1、2.1一元二次方程2 1.经历对一元二次方程根的探索过程并理解其意义.(重点)3.会估算一元二次方程的根.难点学习目标学习目标问1：一元二次方程有哪些特点？只含有一个未知数;未知数的最高次项系数是2;整式方程问2：一元二次方程的一般形式是什么？ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a0)复习引入导入新课导入新课问题1：在上一课中，我们知道四周未铺地毯局部的宽度x满足方程(8-2x)(5-2x)=18，你能求出这个宽度吗？(1)x可能小于0吗?说说你的理由(2)x可能大于4吗?可能大于吗?说说你的理由.一元二次方程根的估算讲授新课讲授新课3完成下表：x00.511.52(8-2x)(5-2x)
2、4你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗?还有其他求解方法吗?与同伴进行交流410182840问题2：在上一课中，梯子的底端滑动的距离x满足方程 x2+12 x-15=0.10m8m1mxm你能猜出滑动距离x的大致范围吗？(1)小明认为底端也滑动了1 m,他的说法正确吗？为什么？(2)底端滑动的距离可能是2 m吗？可能是3 m吗？为什么？下面是小亮的求解过程：x0 0.5 11.52x2+12x-15-15-8.75-25.2513可知x取值的大致范围是:1x.进一步计算：所以1.1x1.2,因此x整数局部是1,十分位局部是1x1.11.21.31.4x2+12x-15-0.590.842.293
3、.76用“两边夹思想解一元二次方程的步骤：(1)估计一个大致范围;(2)取中间值(靠近一端的值)缩小范围,直到确定出个位上的数字;(3)继续取值缩小范围,确定十分位上的数字;(4)继续取值缩小范围,确定百分位上的数字需要注意,如果不要求精确度,估计时还可以进行下去.用“夹逼法求一元二次方程的根时,一般都要确定根的近似值的精确度.规律方法 上述求解是利用了“两边夹的思想.归纳总结 例2：一名跳水运发动进行10m跳台跳水训练,在正常情况下,运发动必需在距水面5m以前完成规定的翻腾动作,并且调整好入水姿势,否那么就容易出现失误.假设运发动起跳后的运动时间t(s)和运发动距水面的高度h(m)满足关系:
4、h10+2.5t5t2.那么他最多有多长时间完成规定动作？5t5t2.2t2t20.即解：根据题意得w完成下表(在0t3这个范围内取值计算,逐步逼近):根据题意,t的取值范围大致是0t3.完成下表(在0t3这个范围内取值计算,逐步逼近):由此看出,可以使2t2-t-2的值为0的t的范围是1.2t1.3.故可知运发动完成规定动作最多有1.3 s.t2t2-t-2 0 1 1.1 1.2 1.3 1.4 2 3-2 -1 -0.68-0.32 0.08 0.52 4 13根据题意,t的取值范围大致是0t3.1.请求出一元二次方程 x2-2x-1=0的正数根精确到0.1.解：1列表.依次取x=0,1
5、,2,3,由上表可发现，当2x3时,-1 x2-2x-1 2；x0123x2-2x-1-1-2-12随堂练习随堂练习2继续列表,依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,由表发现，当2.4x2.5时,-0.04 x2-2x-10.25;3取x=2.45,那么x2-2x-10.1025.2.4x2.45,x2.4.x2.22.32.42.5x2-2x-1-0.79-0.31-0.040.252.根据题意,列出方程,并估算方程的解：一面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少？解：设苗圃的宽为x m,那么长为(x+2)m,根据题意，得 x (x+2)=120.即 x
6、2+2x-120=0.120m2(x+2)mxm根据题意,x的取值范围大致是0 x 11.根据题意,x的取值范围大致是0 x 11.解方程 x2+2x-120=0.完成下表(在0 x 11这个范围内取值计算,逐步逼近):xx2+2x 120 8 9 10 11-40 -21 0 23所以x=10.因此这苗圃的长是12米，宽是10米.3.假设关于假设关于x的一元二次方程的一元二次方程m+2)x2+5x+m2-4=0有一个根为0，求m的值.二次项系数不为零不容忽视解：将x=0代入方程m2-4=0，解得m=2.m+2 0，m-2，综上所述：m=2.拓广探索 关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0
7、(a0)一个根为1,求a+b+c的值.解：由题意，得2110abc ，0.abc 即(1)与(2)的相似比=_,(1)与(2)的面积比=_(1)与(3)的相似比=_,(1)与(3)的面积比=_123 1 21231 4 1 31 9问题：图中(1)(2)(3)分别是边长为1，2，3的等边三角形,答复以下问题：结论：相似三角形的面积比等于_相似比的平方相似三角形面积的比等于相似比的平方知识知识点点证明：设ABCABC，相似比为k,如图，分别作出ABC和ABC的高AD和AD.ABC和ABC都是直角三角形，并且B=B，ABDABD.BAABDAADABCABCDD想一想：怎么证明这一结论呢？ABCA
8、BC.ADkA D 212.12ABCA B CBCADSBCADkkkSB CA DB CA D .ABBCA BB C NoImage相似三角形面积的比等于相似比的平方.归纳总结1.ABC与ABC的相似比为2：3，那么对 应边上中线之比 ，面积之比为 .2.如果两个相似三角形的面积之比为1:9，周长的比为_.1:32:34:9练一练NoImage例：将ABC沿BC方向平移得到DEF，ABC与DEF重叠局部的面积是ABC的面积的一半.BC=2，求ABC平移的距离.解：根据题意，可知EGAB.GEC=B,EGC=A.GECABC.222GECABCSECECSBCBC22122EC22.2.E
9、CEC22.BEBCEC即ABC 22.解：在 ABC 和 DEF 中，AB=2DE，AC=2DF，又 D=A，DEF ABC，相似比为 1:2.ABCDEF1.2DEDFABAC例 如图，在 ABC 和 DEF 中，AB=2 DE，AC=2 DF，A=D.若 ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 DEF 的边 EF 上的高和面积.12 5ABCDEFABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，12 5DEF 的边 EF 上的高为 6=3，12面积为 2112 53 5.2 如果两个相似三角形的面积之比为 2:7，较大三角形一边上的高为 7，那么较小三角形对应边上的高为_.NoIma
