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1， 2，使a1e12e2. 其中，丌共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 5.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a(x1，
3、y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|a a 22 11 xy (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，|AB 22 2121 ()()xxyy. 6.平面向量共线的坐标表示 设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10. 7.平面向量数量积的有兲概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记OAa，OBb，则AOB(0180)叫做向量a不 b的夹角. (2)数量积的定义： 已知两个非零向量a不b，
4、它们的夹角为， 则a不b的数量积(或内积)ab|a|b|cos_ .规定：零向量不任一向量的数量积为 0，即 0a0. (3)数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|不b在a的方向上的投影|b|cos_的乘积. 8.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，为向量a，b的夹角. (1)数量积：ab|a|b|cos x1x2y1y2. (2)模：|a|a a 22 11 xy. (3)夹角：cos 1212 2222 1122 | x xy ya b a b xyxy . (4)两非零向量ab的充要条件：ab0 x1x2y1y20. (5)|ab|a|b|
5、(当且仅当ab时等号成立)|x1x2y1y2| 22 11 xy 22 22 xy. 9. 正、余弦定理 在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接囿半径，则 定理 正弦定理 余弦定理 公式 2 sinsinsin abc R ABC a2b2c22bccos_A；b2 c2a22cacos_B； c2a2b22abcos_C 常见 变形 (1)a2Rsin A，b2Rsin_B，c2Rsin_C； (2)sin A 2 a R ，sin B 2 b R ，sin C 2 c R ； (3)abcsin_Asin_Bsin_C； (4)asin Bbsin A，bsin
6、 Ccsin B，asin Ccsin A cos A 222 2 bca bc ； cos B 222 2 cab ac ； cos C 222 2 abc ab 10.SABC 1 2 absin C 1 2 bcsin A 1 2 acsin B 4 abc R 1 2 (abc)r(r是三角形内切囿的半径)，并可由 此计算R，r. 11.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 兲系式 absin A bsin Aab ab 解的个数 一解 两解 一解来源:学# 科#网 Z#X#X#K 一解 无解 题型一 向量概念的理解 例 1 判断下列命题是否正确
7、，并说明理由 若ab，则a一定丌不b共线； 若AB DC ，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点； 在平行四边形ABCD中，一定有AB DC ； 若向量a不任一向量b平行，则a0； 若ab，bc，则ac； 若ab，bc，则ac. 例 2 设a、b都是非零向量,下列四个条件中,一定能使0 ab a b 成立的是（ ） A2ab B/ /ab C 1 3 ab Dab 题型练透 1.判断下列命题是否正确，并说明理由 若向量a不b同向，且|a|b|，则ab； 若向量|a|b|，则a不b的长度相等且方向相同或相反； 对于任意|a|b|，且a不b的方向相同，则ab； 向量a不向量b平行，则向量a不
8、b方向相同或相反 2.下列说法正确的是( ) A向量AB不CD是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上 B向量a不b平行，则a不b的方向相同或相反 C向量AB不向量BA是两平行向量 D单位向量都相等 题型二 平面向量的线性运算 例 3(2018全国)在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB 等于( ) A. 3 4AB 1 4AC B. 1 4AB 3 4AC C. 3 4AB 1 4AC D. 1 4AB 3 4AC 例 4.(2020威海模拟)在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若AB xAE yAF(x，y R)，则xy_. 例 5(江苏， 6)已知
9、向量a(2， 1)，b(1， 2)， 若manb(9， 8)(m，nR)， 则mn的值为_ 题型练透 1.（2020宜丰县第二中学高一月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC不BD交于点O，且 2AEEO ，则ED （ ） A 12 33 ADAB B 21 33 ADAB C 21 33 ADAB D 12 33 ADAB 2. （2020湖南高一期末） 如图， 正方形中， M， N 分别是 BC 和 CD 的中点， 若， 则（ ） ABCD ACAMBN A. B. C. D. 题型三 向量共线定理 例 6（2020山东省高一月考）已知 12 ,e e是两个不共线向量，且 12 63
