1、探索几何图形探索几何图形性质的常用的性质的常用的两种方法两种方法?v（1）通过看一看、画一）通过看一看、画一画、比一比、量一量、算画、比一比、量一量、算一算、想一想、猜一猜得一算、想一想、猜一猜得出结论，并在实验、操作出结论，并在实验、操作中对结论作出解释的方法；中对结论作出解释的方法；v（2）用逻辑推理的方法。）用逻辑推理的方法。知识回顾如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中中,已知点已知点E和点和点F分别在分别在AD和和BC上上,AE=CF,连结连结CE和和AF,试说明试说明:四边形四边形AFCE是平是平行四边形行四边形.你能再举些你能再举些用 逻 辑 推用 逻 辑 推理 的 方
2、法理 的 方 法去 探 索 图去 探 索 图形 性 质 的形 性 质 的例子吗？例子吗？图 27.1.1FEDCBA图 27.1.1FEDCBA你能再举些你能再举些用 逻 辑 推用 逻 辑 推理 的 方 法理 的 方 法去 探 索 图去 探 索 图形 性 质 的形 性 质 的例子吗？例子吗？你能再举些你能再举些用 逻 辑 推用 逻 辑 推理 的 方 法理 的 方 法去 探 索 图去 探 索 图形 性 质 的形 性 质 的例子吗？例子吗？逻辑推理的方法是研究数学逻辑推理的方法是研究数学的一个的一个重要的基本方法重要的基本方法.v逻辑推理需要依据逻辑推理需要依据,我们试图用最我们试图用最少的几条基
3、本事实作为逻辑推理少的几条基本事实作为逻辑推理的的,最原始的依据最原始的依据,因此在第因此在第24章中章中,给出了如下的公理给出了如下的公理:(1)(1)一条直线截两条平行直线所得的一条直线截两条平行直线所得的同位角相等同位角相等.(2)(2)两条直线被第三条直线所截，如两条直线被第三条直线所截，如果同位角相果同位角相 等，那么这两条等，那么这两条直线直线平行。平行。(3)(3)如果两个三角形的两边及其夹角如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分（或两角及其夹边，或三边）分别对别对应相等，那么这两个三角形全等。应相等，那么这两个三角形全等。(4)(4)全等腰三角形的对应边、对应
4、角全等腰三角形的对应边、对应角分别相等。分别相等。你是怎么知道你是怎么知道三角形内角和三角形内角和是是180的呢的呢?回忆测量出它们的内测量出它们的内角，然后算得各角，然后算得各个三角形个三角形的三个内角和正的三个内角和正好为好为180吗吗?三个内角拼在一起三个内角拼在一起,正好为平角吗正好为平角吗?已知：如图已知：如图 ABC 求证：求证：A+B+C=180 CAB12你能用证明的格式表示吗？EDABC12DE1 1(两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等)22(两直线平行，同位角相等两直线平行，同位角相等)1+2+1+2+180180 (平角定义平角定义)+180180 (等量代换等
5、量代换)证明证明:作作BC的延长线的延长线CD，过点，过点C作射线作射线CE/AB，则，则辅助线（虚线）辅助线（虚线）需要作辅助线时先作辅助线，所做的辅助线当已知条件需要作辅助线时先作辅助线，所做的辅助线当已知条件看待；辅助线的作用主要是移动图形，使条件和结论产生联看待；辅助线的作用主要是移动图形，使条件和结论产生联系系.议一议：议一议：在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑凑”到到A处，他过点处，他过点A作直线作直线PQ/BC，（如图）。，（如图）。他的想法可行吗？他的想法可行吗？ABCQP 你有没有你有没有其他的证法？其他的证法？A
6、BCE图1EABCDF图2ANBCTS图3PQRM添加辅助线思路：添加辅助线思路：1、构造平角、构造平角2、构造同旁内角、构造同旁内角三角形的三个内角和定理三角形的三个内角和定理：n边形的内角和等于边形的内角和等于180)2(n 三角形的三个内角和等于三角形的三个内角和等于180 DCBAFEDCBAn边 形FEDCBAn边 形OFEDCBAEDCBA例例 求证：三角形的一个求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两外角等于和它不相邻的两个内角和个内角和v已知：如图，已知：如图，CBD是是ABC的一外角。的一外角。v求证：求证：CBD=A+C图27.1.4DCBAw如图如图.1.1是是ABC的一
7、个外的一个外角角,11与图中的其它角有什么与图中的其它角有什么关系关系?w1+4=1+4=1800;12;112;13;3;w1=2+3.1=2+3.w证明证明:2+3+4=2+3+4=1800(三角形内三角形内角和定理角和定理),w 1+4=1+4=1800(平角的意义平角的意义),w 1=2+31=2+3.(等量代换等量代换).w 12,13(12,13(和大于部分和大于部分).).ABCD1234w能证明你的结论能证明你的结论吗吗?w用文字表述为用文字表述为:w三角形的一个外角等于和它不相邻的三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和两个内角的和.w三角形的一个外角大于任何一个和它三角
8、形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角不相邻的内角.w在这里在这里,我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理.像这样像这样,由一个公理或定理直接推出的定理由一个公理或定理直接推出的定理,叫做这个公理或叫做这个公理或定理的定理的推论推论w推论可以当作定理使用推论可以当作定理使用.w三角形内角和定理的推论三角形内角和定理的推论:w推论推论1:1:三角形的一个外角三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内等于和它不相邻的两个内角的和角的和.w推论推论2:2:三角形的一个外角三角形的一个外角w大于任何一个和它不相邻大于任何一个和它不相邻的内角的内角.ABC