10、ge练一练例 53ABADACAE ADE ABC.它们的相似比为 3:5，面积比为 9:25.BCADE解：BAC=DAE，且 35AEADACAB，又 ABC 的面积为 100 cm2，ADE 的面积为 36 cm2.四边形 BCDE 的面积为10036=64(cm2).BCADE 如图，ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB，AC，BC 上，且 DEBC，EFAB.当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED:SABC 的值.ABCDFE练一练解：DEBC，D 为 AB 中点，ADE ABC，相似比为 1:2，面积比为 1:4.12AEAD.ACABABCDFE又 EFAB，EFC
11、 ABC，相似比为 1:2，面积比为 1:4.设 SABC=4，那么 SADE=1，SEFC=1，S四边形BFED=SABCSADESEFC=411=2，S四边形BFED:SABC =2:4=1.23两个相似三角形对应中线的比为 ，那么对应高的比为_.2.相似三角形对应边的比为2 3,那么对应角的角平分线的比为_.2 31两个相似三角形的相似比为 ,那么对应高的比为_,那么对应中线的比为_.1221214141随堂练习随堂练习解：ABCDEF，解得,EH3.2(cm).答：EH的长为.AGBCDEFH4.ABCDEF，BG，EH分ABC和DEF的角平分线，BC=6cm,EF=4cm,BG=4.
12、8cm.求EH的长.BGBCEHEF4.86,4EH5.如图，AD是ABC的高，AD=h,点R在AC边上，点S在AB边上，SRAD，垂足为E.当 时，求DE的长.如果 呢？ASRABC (两角分别相等的两个三角形相似).解：SRAD，BCAD，BAERC1=2SRBC1=3SRBCDSSRBC.ASR=B,ARS=C.AESRADBC(相似三角形对应高的比等于相似比)，当 时，得 解得 BAERCDS.ADDESRADBC当 时，得 解得 1=2SRBC1.2hDEAD1.2DEh1=3SRBC1.3hDEAD2.3DEh选做题：选做题：6.6.一块直角三角形木板的一条直角边一块直角三角形木板
13、的一条直角边ABAB长为长为1.5m1.5m，面积为面积为1.5m2,1.5m2,要把它加工成一个面积尽可能大的正方要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图1 1、2)2)所所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好.加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保存加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保存FABCDE（1）FGBACED（2）相信自己是最相信自己是最棒的！棒的！SRQPEDCBA7.AD是ABC的高，BC=60cm，AD=40cm，求图中小正方形的边长.ACBD(6)ACB
14、D(5)DCBA(4)ACBD(3)DCBA(1)ACBD(2)8.判断：(1)一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ()(2)一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个 四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ()10.连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于_，面积 比等于_.1:21:49.在在 ABC 和和 DEF 中，中，AB2 DE，AC2 DF，AD，AP，DQ 是中线，假设是中线，假设 AP2，那么，那么 DQ 的值为的值为 ()A2 B4 C1 D.C2111.两个相似三角形对应的中线长分别是两个相似三
15、角形对应的中线长分别是 6 cm 和和 18 cm，假设较大三角形的周长是假设较大三角形的周长是 42 cm，面积是，面积是 12 cm2，那么，那么较小三角形的周长较小三角形的周长_cm，面积为，面积为_cm2.144312.如图，这是圆桌正上方的灯泡如图，这是圆桌正上方的灯泡(点点A)发出的光线发出的光线照照 射桌面形成阴影的示意图，桌面的直径为射桌面形成阴影的示意图，桌面的直径为 1.2 米，桌面距离地面为米，桌面距离地面为 1 米，假设灯泡距离地面米，假设灯泡距离地面 3 米，米，那么地面上阴影局部的面积约为多少那么地面上阴影局部的面积约为多少(结果保存两结果保存两位位 小数小数)？A
16、DEFCBH解：FH=1 米，AH=3 米，桌面的直径为 1.2 米，AF=AHFH=2(米)，DF 2=0.6(米).DFCH，ADF ACH，ADEFCBHDFAFCHAH，即0 623.CH，解得 CH=0.9米.阴影局部的面积为：220.92.54CH(平方米).答：地面上阴影局部的面积为 2.54 平方米.13.ABC 中，中，DEBC，EFAB，ADE 和和 EFC 的面积分别为的面积分别为 4 和和 9，求，求 ABC 的面积的面积.ABCDFE解：DEBC，EFAB，ADE ABC，ADE=EFC，A=CEF，ADE EFC.又SADE:SEFC=4:9，AE:EC=2:3，那么 AE:AC=2:5，SADE:SABC=4:25，SABC=25.14.如图，ABC 中，DEBC，DE 分别交 AB，AC 于 点 D，E，SADE2 SDCE，求 SADE SABC.解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，那么12212ADEDCEAE DFSAESECEC DF，23AE.AC 又 DEBC，ADE ABC.ABCDE222439ADEABCSAESAC，即 SADE:SABC 4:9.ABCDE