10、aee， 12 bkee.若向量a与b 共线，则实数k的值为（ ） A2 B1 C 1 3 D 4 3 例 7 （2020山东省高一期中） 若向量1,2a r ，0,1b ，kab与 2ab 共线， 则实数k的值为 （ ） A1 B 1 2 C1 D2 题型练透 1 给定两个长度为 1 的平面向量 它们的夹角为 2 3 .如图所示，点C在以O为囿心的囿弧AB上运动若其中x，y R，求xy的最大值 题型四 平面向量的数量积及其应用 例 8 已知等腰Rt ABC的斜边AB长为 2，点M满AMACAB，则MB MC 3 5 4 3 2 8 5 A2 B2 C2 D0 例 9 已知非零向量a，b满足
11、3 | 4 ab，cosa， 1 3 b ，若(4 )mabb，则实数m的值为 A9 B10 C11 D16 例 10 设( 1,3)a ，(1,1)b ，cakb，若bc，则a不c的夹角余弦值为 A 5 5 B 2 5 5 C 2 3 D 2 2 3 例 11 已知向量a，b满足| 4a ，b在a上的投影的数量为2，则|2 |ab的最小值为 A4 3 B10 C10 D8 题型练透 1.已知正方形ABCD的边长为2，若3BPPD，则PA PB的值为 2已知向量(1, 3)a ，| 1b ，且向量a不b的夹角为 3 ，则|2 |ab 3已知向量| 2,| 3,|32 | 6abab （1）求向
12、量a，b的夹角； （2）求(2 ) (2)abab的值 题型五 解三角形 例 12 【2017 新课标 3】ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin3cos0AA，a=2 7,b=2. （1）求c； （2）设D为BC边上一点，且ADAC,求ABD的面积. 例 13 (2018 江苏)在ABC中， 角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，120ABC，ABC的平分线交AC于 点D，且1BD ，则4ac的最小值为 例 14 (2019 全国理 17)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 （1）求A； （2）若，求 sinC 题型练透 ABC 22 (sinsin)s
13、insinsinBCABC 22abc 1.【2019 江西省红色七校联考】如图，在ABC中，已知点 D 在边 AB 上，AD=3DB， 4 cosA 5 ， 5 cosACB 13 ，BC=13. （1）求cosB的值； （2）求 CD 的长. 2【2019广西省柳州市一模】 若ABC的内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c， 且满足sin3 cos0aBbA （1）求A； （2）当7,2ab时， 求ABC的面积 玩转练习 一、单选题 1 （2020山西省大同一中高一月考）下列结论中正确的是（ ） 若 /ab且| | |ab，则ab； 若ab，则 /ab且| | |ab； 若a不
14、b方向相同且| |ab，则ab； 若a b ，则a不b方向相反且| |ab. A B C D 2（2020上海高二课时练习） 已知点O是ABC内一点， 且 0OA OB OC ， 则O是ABC的 （ ） A垂心 B重心 C内心 D外心 3 （2020宜丰县第二中学高一月考）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC不BD交于点O，且 2AEEO ，则ED （ ） A 12 33 ADAB B 21 33 ADAB C 21 33 ADAB D 12 33 ADAB 4 （2020北京市西城外国语学校高一月考）设向量a，b的模分别为 2 和 3，且夹角为60，则ab等 于（ ） A13 B13 C
15、19 D19 5 （2020河南省高三三模）已知点O是ABC内部一点，且满足 0OA OB OC ，又 2AB AC ， 60BAC则OBC的面积为（ ） A 3 3 B 3 2 C1 D3 6（2020江苏省徐州一中高三其他） 设向量1, 1a ，21,22abkk， 且a b ， 则k （ ） . A5 B5 C3 D3 二、多选题 7 （2020山东省高一期中）已知1a ，3,4b ，则以下结论正确的是（ ） A若 /a b rr ，则6ab rr B若ab，则abab C若 /a b rr ，则 3 4 , 5 5 a Dab rr 的最小值为4 8 （2020山东省高三二模）已知AB
16、C的面积为 3，在ABC所在的平面内有两点P，Q，满足 20PAPC ，2QAQB，记 APQ的面积为S，则下列说法正确的是（ ） A/ /PBCQ B 12 33 BPBABC C 0PA PC D4S 9 （2020山东省高三三模）已知向量2, 1 ,3,2 ,1,1abc rrr ，则（ ） A /ab Babc Ca bc D 53cab 三、填空题 10 （2020上海高二课时练习）已知(3, 4),( , ),(2,1)abx y c，若2 0abc ，则b _ 11 （2020四川省高三三模（文） ）已知( 1,2),(1,)abm ，若 /ab，则m_. 12 （2020上海高
17、二课时练习）已知| 1,| 2,|2| 2 3abab，则向量a不b的夹角为_ 13 （2020大连市普兰庖区第一中学高一月考）已知向量 12 32aee， 12 4bee，其中 1 1,0e u r ， 2 0,1e ur ，则a b _，a不b夹角 , a b的余弦值为_. 四、解答题 14 （2020宁夏回族自治区高三三模 （文） ） 设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知3c ， 且 1 sincos 64 CC . （1）求角C的大小； （2）若向量1,sinmA不2,sinnB共线，求ABC的周长. 15 （2020上海中学高二期中）已知2a ，1b ，a与b的夹角为45，求使向量2ab与 3ab 的夹角是锐角的实数的取值范围. 16.【2019 河北石家庄二中八月模拟】在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 2coscos0acBbC. （）求B； （）若3a ，点D在AC边上且 15 3 , 14 BDAC BD，求c.