9、D1234v有了有了“三角形的三个三角形的三个内角和等于内角和等于180”这这条定理后，你能证明条定理后，你能证明直角三角形的两个锐直角三角形的两个锐角之间所具有的数量角之间所具有的数量关系吗？关系吗？w例例1 已知已知:如图如图,在在ABC中中,AD平分外角平分外角EAC,B=C.w求证求证:ADBC.w证明证明:EAC=B+C(三角形的一个三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和外角等于和它不相邻的两个内角的和),w ab(内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行).w B=C(已知已知),w DAC=C(等量代换等量代换).AD平分平分 EAC(已已知知).21C=EAC(等等式性
10、质式性质).21DAC=EAC(角平分角平分线的定义线的定义).ACDBEACDBE例例1 已知已知:如图如图,在在ABC中中,AD平平分外角分外角EAC,B=C.求证求证:ADBC.B=C(已知已知),21B=EAC(等等式性质式性质).AD平分平分 EAC(已已知知).21DAE=EAC(角平分角平分线的定义线的定义).DAE=B(等量代换等量代换).ab(同位角相等同位角相等,两直线平行两直线平行).证明证明:EAC=B+C(三角形的一个外角等于和它三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和不相邻的两个内角的和),ACDBE例例1 已知已知:如图如图,在在ABC中中,AD平分外角平分外
11、角EAC,B=C.求证求证:ADBC.DAC=C(已证已证),BAC+B+C=1800 (三角形内角和定理三角形内角和定理).BAC+B+DAC=1800 (等量等量代换代换).ab(同旁内角互补同旁内角互补,两直线平行两直线平行).证明证明:由证法由证法1可得可得:w例例2 已知已知:如图如图6-14,在在ABC中中,1是它的一个外角是它的一个外角,E为边为边AC上一点上一点,延长延长BC到到D,连接连接DE.w求证求证:12.w证明证明:1是是ABC的一个的一个外角外角(已知已知),w 13(三角形的一三角形的一个外角大于任何一个和个外角大于任何一个和 它它不相邻的内角不相邻的内角).w
12、3是是CDE的一个外角的一个外角(外角定义外角定义).w 32(三角形的一个三角形的一个外角大于任何一个和外角大于任何一个和 它不相它不相邻的内角邻的内角).w 12(不等式的性不等式的性质质).CABF1345ED2w已知已知:如图所示如图所示,在在ABC中中,外角外角DCA=100,A=45.w求求:B和和ACB的大小的大小.ABCDw解解:DCA是是ABC的一个的一个外角外角(已知已知),w DCA=100(已知已知),w B=100-45=55.(三角形的一三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和个外角等于和它不相邻的两个内角的和).w 又又 DCA+BCA=180(平角意义平角意
13、义).w ACB=80(等式的等式的性质性质).w A=45(已知已知),你认识外角吗?w已知:国旗上的正五角星形如图所示.w求:A+B+C+D+E的度数.解:1是BDF的一个外角(外角的意义),分析分析:设法利用设法利用外角外角把这五把这五个角个角“凑凑”到一个三角形中到一个三角形中,运用三角形内角和定理来求运用三角形内角和定理来求解解.1=B+D(三角形三角形的一个外角等于和它不相的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和邻的两个内角的和).2=C+E(三角形的一个外角等于三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和和它不相邻的两个内角的和).又又A+1+2=180(三角形内角和定三角形内角和
14、定理理).又又 2是是EHC的一个外角的一个外角(外角的意义外角的意义),ABCDEF1H2 A+B+C+D+E=180(等式等式性质性质).你认识外角吗?w已知已知:如图所示如图所示.w求证求证:(1)BDCA;w(2)BDC=A+B+C.证明证明(1):BDC是是DCE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义),BDCCED(三角形的一个外角大三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角于和它不相邻的任何一个外角).DECA(三角形的一个外角大于三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个外角和它不相邻的任何一个外角).BDCA(不等式的性不等式的性质质).DEC是是ABE的一个外角的一个外角
15、 (外外角意义角意义),BCADE你认识外角吗?w已知已知:如图所示如图所示.w求证求证:(1)BDCA;w(2)BDC=A+B+C.证明证明(2):BDC是是DCE的一个外角的一个外角 (外角意义外角意义),BDC=C+CED(三角形的一个三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和外角等于和它不相邻的两个内角的和).DEC=A+B(三角形的一个外角三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和等于和它不相邻的两个外角的和).BDC=A+B+C(等式的等式的性质性质).DEC是是ABE的一个外角的一个外角 (外外角意义角意义),BCADE课堂练课堂练习：习：v1、已知一个多边形的内角和等于、已知一个多边形的内角和等于1080，求这个多边形的边数。，求这个多边形的边数。v2、求证：四边形的内角和等于、求证：四边形的内角和等于360；五边形的内角和等于；五边形的内角和等于540v3、利用、利用“n边形的内角和等边形的内角和等于于 ”这个结论，这个结论，v证明：任意多边形的外角和是证明：任意多边形的外角和是360v4、已知一人多边形的内角和等于、已知一人多边形的内角和等于外角和的两倍，求这个多边形的边外角和的两倍，求这个多边形的边数。数。180)2(n
